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科目名称：高等代数

每题$15$分，共计$10$题.

$1$.设多项式$f_1 (x),\cdots ,f_k (x)$的最大公因式是$1$，$A\in \mathbf{P} ^{n\times n} $，$X\in \mathbf{P} ^{n\times 1}$.求证：如果对于$1\leq i\leq k$，总成立$f_i (A)X=0$，则$X=0$.

证明：因为多项式$f_1 (x),\cdots ,f_k (x)$的最大公因式是$1$，故

$$\left( f_1 (x) ,\cdots ,f_k (x) \right) =1.$$

于是存在多项式$u_1 (x) ,\cdots ,u_k (x)\in P[x]$，使得

$$u_1 (x)f_1 (x) +\cdots +u_k (x) f_k (x) =1 .$$

变量$x$替换为矩阵$A$，等式右乘$X$，得

$$\left( u_1 (A)f_1 (A) +\cdots +u_k (A) f_k (A) \right) X=X .$$

因为对于$1\leq i\leq k$，总成立$f_i (A)X=0$，故证得

$$X=0.$$