数学珍宝-历史文献精选 在线阅读 李文林 科学出版社 第1版

古埃及人在一种用纸莎草（$\text{papyrus}$）压制成的草片上书写，这些纸草书有的幸存至今，成为反映古代埃及文明的珍贵文献.我们关于古埃及数学的知识，主要就是依据了两部纸草书——莱茵德纸草书和莫斯科纸草书.通过对这两部纸草书的研究可知：埃及人很早就使用十进记数法，但不知道位值概念.古埃及算术以加法为主，乘法是通过连续加倍来进行的.埃及数学的一个重要特色是分数运算的技巧，其中所有分数都用所谓“单位分数”（即分子为$1$的分数）来表出.埃及人能解含若干个未知数的一次方程，但只能处理最简单的二次方程.他们在解题过程中普遍使用了“假设法”（$\text{rule}\;\text{of}\;\text{false}\;\text{position}$）.埃及几何学与实用测量密切相关，它包括了计算正方形、矩形、等腰梯形等图形面积和像平截头方锥这样的立体体积的准确公式，对圆面积也能作近似计算，其中的圆周率相当于$3.1605$.埃及人常对问题的数值结果加以验证，但尚无证明的思想.尽管如此，埃及几何为希腊人构筑严密的演绎体系提供了素材与基础.

莱茵德纸草书

莱茵德纸草书最初发现于埃及底比斯（$\text{Thebes}$）古都废墟中，$1858$年为苏格兰收藏家莱茵德（$\text{H.Rhind}$）购得，因名.该纸草书现藏伦敦大英博物馆，长$525$厘米，宽$33$厘米，中间有少量缺失，缺失部分$1922$年意外地在纽约一私人收存的埃及医学纸草书中被发现，现藏美国布鲁克林博物馆.

莱茵德纸草书又称阿姆士纸草书，是公元前$1650$年左右一位叫阿姆士（$\text{A’h-mose}$）的人用僧侣文抄录的.由阿姆士所加的前言可知，他抄录的是一部已经流传了约两个世纪的更古老的著作.该纸草书的结构，在阿姆士的前言之后，是一张形如$\dfrac{2}{k}$（$k$为$101$以内的奇数）的分数（分解为单位分数）表.由于埃及人特殊的倍加式乘法过程以及只允许用单位分数来表示所有分数（$\dfrac23$例外）的限制，这样的分数表是必要的.分数表之后是纸草书的主体部分——$84$个数学问题（最后还有一段难以解释的文字，即一般所称的问题$85$）.这些问题使莱茵德纸草书成为现存内容最丰富的古埃及数学文献.以下摘译的分数表（部分）及$9$个问题，主要是依据$\text{A.Chace}$的英译本：$\text{The}\;\text{Rhind}\;\text{Mathematical}\;\text{Papyrus}$，$\text{Oberlin}$，$\text{Ohio}$，$\text{Mathematical}\;$ $\text{Association}\;$ $\text{of}\;\text{America}$，$1927\sim 1929$.同时参照其他译本作了少量修正.

精确计算.认识世间万物和一切奥秘的指南.本书系于上、下埃及之王阿尤塞雷（$\text{A-user-Re}$）万岁陛下在位$33$[注：约相当于公元前$1650$年.阿尤塞雷为埃及喜克索斯朝法老.]年汜水季四月[注：古代埃及人将一年分为三季，即：汜水季、播种季与收割季，每季四个月.]，根据上、下埃及之王涅玛厄特雷（$\text{Ne-ma’et-Re}$）[注：即第十二朝法老阿美涅姆赫特（$\text{Amenemhet}$）三世，约公元前$1849\sim 1801$年在位.]时期之古本抄录.抄录人阿姆士.

$$奇数除2表$$

$3$除$2$

通过对$3$的运算得$2$.$3$的$\dfrac23$是$2$.

$5$除$2$

$5$的$\dfrac13$是$1\dfrac23$，$5$的$\dfrac{1}{15}$是$\dfrac13$.

计算

$$\begin{matrix} 1 & 5 \\ \dfrac{2}{3} & 3\dfrac{1}{3} \\ 1\backslash \dfrac{1}{3} & 1\dfrac{2}{3} \\ \backslash \dfrac{1}{15} & \dfrac{1}{3} \end{matrix} $$

$7$除$2$

$7$的$\dfrac14$是$1\dfrac12 \dfrac14$，$7$的$\dfrac{1}{28}$是$\dfrac14$.

$$\begin{matrix} 1 & 7 & & & \\ \dfrac{1}{2} & 3\dfrac{1}{2} & & 1 & 7\\ \backslash \dfrac{1}{4} & 1\dfrac12 \dfrac14 & & 2 & 14 \\ 2\backslash 4 & 28 & \dfrac{1}{4} & 4 & 28 \end{matrix} $$

$9$除$2$

$9$的$\dfrac16$是$1\dfrac12 $，$9$的$\dfrac{1}{18}$是$\dfrac12$.

$$\begin{matrix} 1 & 9 & \\ \dfrac{2}{3} & 6 & \\ \dfrac{1}{3} & 3 & \\ \backslash \dfrac{1}{6} & 1\dfrac{1}{2} & \\ \backslash 2 & 18 & \dfrac{1}{2} \end{matrix} $$

$\cdots $

$99$除$2$

$99$的$\dfrac{1}{66}$是$1\dfrac12 $，$99$的$\dfrac{1}{198}$是$\dfrac12$.

求

$$\begin{matrix} 1 & 99 & \\ \backslash \dfrac{2}{3} & 66 & 1\dfrac12 \\ \backslash 2 & 198 & \dfrac12 \end{matrix} $$

$101$除$2$

通过对$101$的运算得$2$.$101$的$\dfrac{1}{101}$是$1$，$101$的$\dfrac{1}{202}$是$\dfrac12$，$101$的$\dfrac{1}{303}$是$\dfrac13$，$101$的$\dfrac{1}{606}$是$\dfrac16$.

$$\begin{matrix} 计算 & & \\ \backslash 1 & 101 & 1 \\ \backslash 2 & 202 & \dfrac12 \\ \backslash 3 & 303 & \dfrac13 \\ \backslash 6 & 606 & \dfrac16 \end{matrix} $$

问题$1$.$10$个人分一只面包的例子.

每人分得$\dfrac{1}{10}$.

验证，用$10$乘$\dfrac{1}{10}$.

这样做：

$$\begin{matrix} 1 & \dfrac{1}{10} & & \\ \backslash 2 & \dfrac{1}{5} & & \\ 4 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{15} & \\ \backslash 8 & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{30} \end{matrix} $$

加起来为一只面包，正确.

问题$22$.将$\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{30}$加上一数使补成$1$.

取数$30$，它的$\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{30}$是$21$.$30$比$21$大$9$.将$30$乘一个数以得到$9$.

$$\begin{matrix} 1 & 30 \\ \backslash \dfrac{1}{10} & 3 \\ \backslash \dfrac{1}{5} & 6 \\ 和数 & 9 \end{matrix} $$

因此，为将$\dfrac{2}{3} \dfrac{1}{30}$补成$1$，应加上$\dfrac{1}{5} \dfrac{1}{10}$.

作为验证，将两数相加，即

$$\dfrac{2}{3} \dfrac{1}{5} \dfrac{1}{10} \dfrac{1}{30} ,$$

和为$1$；

对$30$而言，这些分数相当于

$$\begin{matrix} 20 & 6 & 3 & 1 \end{matrix} ,$$

和为$30$.

问题$24$.某数与它的$\dfrac{1}{7}$相加得$19$，求该数.假设该数为$7$

$$\begin{matrix} \backslash 1 & 7 \\ \backslash \dfrac{1}{7} & 1 \\ 和数 & 8 \end{matrix} $$

然后计算何数乘以$8$能得$19$，再将该数乘$7$就得到所求数.

本题是采用“假设法”解题的例子.这种方法实质上相当于：对方程$Ax=B$，任设一值$x’$为其解，然后计算$Ax’=B’$及比值$k=\dfrac{B}{B’}$，则真解$x=kx’$.

$$\begin{matrix} 1 & 8 \\ \backslash 2 & 16 \\ \dfrac{1}{2} & 4 \\ \backslash \dfrac{1}{4} & 2 \\ \backslash \dfrac{1}{8} & 1 \end{matrix} $$

和数$2\dfrac{1}{4} \dfrac{1}{8} $

$$\begin{matrix} \backslash 1 & 2\dfrac{1}{4} \dfrac{1}{8} \\ \backslash 2 & 4\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{4} \\ \backslash 4 & 9\dfrac{1}{2} \end{matrix} $$

验证如下：

$$\begin{matrix} 所求数 & 16\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{8} \\ \dfrac{1}{7} & 2\dfrac{1}{4} \dfrac{1}{8} \\ 和数 & 19 \end{matrix} $$

问题$40$.$5$人分$100$只面包，欲使各人分得的面包数之差相等，并使最大三数之和的$\dfrac{1}{7}$等于最小二数之和.求各人分得的面包数之差.

这样做：先假设差为$5\dfrac{1}{2}$，则$5$人所分得的面包数分别为

这一假设(公差$d=5\dfrac{1}{2}$)应该是从先设最少的面包烽为$1$而来，因根据条件$a_1 +a_2 =\dfrac{1}{7}(a_3 +$ $a_4 +a_5 )$可推知$d=\dfrac{11}{2} a_1 $.(此处以$a_1 ,a_2 ,a_3, a_4 ,a_5 $分别表示$5$人分得的面包数且$a_1 $最小.)

$$\begin{matrix} 23 & 17\dfrac12 & 12 & 6\dfrac12 & 1 \end{matrix} ,$$

和为$60$.

然后计算何数乘以$60$能得$100$，再将此数分别乘上述数列的各项，就得到真正的数列.

$$\begin{matrix} \backslash 1 & 60 \\ \backslash \dfrac{2}{3} & 40 \end{matrix} $$

和为$1\dfrac{2}{3}$，乘$60$得$100$.

用$1\dfrac{2}{3}$分别乘

$$\begin{matrix} 23 & 得 & 38\dfrac{1}{3} \\ 17\dfrac{1}{2} & 得 & 29\dfrac{1}{6} \\ 12 & 得 & 20 \\ 6\dfrac{1}{2} & 得 & 10\dfrac{2}{3} \dfrac{1}{6} \\ 1 & 得 & 1\dfrac{2}{3} \\ 和数60 & 得 & 100 \\ \end{matrix} $$

问题$48$.比较圆及其外切正方形的面积.

直径为$9$的圆

$$\begin{matrix} 1 & 8 \\ 2 & 16 \\ 4 & 32 \\ \backslash 8 & 64 \end{matrix} $$

连长为$9$的正方形

$$\begin{matrix} \backslash 1 & 9 \\ 2 & 18 \\ 4 & 36 \\ \backslash 8 & 72 \\ 和数 & 81 \end{matrix} $$

若用$d$表示圆的直径，$r$为半径，$A$为圆面积，则本题相当于给出计算公式：$A=\left( \dfrac{8}{9}d \right) ^2 =\left( \dfrac{16}{9}r \right) ^2 =\dfrac{256}{81}r^2 $.这意味着圆周率$\pi $取值$\dfrac{256}{81} \approx 3.1605$.但埃及人并无圆周率的概念.

问题$56$.设一金字塔高为$250$肘，底边长为$360$肘，求它的赛克特.

古埃及人将一倾斜直线每垂直升高一个单位时，相对于垂线的水平偏离称之为“赛克特”($\text{seqt}$)，对一金字塔而言，它的赛克特即为其底边的一半与高之比，其中水平移动以“掌”($\text{palm}$)为测量单位，垂直升高以“肘”($\text{cubit}$)为单位，$1$肘$=7$掌，$1$掌$=4$指.

取$360$的$\dfrac12$，得$180$.设某数与$250$相乘等于$180$；算得该数为$\dfrac12 \dfrac15 \dfrac{1}{50}$肘.$1$肘$=7$掌.用$\dfrac12 \dfrac15 \dfrac{1}{50}$乘$7$.

$$\begin{matrix} 1 & 7 & \\ \dfrac12 & 3\dfrac12 & \\ & \dfrac15 & 1 \dfrac13 \dfrac{1}{15} \\ & \dfrac{1}{50} & \dfrac{1}{10} \dfrac{1}{25} \end{matrix} $$

赛克特为(每肘)$5\dfrac{1}{25}$掌.

问题$57$.设一金字塔的赛克特为每肘$5$掌$1$指，底边长$140$肘，求金字塔的高.

用赛克特的二倍$10\dfrac12$(掌)除$1$肘.因$1$肘等于$7$掌，故设某数与$10\dfrac12$相乘得$7$：$7$是$10\dfrac12$的$\dfrac23$.然后对底边长$140$运算：$140$的$\dfrac23$是$93\dfrac13$，这就是高.

注意在本题中作者的算法是将赛克特乘以$2$而不是取底边长之半；然后用$2$倍赛克特除$7$再乘底边长而不是用$7$除二倍赛克特再除底边长，结果当然是一样的.