方程$e^z=A$

在介绍毕卡小定理之前，我们先来研究一些具体例子.首先看方程

$$e^z =A,\label{2.1} \tag{2.1} $$

这里$A$是任意复数.前面已经指出，当$A=0$时，方程$\eqref{2.1} $没有任何解.这是一件很有意思的事情.在多项式的情况下，代数基本定理指出，对任何的复数$A$，方程

$$P(z)=A$$

总有$n$个解，这里$P(z)=a_0 +\cdots +a_n z^n ,a_n \neq 0$.但是，对“无穷高次多项式”，即对于整函数，这个结论不再成立，至少对某些$A$不再成立.这说明量变引起了质变，不能把代数基本定理原封不动地搬到整函数上去，必须做某些修正.不过，我们还是先把方程$\eqref{2.1} $弄清楚为好.既然$A=0$没有解，我们设$A\neq 0$.由复数$e^z$与$A$相等得出，它们的模相等，而辐角可以差$2\pi $的整数倍.所以

$$\begin{cases}
e^x=\vert A\vert ,\\
y=\arg{A} +2n\pi ,(n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )
\end{cases} \label{2.2} \tag{2.2} $$

因此

$$x=\log{\vert A\vert } ,$$

$$z=x+iy=\log{\vert A\vert } +i(\arg{A} +2n\pi ) \quad n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots . \label{2.3} \tag{2.3} $$

这样一来，方程$\eqref{2.1} $的任何一个根都包含在公式$\eqref{2.3} $中.反过来，形如$\eqref{2.3} $的每一数都是这个方程的根.事实上，

$$\begin{align}
e^z & =e^{\log{\vert A\vert } +\mathbb{i} (\arg{A} +2n\pi )} =e^{\log{\vert A\vert } } e^{\mathbb{i} (\arg{A} +2n\pi )} =\vert A\vert e^{\mathbb{i} \arg{A} } \\
& =\vert A\vert [ \cos{(\arg{A} )} +\mathbb{i} \sin{(\arg{A} )} ] =A,\\
\end{align}$$

这就证明了，方程$\eqref{2.1}$对于任何的复数$A$，除去一个例外值$A=0$，都有无穷多个根.换言之，无穷高次方程

$$1+\dfrac{z}{1!} +\dfrac{z^2}{2!} +\cdots +\dfrac{z^n}{n!} +\cdots =A$$

对任何复数$A\neq 0$有无穷多个根.

自然地，方程$\eqref{2.1}$的每一个根叫做复数$A$的（自然）对数值.以$e$为底产生$A$的幂指数一般记为$\ln A$.由此，公式$\eqref{2.3} $可改写为下面的形式：

$$\begin{align}
\ln A & =\ln \vert A\vert +{\rm i\,Arg} A \\
& =\ln \vert A\vert +\mathbb{i}(\arg{A} +2n\pi ) (n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ) .
\end{align} \label{2.4} \tag{2.4} $$

由此得到，任何复数有无穷多个对数值，它们彼此相差$2\pi i$的整数值.而

$$\ln A=\ln \vert A\vert +\mathbb{i}\arg{A} $$

称为对数的主值.

若把公式$\eqref{2.4} $中的$A$当作自变数，把它所对应的值$z$当作因变数，即当作$A$的函数来研究，那么，我们就得到函数$z=\ln A$，这个函数称为对数函数（以$e$为底）.它是指数函数$e^z$的反函数.这个函数的定义域是除去$A=0$以外的整个复平面.它是一个多值函数.

方程$\cos{z} =A$

现在我们转而研究方程

$$\cos{z} =A,\label{2.5} \tag{2.5} $$

这里$A$是任意的复数.

由欧拉公式$(1.12)$，我们得到

$$\dfrac{e^{\mathbb{i}z} +e^{-\mathbb{i}z}}{2} =A,$$

或

$$e^{\mathbb{i}z} +e^{-\mathbb{i}z} -2A=0,$$

乘$e^{\mathbb{i}z}$得

$$e^{2\mathbb{i}z} -2Ae^{\mathbb{i}z} +1 =0.$$

令$y=e^{\mathbb{i}z} $，则上述方程化为

$$y^2 -2Ay+1=0,\label{2.6} \tag{2.6}$$

这是一个一元二次方程，它的解为

$$y=A\pm \sqrt{A^2 -1} .$$

不难看出，对于任意的复数$A$，我们总有

$$A+\sqrt{A^2 -1} \neq 0,A-\sqrt{A^2 -1} \neq 0.$$

事实上，若

$$A+\sqrt{A^2 -1} =0,$$

则

$$\sqrt{A^2-1} =-A,$$

$$A^2-1=A^2 ,$$

$$-1=0,$$

这是不可能的.

同理，$A-\sqrt{A^2 -1} \neq 0$.这样一来，方程

$$e^{\mathbb{i}z} =A+\sqrt{A^2 -1} ,$$

及

$$e^{\mathbb{i}z} =A-\sqrt{A^2 -1} $$

都有无穷多个解.

$$\mathbb{i}z=\ln (A+\sqrt{A^2-1} ),$$

或

$$z=-\mathbb{i}\ln (A+\sqrt{A^2-1} ),\label{2.7} \tag{2.7}$$

及

$$\mathbb{i}z=\ln (A-\sqrt{A^2-1} ),$$

或

$$z=-\mathbb{i}\ln (A-\sqrt{A^2-1} ),\label{2.8} \tag{2.8} $$

这就证明了，对任意的复数$A$，没有任何例外值，方程$\eqref{2.5}$都有无穷多个解.即无穷高次方程式

$$1-\dfrac{z^2}{2!} +\dfrac{z^4}{4!} -\cdots +(-1)^n\dfrac{z^{2n}}{(2n)!} +\cdots =A$$

对任意的复数$A$，都有无穷多个解.

完全相同的方法可以证明，对任意的复数$A$，方程

$$\sin{z} =A,$$

或无穷高次方程

$$z-\dfrac{z^3}{3!} +\dfrac{z^5}{5!} -\cdots +(-1)^{n-1}\dfrac{z^{2n-1}}{(2n-1)!} +\cdots =A$$

都有无穷多个解.

毕卡小定理

我们在上面证明了，对任意的复数$A$，方程

$$\cos{z} =A ,\sin{z} =A$$

都有无穷个根.换言之，$\cos{z}$、$\sin{z}$这两个整函数取复平面上的任何值无穷多次，并且没有一个例外值.另一方面，对任意的复数$A$，但要除去例外值零，方程

$$e^z =A$$

有无穷多个根.这就是说，在复平面上挖掉零点之后，整函数$e^z$取这个有洞的复平面上的每个值无穷多次.

人们自然会问：别的整函数怎么样？存在不存在有两个、三个、甚至多个例外值的整函数？原来在方程

$$\cos{z} =A,e^z =A$$

中发现的规律对一切整函数具有普遍意义.所有的整函数最多只有一个例外值.这就是法国数学家毕卡（Charles Emile Picard,$1856-1941$）早在$1878$年就证明了的下述的著名定理：

毕卡小定理$\quad $如果$f(z)$是一个非多项式的整函数，则对于任意的复数$A$，可能除去一个例外值，方程

$$f(z)=A$$

都有无穷多个根.

这个定理的证明超出了本书的范围，故略去，但要做些说明.

定理中的例外值是依赖函数的.有的整函数没有例外值，如$\sin{z} $、$\cos{z}$.有的整函数有例外值，如$e^z$以$0$为例外值.若整函数$f(z)$以$A$为例外值，则$f(z)=A$最多只有有限个根，甚至一个根也没有.

整函数的值分布理论的研究是复变函数论的一个重要组成部分.我国数学家在这个领域中作出了许多重要的贡献.在老一辈数学家中有熊庆来教授和庄圻泰教授.在中青年数学家中有著名的数学家杨乐教授与张广厚教授.我国数学家在复变函数方向的研究工作受到了世界数学界的关注，并给出很高的评价.