内容简介$\quad $本节主要训练如何快速作出函数的大致图像（称为草图），其中提出了图形的叠加（即相加）、相乘、开平方等非常实用的技巧，这对于数学分析今后的学习都是很有用的工具.除了按照内容分若干小节讲解方法之外，还在最后的补注小节中用初等方法对某些函数作出了严格的单调性分析.

$1$.要作函数$y=f(x)$的图像，可按以下方式进行：

$(1)$确定函数的存在域$X=\lbrace x\rbrace $；

$(2)$从$X$中选出充分密集的自变量值$x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n $与相应函数值组成对应数值表

$$y_i =f(x_i ) \quad (i=1,2,\cdots ,n);$$

$(3)$在坐标平面$Oxy$上绘出一系列的点$M_i (x_i ,y_i )(i=1,2,\cdots ,n)$并用线把它们连接起来，连线时应考虑中间各点的位置对曲线形状的影响.

$2$.为了得到函数的正确图像，应当研究这个函数的一般性质.

首先必须：

$(1)$解方程$f(x)=0$，求出函数图像与$Ox$轴的交点（函数的零点）；

$(2)$确定函数为正或为负时自变量的变化域；

$(3)$若有可能，说明函数的单调（增或减）区间；

$(4)$研究当自变量无限趋于函数存在域边界点时函数的情况.

这一节里，要假定读者已经知道最简单的初等函数的性质，如幂函数、指数函数、三角函数等.

利用这些性质，不用作大量的计算工作，立即可以画出许多函数的草图，其他的图像有时就是这些最简单图像的组合（和或乘积等等）.

有理函数的图像

这里包含多项式（也称有理整函数）与它们的商，即有理分式函数.

$237$.作出线性齐次函数$y=ax$当$a=0,\dfrac12 ,1,2,-1$时的图像.

解$\quad $如图所示.

$238$.作出线性函数$y=x+b$当$b=0,1,2,-1$时的图像.

解$\quad $如图所示.

$239$.作出线性函数的图像：

$$(a)y=2x+3;(b)y=2-0.1x;(c)y=-\dfrac{x}{2} -1.$$

解$\quad $如图所示.

$240$.已知铁的线膨胀系数$\alpha =1.2\times 10^{-5} \mathrm{K}^{-1} $，并且当$T=273\mathrm{K}$时，一根细长铁棒的长度$l=100\mathrm{cm}$.在适当尺度下作出以下函数的图像：

$$l=f(T) \quad (233\mathrm{K} \leqslant T\leqslant 373\mathrm{K} ).$$

解$\quad $铁棒的长与温度的关系为$l=l_0 (1+\alpha T)$.

当$T=273\mathrm{K}$时，$l=100\mathrm{cm}$，代入上式得$l_0 =\dfrac{100}{1.003276} $.于是，$l=\dfrac{100}{1.003276} (1+1.2\times 10^{-5} T)$，如图所示（两轴单位不同）.

$241$.两个质点沿数轴运动，速度为$v_1 =10\mathrm{m/s}$的第一个质点在初始时刻$t=0$时位于坐标原点$O$左方$20\mathrm{m} $处，而速度为$v_2 =-20\mathrm{m/s}$的第二个质点在$t=0$时位于原点$O$右方$30\mathrm{m}$处，其.作出这两个质点运动方程的图像并求出它们相遇的时刻和位置.

解$\quad $二质点运动方程的位移$s$与时间$t$的关系分别为

$$s=10t-20,s=-20t+30,$$

如图所示.

解上述方程，得

$$t=1\dfrac23 \mathrm{s} ,s=-3\dfrac13 \mathrm{m} ,$$

即在运动开始后$1\dfrac23 \mathrm{s} $，在$Ot$轴下方$3\dfrac13 \mathrm{m} $处相遇，如图所示.

$242$.作出二次有理函数的图像（抛物线）：

$(a)y=ax^2$，$a=1,\dfrac12 ,2,-1$；

$(b)y=(x-x_0 )^2 $，$x_0 =0,1,2,-1$；

$(c)y=x^2+c $，$c=0,1,2,-1$.

解$\quad $如图所示.

$243$.把二次三项式$y=ax^2 +bx+c$化为$y=y_0 +a(x-x_0 )^2 $的形式，再作出它的图像.研究例子：

$$(a)y=8x-2x^2 ;(b)y=x^2-3x+2;(c)y=-x^2+2x-1;(d)y=\dfrac12 x^2 +x+1 .$$

解$\quad $利用配方法得

$$y=a\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2 +\dfrac{4ac-b^2}{4a} =y_0 +a(x-x_0 )^2 ,$$

其中$x_0 =-\dfrac{b}{2a} ,y_0 =\dfrac{4ac-b^2}{4a} $，如图所示.

$(a)y=8x-2x^2=8-2(x-2)^2$，$x_0 =2$，$y_0 =8$，$a=-2$，如图所示，顶点$(2,8)$.

$(b)y=x^2-3x+2=\left( x-\dfrac32 \right)^2 -\dfrac14 $，$x_0 =\dfrac32$，$y_0 =-\dfrac14$，$a=1$，如图所示，顶点$\left( \dfrac32,-\dfrac14 \right) $.

$(c)y=-x^2+2x-1=-(x-1)^2$，$x_0 =1$，$y_0 =0$，$a=-1$，如图所示，顶点$(1,0)$.

$(d)y=\dfrac12 x^2 +x+1=\dfrac12 (x+1)^2+\dfrac12 $，$x_0 =-1$，$y_0 =\dfrac12 $，$a=\dfrac12$，如图所示，顶点$(-1,\dfrac12 )$.

$244$.一个质点以初速度$v_0 =600\mathrm{m/s}$向与水平面成角$\alpha =45^{\circ }$的方向射出.作出运动轨迹的图像并求出最大上升高度及射程（取$g\approx 10\mathrm{m/s}^2 $，不计空气阻力）.

解$\quad $运转轨迹方程为

$$y=x\tan{\alpha } -\dfrac{gx^2}{2v_0^2 \cos{}^2 \alpha } ,$$

以$v_0 =600$，$g=10$，$\alpha =45^{\circ} $代入得$y=x-\dfrac{x^2}{36000} $，即

$$y=-\dfrac{1}{36000} (x-18000)^2+9000 .$$

当$x=18000$时，$y$值最大，最大上升高度为$9000\mathrm{m} $；

当$x=36000$时，$y=0$，即射程为$36000\mathrm{m} $.如图所示.

作出下列高于二次的有理函数的图像：

$245$.$y=x^3+1$.

解$\quad $如图所示.

$246$.$y=(1-x^2)(2+x)$.

解$\quad $这是三次多项式$y=-x^3-2x^2+x+2$.由于它的三个根$\pm 1,-2$已知，因此在区间$(-\infty ,-2)$，$(-2,-1)$，$(-1,1)$，$(1,+\infty )$上的$y$的符号已知.根据三次函数至多有两个极值点，而最高次项$x^3$的系数为$-1$，就可作出草图如右.

注$\quad $多项式作图时需要以下基本知识：

$(1)n$次多项至多有$n$个实根，$n$为奇数时至少有一个实根，$n$为偶数时可以没有实根；

$(2)n$次多项式至多有$n-1$个极值点，其中极大值和极小值点交替出现.在相邻极值点之间，以及极值点与无穷远之间，多项式函数一定是严格单调的；

$(3)$当$\vert x\vert $无限增加时$\vert y\vert $也无限增加，奇次多项式的图像两侧趋于不同号的无穷大，而偶次多项式的图像两侧则趋于同号的无穷大.这里的正负号由多项式中最高次项的系数的符号来决定.

$247$.$y=x^2-x^4$.

解$\quad $注意到这是偶函数.对函数表达式作因式分解

$$y=x^2 (1-x)(1+x),$$

这样就知道有$3$个互异零点，其中$x=0$是二重的.同时还知道在$(-1,0)$和$(0,1)$上$y > 0$，在$x < -1$和$x > 1$时$y < 0$.

如习题$246$的注中所示，四次多项式最多可以有三个极值点，在相邻极值点之间和极值点与无穷远之间，函数均严格单调，而当$\vert x\vert $无限增大时$y$趋于$-\infty $.

这样就可以如附图所示，作出函数$y=x^2-x^4$的图像.

还应注意到，在$x=0$邻近，当$\vert x\vert $趋于$0$时二次项$x^2$起主要作用，因此图像与$y=x^2$相似.而当$\vert x\vert > 1$时，随着$\vert x\vert $增大，$-x^4$起主要作用，因此图像与开口向下的四次抛物线$y=-x^4$相似.

此外，图像有两个极大值点和一个极小值点.它们的精确位置在将来可以用微分学方法求出.由于本题的函数表达式很简单，因此也可以用配方法得到

$$y=-(x^2-\dfrac12 )^2 +\dfrac14 ,$$

从而求出极大值点为$\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} $，极大值为$\dfrac14 $.

$248$.$y=x(a-x)^2 (a+x)^3 (a > 0)$.

解$\quad $当$x=0,a,-a$时，$y=0$.$(-a,0)$及$(a,0)$为切点.

当$x > 0$及$x < -a$时，$y > 0$；当$-a < x < 0$时，$y < 0$.

如图所示.

作出下列分式线性函数的图像（双曲线）：

$249$.$y=\dfrac{1}{x}$.

解$\quad $如图所示.

$250$.$y=\dfrac{1-x}{1+x}$.

解$\quad y=-1+\dfrac{2}{1+x} $，图像的对称中心为$(-1,-1)$，如图所示.

$251$.把分式线性函数

$$y=\dfrac{ax+b}{cx+d} \quad (ad-bc\neq 0,c\neq 0)$$

化为以下形式：

$$y=y_0 +\dfrac{m}{x-x_0 } ,$$

再作出它的图像.研究例子

$$y=\dfrac{3x+2}{2x-3} .$$

解$\quad $在所述条件下总可以将$y$分解如下：

$$y=\dfrac{a}{c} +\dfrac{\dfrac{bc-ad}{c^2}}{x-\left( -\dfrac{d}{c} \right) } =y_0 +\dfrac{m}{x-x_0 } ,\label{251} \tag{* } $$

其中

$$x_0 =-\dfrac{d}{c} ,y_0 =\dfrac{a}{c} ,m=\dfrac{bc-ad}{c^2} .$$

如图所示.

由此可见，$y(x)$的图像可以从最简单的直角双曲线$y=\dfrac{1}{x} $出发经过三步得到：$(1)$将纵坐标乘以$m$，当$m > 0$时图像形状不变，只是在$y$方向按比例放大或缩小，当$m < 0$时图像还要对于$x$轴作反射变换；$(2)$将经过$(1)$处理的图像在水平方向移动$x_0 $的距离，$x_0 > 0$时为右移，$x_0 < 0$为左移；$(3)$最后再将图像在垂直方向移动$y_0 $的距离，$y_0 > 0$时向上移，$y_0 < 0$时向下移.

对于题中的具体例子，可以计算得到

$$y=\dfrac{3}{2} +\dfrac{\dfrac{13}{4} }{x-\dfrac32 } =\dfrac32 +\dfrac{13}{4(x-\dfrac32 )} .$$

如$\eqref{251}$所求，这时$x_0 =y_0 =\dfrac32 $，当$x\to x_0 =\dfrac32 $时$y\to \infty $，故有垂直渐近线$x=\dfrac32 $；当$x\to \infty $时$y\to y_0 =\dfrac32 $，故有水平渐近线$y=\dfrac32 $（参见附图）.

由于$m=\dfrac{13}{4}$较大，在附图中的$x$轴和$y$轴所取的单位长度不同.

$252$.设气体当压强$p_0 =1\mathrm{Pa}$时占有体积$V_0 =12\mathrm{m}^3 $.若气体的温度保持不变，作出气体体积$V$对压强$p$的依赖关系的图像（玻意耳-马略特定律）.

解$\quad $当温度$T=k$（常数）时，气体体积$V$与压强$p$成反比，即

$$pV=C,$$

其中$C$为常数.

当$p_0 =1$时，$V_0 =12$，故$C=12 $，从而$pV=12 $，如图所示.

作下列分式有理函数的图像：

$253$.$y=x+\dfrac{1}{x} $.

解$\quad $将$y=x$及$y=\dfrac{1}{x} $的图像叠加即得，如图中黑粗线所示.

$254$.$y=x^2+\dfrac{1}{x} $（牛顿三叉线）.

解$\quad $将$y=x^2$及$y=\dfrac{1}{x} $的图像叠加即得，如图中黑粗线所示.

$255$.$y=x+\dfrac{1}{x^2}$.

解$\quad $如图中黑粗线所示.

$256$.$y=\dfrac{1}{1+x^2} $（阿涅西箕舌线）.

解$\quad $容易看出它是偶函数，于$x=0$达到极大值$1$，在两侧均为严格单调，且当$\vert x\vert $无限增大时趋于$0$.因此有水平渐近线$y=0$.见下面的附图.

$257$.$y=\dfrac{2x}{1+x^2}$（牛顿蛇形线）.

解$\quad $容易看出它是奇函数，$y$的符号与$x$一致，故只需讨论$x \geqslant 0$的部分.在$0\leqslant x_1 < x_2 \leqslant 1$时从

$$y(x_2 )-y(x_1 )=\dfrac{2(x_2 -x_1 )(1-x_1 x_2 )}{(1+x_1^2 )(1+x_2^2 )} $$

可见$y(x)$在$[0,1]$上严格单调递增，同样考虑$1\leqslant x_1 < x_2 $，又可看出$y(x)$在$[1,+\infty )$上严格单调递减.这样也就已经知道极大值点是$x=1$，极大值是$1$.又可看出$y(+\infty )=0$，即有水平渐近线$y=0$.这样就可以作出附图中的图像.

$258$.$y=\dfrac{1}{1-x^2}$.

解$\quad $图像关于$Oy$轴对称，且经过点$(0,1)$.

当$0 < x < 1$及$x > 1$时，曲线上升，但当$x=\pm 1$时，$y$无意义.$x=\pm 1$为曲线的渐近线.如图所示.

$259$.$y=\dfrac{x}{1-x^2}$.

解$\quad $图像关于原点对称，且经过原点，$x=\pm 1$为渐近线，在$(0,1)$及$(1,+\infty )$内曲线上升.如图所示.

$260$.$y=\dfrac{1}{1+x} -\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{1-x} $.

解$\quad $将$y=\dfrac{1}{1+x}$，$y=-\dfrac{2}{x} $及$y=\dfrac{1}{1-x} $的图像叠加即得，渐近线：$x=-1$，$x=0$，$x=1$及$y=0$，如图所示.

$261$.$y=\dfrac{1}{1+x} -\dfrac{2}{x^2} +\dfrac{1}{1-x} $.

解$\quad $图像关于$Oy$轴对称，渐近线：$x=-1$，$x=1$，$x=0$及$y=0$.图所示.

$262$.$y=\dfrac{(x+1)(x-2)}{(x-1)(x+2)} $.

解$\quad y=\dfrac{x^2 -x-2}{x^2 +x-2} =1-\dfrac{2x}{x^2 +x-2} $.

将$y=1$及$y=-\dfrac{2x}{x^2 +x-2}$的图像叠加即得.如图所示.

$263$.把函数

$$y=\dfrac{ax^2 +bx+c}{a_1 x+b_1 } \quad (a_1 \neq 0)$$

化为以下形式：

$$y=kx+m+\dfrac{n}{x-x_0 } ,$$

然后作出它的草图.研究例子

$$y=\dfrac{x^2 -4x+3}{x+1} .$$

解

$$\begin{align}
y & =\dfrac{a}{a_1 } x+\dfrac{a_1 b-ab_1 }{a_1^2 } +\dfrac{\dfrac{c}{a_1} -\dfrac{b_1 }{a_1^3} (a_1 b-ab_1 )}{x-\left( -\dfrac{b_1 }{a_1 } \right) } \\
& =kx+m+\dfrac{n}{x-x_0 } \end{align} $$

其中$k=\dfrac{a}{a_1 } $，$m=\dfrac{a_1 b-ab_1 }{a_1^2 } $，$x_0 =-\dfrac{b_1 }{a_1 } $，$n=\dfrac{c}{a_1} -\dfrac{b_1 }{a_1^3} (a_1 b-ab_1 ) $.如图中黑粗线所示.

对于

$$\begin{align}
y & =\dfrac{x^2 -4x+3}{x+1} \\
& =x-5+\dfrac{8}{x+1} ,\end{align} $$

如图中黑粗线所示.

$264$.一个质点与引力中心相距$x$，质点所受引力的大小为$F$，并且当$x=1\mathrm{m}$时$F=10\mathrm{N}$（牛顿定律）.作出引力$F$的图像.

解$\quad $由万有引力定律知

$$F=\dfrac{k}{x^2} ,$$

其中$k$为常数.

当$x=1$时，$F=10$，从而$k=10$，于是，$F=\dfrac{10}{x^2} $，如图所示.

$265$.根据范德瓦耳斯定律，当温度不变时，真实气体的体积$V$与压强$p$之间的关系为

$$\left( p+\dfrac{a}{V^2} \right) (V-b)=c.$$

若$a=2$，$b=0.1$及$c=10$，作出函数$p=p(V)$的图像.

解$\quad $由于

$$p=\dfrac{10}{V-0.1} -\dfrac{2}{V^2} ,$$

将$p=\dfrac{10}{V-0.1} $及$p=-\dfrac{2}{V^2}$的图像叠加即得.如图所示.

无理函数、幂函数和初等超越函数的图像

作下列无理函数的图像：

$266$.$y=\pm \sqrt{-x-2}$（抛物线）.

解$\quad $只要将函数表达式两边平方就得到抛物线方程

$$x=-y^2-2.$$

它的图像如附图所示，即是以$x$轴为对称轴，开口向左的一条抛物线.

但这里可以提出另一种观点，即对于图像直接进行开平方根的运算.这对于理解如何从$f(x)$的图像得到$\sqrt{f(x)}$或$\pm \sqrt{f(x)}$的图像是有益的.

设已知$f(x)$的图像，则为了得到$y=\pm \sqrt{f(x)} $的图像，首先确定其定义域是使得$f(x) \geqslant 0$的那些$x$值.对于习题$266$这个定义域就是$(-\infty ,-2]$.

其次是除了有上下对称的两支曲线外，要注意到在定义域的边界处曲线$y=\pm \sqrt{f(x)}$可能会有垂直的切线.本题的情况就是如此.其原因可以从幂函数的图像来理解.我们知道$y=x^{\alpha } $当$0 < \alpha < 1$时，在$x=0$处函数图像就有垂直切线，因此开平方根运算就有可能出现这样的现象.

当然幂函数的情况不完全如此.例如$f(x)=x^3$，则$y=\sqrt{f(x)} $在$x=0$处的切线与$x$轴重合，并不是垂直切线.这里的原因仍然在于幂函数$y=x^{\alpha }$当$\alpha > 1$时在点$x=0$处的切线是水平的.

如果理解了上面的说明，则以下许多出现垂直切线的图像都容易作出.为方便起见，不妨先作出$f(x)$的图像，然后再作$y=\sqrt{f(x)}$（或$y=\pm \sqrt{f(x)}$）的图像.如附图所示，我们将$f(x)=-x-2$用虚线表示，然后将它在$x$轴上方的部分“开平方”就得到所要的答案.

注$\quad $从后面的习题$328(e)$和$329.1(d)$可知，“开平方”是对于图像的一种运算.这里对于如何从$f(x)$的图像得到（位于$x$轴上方的）$\sqrt{f(x)}$的图像再作一些说明，请读者与习题$266$的解答对照起来看.

$(1)$只有$f(x)$的图像在$x$轴上方的部分才能被开平方；

$(2)$由$y=\sqrt{x}$的单调递增性可知，$\sqrt{f(x)}$的单调性与$f(x)$相同.因此对$f(x)$的单调性区间分析就提供了$\sqrt{f(x)}$的单调性区间；

$(3)$在$f(x)$的图像与$x$相交处，如果图像在该点的切线既不是水平切线，也不是垂直切线，则$\sqrt{f(x)}$在该点具有垂直切线；

$(4)$更进一步，或$1 < f(x)$，则$1 < \sqrt{f(x)} < f(x)$，而当$1 > f(x) > 0$时，则$1 > \sqrt{f(x)} > f(x)$.

$267$.$y=\pm x\sqrt{x} $（半三次抛物线，尼尔抛物线）.

解$\quad y^2=x^3$，如图所示.

$268$.$y=\pm \dfrac12 \sqrt{100-x^2} $（椭圆）.

解$\quad \dfrac{x^2}{100} +\dfrac{y^2}{25} =1$，如图所示.

$269$.$y=\pm \sqrt{x^2-1} $（双曲线）.

解$\quad x^2-y^2 =1$，如图所示.

$270$.$y=\pm \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} $.

解$\quad y^2 =\dfrac{1-x}{1+x} ,x=-1+\dfrac{2}{1+y^2} $，将$x=-1$及$x=\dfrac{2}{1+y^2}$的图像叠加即得，如图所示$(-1 < x \leqslant 1$).

$271$.$y=\pm x\sqrt{100-x^2} $.

解$\quad $当$x=0,\pm 10$时，$y=0$.将$y=x$和$y=\sqrt{100-x^2}$的图像上点的纵坐标相乘，即可描出图像.如图所示.

$272$.$y=\pm x\sqrt{\dfrac{x}{10-x}} $（蔓叶线）.

解$\quad y^2(10-x)=x^3$，如图所示.

$273$.$y=\pm \sqrt{(x^2-1)(9-x^2)} $.

解$\quad y=\pm \sqrt{16-(x^2-5)^2} $，如图所示.

$274$.作幂函数$y=x^n $的图像：$(a)n=1,3,5$；$(b)n=2,4,6$.

解$\quad $如图所示.

$275$.作幂函数$y=x^n $的图像：$(a)n=-1,-3$；$(b)n=-2,-4$.

解$\quad $如图所示.

$276$.作根式$y=\sqrt[m]{x} $的图像：$(a)n=2,4$；$(b)n=3,5$.

解$\quad $如图所示.

$277$.作根式$y=\sqrt[m]{x^k} $的图像：

$$(a)m=2,k=1;(b)m=2,k=3;(c)m=3,k=1;$$

$$(d)m=3,k=2;(e)m=3,k=4;(f)m=4,k=2;$$

$$(g)m=4,k=3.$$

解$\quad $将所给数据代入$y=\sqrt[m]{x^k} $，如图所示.

$278$.作指数函数$y=a^x$的图像：$a=\dfrac12 ,1,2,e,10$.

解$\quad $如图所示.

$279$.作复合指数函数$y=e^{y_1} $的图像：

$$(a)y_1 =x^2 ;(b)y_1 =-x^2 ;(c)y_1 =\dfrac{1}{x} ;$$

$$(d)y_1 =\dfrac{1}{x^2} ;(e)y_1 =-\dfrac{1}{x^2} ;(f)y_1 =\dfrac{2x}{1-x^2} .$$

解$\quad (a)$如图所示；$(b)$如图所示；$(c)$如图所示；$(d)$如图所示；$(e)$如图所示；$(f)$如图所示.

$280$.作出对数函数$y=\log_a x$的图像：$a=\dfrac12 ,2,e,10$.

解$\quad $如图所示.

$281$.作下列函数的图像：

$$(a)y=\ln (-x);(b)y=-\ln x.$$

解$\quad $如图所示.

$282$.作出对数复合函数$y=\ln y_1 $的图像：

$$(a)y_1 =1+x^2 ;(b)y_1 =(x-1)(x-2)^2 (x-3)^3 ;$$

$$(c)y_1 =\dfrac{1-x}{1+x} ;(d)y_1 =\dfrac{1}{x^2} ;(e)y_1 =1+e^x .$$

解$\quad (a)$如图所示；$(b)$存在域：$x > 3$或$x < 1$.$y=\ln \vert x-1\vert +2\ln \vert x-2\vert +3\ln \vert x-3\vert $，将此三个函数的图像叠加即得，如图所示；$(c)y=\ln (1-x)-\ln (1+x)$，将$y=\ln (1-x)$及$y=-\ln (1+x)$的图像叠加即得，如图所示$(-1 < x < 1)$；$(d)y=\ln \dfrac{1}{x^2} $，如图所示，图像关于$Oy$轴对称；$(e)$如图所示.

$283$.作函数$y=\log_x 2$的图像.

解$\quad $如图所示.

$284$.作函数$y=A\sin{x} $当$A=1,10,-2$时的图像.

解$\quad $如图所示.

$285$.作函数$y=\sin{(x-x_0 )}$在$x_0 =0,\dfrac{\pi }{4} ,\dfrac{\pi }{2} ,\dfrac{3\pi }{4} ,\pi$时的图像.

解$\quad $只要将$y=\sin{x}$的图像向右平移距离$\dfrac{\pi }{4} $，$\dfrac{\pi }{2} $，$\dfrac{3\pi }{4} $，$\pi $即得，如图所示.

$286$.作函数$y=\sin{nx}$在$n=1,2,3,\dfrac12 ,\dfrac13 $时的图像.

解$\quad $如图所示.

$287$.把函数$y=a\cos{x} +b\sin{x} $化为$y=A\sin{(x-x_0 )}$的形式，再作它的图像.研究例子：$y=6\cos{x} +8\sin{x} $.

解$\quad y=\sqrt{a^2+b^2} \left( \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2} } \cos{x} +\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2} } \sin{x} \right) $，由于

$$\left\vert \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right\vert \leqslant 1,\left\vert \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right\vert \leqslant 1$$

及

$$\left( \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 +\left( \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \right)^2 =1,$$

故可令

$$\sin{x_0 } =\dfrac{-a}{\sqrt{a^2+b^2} } ,\cos{x_0 } =\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2} } \label{287} \tag{1} $$

于是，

$$y=A\sin{(x-x_0 )} \label{288} \tag{2} $$

其中$A=\sqrt{a^2+b^2} (a^2+b^2\neq 0)$，$x_0 $适合$\eqref{287}$.

$\eqref{288}$式图像是这样作的：先把正弦曲线$y=\sin{x} $沿$Ox$轴平移距离$\vert x_0 \vert $（或$x_0 > 0$，则向右移；若$x_0 < 0$时向左移），然后再从纵轴“伸长”$A$倍（当$A < 1$时为压缩$\dfrac{1}{A} $倍）.

对于例子$y=6\cos{x} +8\sin{x} $，$A=\sqrt{6^2+8^2} =10$，$\sin{x_0 } =-\dfrac{6}{10} =-\dfrac35 $，$\cos{x_0 } =\dfrac45 $，$x_0 =-\arctan{\dfrac34 } $，如图所示.

作下列三角函数的图像：

$288$.$y=\cos{x}$.

解$\quad $如图所示.

$289$.$y=\tan{x} $.

解$\quad $如图所示.

$290$.$y=\cot{x}$.

解$\quad $如图所示.

$291$.$y=\sec{x}$.

解$\quad $如图所示.

$292$.$y=\csc{x}$.

解$\quad $如图所示.

$293$.$y=\sin{}^2 x$.

解$\quad $如图所示.

$294$.$y=\sin{}^3 x$.

解$\quad $如图所示.

$295$.$y=\cot{}^2 x$.

解$\quad $如图所示.

$296$.$y=\sin{x} \sin{3x} $.

解$\quad y=\dfrac12 (\cos{2x} -\cos{4x} )$.图像关于$Oy$轴对称.周期为$\pi $.将$y=\dfrac12 \cos{2x}$及$y=-\dfrac12 \cos{4x} $的图像叠加即得.如图所示.

$297$.$y=\pm \sqrt{\cos{x}}$.

解$\quad $图像关于$Ox$轴及$Oy$轴均对称，是以$2\pi $为周期的周期函数，如图所示.

作下列函数的图像：

$298$.$y=\sin{x^2}$.

解$\quad $这是偶函数.容易知道其零点全体为$\pm \sqrt{n\pi } $，$n$取所有非负整数.从数列极限（习题$47$）知道

$$\lim_{n\to \infty } (\sqrt{(n+1)\pi } -\sqrt{n\pi } ) =0,$$

即相邻的零点之间的距离随着$n$的增大而单调趋于$0$.同样可以确定该函数达到$+1$和$-1$的自变量值，这样就容易作出其草图.还可以从今后关于$\sin{x} \sim x(x\to 0)$的知识知道在$x=0$附近，$y=\sin{x^2}$的图像与$y=x^2$相似.

$299$.$y=\sin{\dfrac{1}{x}}$.

解$\quad $这是奇函数，即关于原点中心对称.在点$x=0$处无定义.值域为$-1\leqslant y\leqslant 1$.

当$x$从$+\infty $减少趋于原点的右侧时，$\dfrac{1}{x} $从$0$单调递增到$+\infty $，因此$y$在$-1$到$1$之间作无限次摆动.具体来说，$y$在$[\dfrac{2}{\pi } ,+\infty )$上单调递减趋于$0$，图像以$y=0$为水平渐近线，在$[\dfrac{2}{3\pi } ,\dfrac{2}{\pi } ]$上从$-1$单调增加到$1$，依次类推.如附图所示，不难确定$y$的所有零点和取到$\pm 1$的所有极值点的坐标.

$300$.$(a)y=x\cos{\dfrac{\pi }{x}} $；$(b)y=\sin{x} \sin{\dfrac{1}{x}} $.

解$\quad (a)-x\leqslant y\leqslant x$，$\displaystyle \lim_{x\to \infty } y=\infty $.

当$x=\dfrac{2}{2k+1} (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$.

当$x > 2$时，$y$单调增加，因为$y$是奇函数，故图像关于原点对称.而在点$x=0$处，函数$y$没有定义.

当$x$无限接近于$0$时，函数作无限次衰减摆动，并凝聚于$O$点，如图所示.

$(b)$如图所示.

$301$.$(a)y=\tan{\dfrac{\pi }{x}} $；$(b)y=\sec{\dfrac{1}{x}}$.

解$\quad (a)$当$x=\dfrac{1}{k} (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$.

当$x\to \dfrac{2}{2k+1} (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y\to \infty $.

当$x > 2$时，$y > 0$，且当$x \to +\infty $时，$y\to 0$.因为$y$为奇函数，故图像关于原点对称.

当$x \to 0$时，图像凝聚于$O$点，而在点$x=\dfrac{2}{2k+1} $及$0$处，函数$y$是没有定义的.如图所示.

$(b)$如图所示.

$302$.$y=x\left( 2+\sin{\dfrac{1}{x}} \right) $.

解$\quad $先作$y=x\sin{\dfrac{1}{x} } $的图像.因为$y$为偶函数，故图像关于$Oy$轴对称.

当$x=\dfrac{2}{(2k+1)\pi } (k=0,\pm 1,\pm 2 ,\cdots )$时，$y=\pm x$.当$x=\dfrac{1}{k\pi } (k=\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$.

当$x > \dfrac{2}{\pi } $时，$y$单调增加，且有

$$\lim_{x\to \infty } x\sin{\dfrac{1}{x} } =\lim_{x\to \infty } \dfrac{\sin{\dfrac{1}{x}}}{\dfrac{1}{x}} =1.$$

如图所示（在点$x=0$处无定义）.

其次，再将函数$y=2x$及$y=x\sin{\dfrac{1}{x}} $的图像“叠加”，即得

$$y=x\left( 2+\sin{\dfrac{1}{x}} \right) $$

的图像，如图所示.

$303$.$y=\pm \sqrt{1-x^2} \sin{\dfrac{\pi }{x}} $.

解$\quad $图像关于原点及$Oy$轴，$Ox$轴均对称，由于

$$-\sqrt{1-x^2} \leqslant y\leqslant \sqrt{1-x^2} (\vert x\vert \leqslant 1),$$

故图像位于$x^2+y^2=1$内.

将函数$y=\pm \sqrt{1-x^2} $与$y=\sin{\dfrac{\pi }{x}} $的纵坐标对应相乘，即可描出所求的图像.如图所示.

$304$.$y=\dfrac{\sin{x}}{x} $.

解$\quad $该函数为偶函数，于$x=0$处没有定义，但根据下一节的函数极限知识知道它在该点的极限为$1$.

将该函数的图像看成为正弦曲线$\sin{x}$与直角双曲线$\dfrac{1}{x}$相乘，就可以作出下面的图像，其中用虚线表示的$4$条曲线是$y=\pm \dfrac{1}{x} $（$x > 0$和$x < 0$），它们将$y=\dfrac{\sin{x}}{x} $的图像夹在中间，且在$\sin{x} =\pm 1$处与之相切.

$305$.$y=e^x \cos{x} $.

解$\quad $由于$-e^x \leqslant y\leqslant e^x $，故图像有$y=e^x $及$y=-e^x $之间.

当$x=(2k+1)\dfrac{\pi }{2} (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$.且$\displaystyle \lim_{x\to -\infty } y=0$，但$\displaystyle \lim_{x\to +\infty } e^x \cos{x} $却不存在.如图所示.

$306$.$y=\pm 2^{-x} \sqrt{\sin{\pi x}} $.

解$\quad $当

$307$.$y=\dfrac{\cos{x}}{1+x^2} $.

解$\quad -\dfrac{1}{1+x^2} \leqslant y\leqslant \dfrac{1}{1+x^2} $，图像在$y=-\dfrac{1}{1+x^2} $及$y=\dfrac{1}{1+x^2} $之间，且关于$Oy$轴对称.

$$\lim_{x\to \infty } y=0,\lim_{x\to 0} y=1.$$

如图所示.

$308$.$y=\ln (\cos{x} )$.

解$\quad $存在域是使$\cos{x} > 0$的开区间$\left( (4k-1)\dfrac{\pi }{2} ,(4k+1)\dfrac{\pi }{2} \right) (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$的全体.函数$y$是以$2\pi $为周期的周期函数.在区间$\left( -\dfrac{\pi }{2} ,0\right) $内，$y$单调增加，且$y < 0$.在$\left( 0,\dfrac{\pi }{2} \right) $内，$y$单调减小，$y < 0$，最大值是$y=\ln \cos{0} =0$.

又$\displaystyle \lim_{x\to -\frac{\pi }{2} +0} y=\lim_{x\to \frac{\pi }{2} -0} y=-\infty $.如图所示.

$309$.$y=\cos{(\ln x)} $.

解$\quad $存在域为数$x > 0$的全体.

当$x=e^{(2k+1)\frac{\pi }{2} } (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$.当$x=e^{2k\pi }(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=1$；而当$x=e^{(2k+1)\pi } $时，$y=-1$.图像始终在直线$y=-1$和$y=1$之间摆动，而且越靠近原点时，摆动越密.如图所示.

$310$.$y=e^{\frac{1}{\sin{x}} } $.

解$\quad y > 0$.函数$y$是以$2\pi $为周期的周期函数.

当$0 < x < \dfrac{\pi }{2} $时，$y$单调减少；当$\dfrac{\pi }{2} < x < \pi $时，$y$单调增加.又有$\displaystyle \lim_{x\to } y=\lim_{x\to \pi -0} y=+\infty $.$y\big\vert_{x=\frac{\pi }{2} } =e$为区间$(0,\pi )$内函数$y$的最小值.

同理，$x$由$\pi $到$\dfrac{3\pi }{2} $时，$y$由$0$增到$\dfrac{1}{e} $；而$x$由$\dfrac{3\pi }{2} $到$2\pi $时，$y$由$\dfrac{1}{e} $减到$0$.$\displaystyle \lim_{x\to \pi +0} y=\lim_{x\to 2\pi -0} y=0$.如图所示.

作下列反三角函数的图像：

$311$.$y=\arcsin{x} $.

解$\quad $如图所示.

$312$.$y=\arccos{x} $.

解$\quad $如图所示.

$313$.$y=\arctan{x} $.

解$\quad $如图所示.

$314$.$y=\mathbb{arccot} \;{x} $.

解$\quad $如图所示.

$315$.$y=\arcsin{\dfrac{1}{x} }$.

解$\quad $图像关于原点对称.存在域是区间$(-\infty ,-1]$和$[1,+\infty )$.

当$1\leqslant x < +\infty $时，由于$\dfrac{1}{x} $单调减少，所以，$y$也是减函数，且有

$$\lim_{x\to 1+0} y=\dfrac{\pi }{2} =y\big\vert_{x=1} ,\lim_{x\to +\infty } y=0.$$

如图所示.

$316$.$y=\arccos{\dfrac{1}{x}} $.

解$\quad $存在域是区间$(-\infty ,-1]$和$[1,+\infty )$.

当$1\leqslant x < +\infty $时，由于$\dfrac{1}{x} $单调减少，所以$y$是增函数，且有$\displaystyle \lim_{x\to 1+0} y=0$，$\displaystyle \lim_{x\to +\infty } y=\dfrac{\pi }{2} $.

同理，当$-\infty < x\leqslant -1$时，$y$单调增加，且有$\displaystyle \lim_{x\to -1-0} y=\pi $，$\displaystyle \lim_{x\to -\infty } y=\dfrac{\pi }{2} $.

$317$.$y=\arctan{\dfrac{1}{x}} $.

解$\quad $图像关于原点对称.

当$x > 0$时，由于$\dfrac{1}{x} $单调减少，所以，$y$是减函数，且有

$$\lim_{x\to +0} y=\dfrac{\pi }{2} ,\lim_{x\to +\infty } y=0.$$

如图所示.

$318$.$y=\arcsin{(\sin{x})} $.

解$\quad \sin{y} =\sin{x} ,-\dfrac{\pi }{2} \leqslant y\leqslant \dfrac{\pi }{2} $.

因此，当$-\dfrac{\pi }{2} \leqslant x\leqslant \dfrac{\pi }{2} $时，$y=x$；当$\dfrac{\pi }{2} \leqslant x\leqslant \dfrac{3\pi }{2} $时，$y=\pi -x$；当$\dfrac{3\pi }{2} \leqslant x\leqslant \dfrac{5\pi }{2} $时，$y=x-2\pi $.

一般地，当$-\dfrac{\pi }{2} +2k\pi \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi }{2} +2k\pi $时，

$$y=x-2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots );$$

而当$\dfrac{\pi }{2} +2k\pi \leqslant x\leqslant \dfrac{3\pi }{2} +2k\pi $时，

$$y=(\pi -x)+2k\pi .$$

如图所示.

$319$.$y=\arcsin{(\cos{x})} $.

解$\quad \sin{y} =\cos{x} ,-\dfrac{\pi }{2} \leqslant y\leqslant \dfrac{\pi }{2} $.

因此，当$-\pi \leqslant x\leqslant 0$时，$y=\dfrac{\pi }{2} +x$；当$0 \leqslant x\leqslant \pi $时，$y=\dfrac{\pi }{2} -x$；

一般地，当$(2k-1)\pi \leqslant x \leqslant 2k\pi $时，

$$y=\left( \dfrac{\pi }{2} +x\right) -2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2 ,\cdots );$$

而当$2k\pi \leqslant x\leqslant (2k+1)\pi $时，

$$y=\left( \dfrac{\pi }{2} -x\right) +2k\pi .$$

如图所示.

$320$.$y=\arccos{(\cos{x})} $.

解$\quad \cos{y} =\cos{x} ,0\leqslant y\leqslant \pi $.

因此，当$0\leqslant x\leqslant \pi $时，$y=x$；当$\pi \leqslant x\leqslant 2\pi $时，$y=2\pi -x$；当$-\pi \leqslant x\leqslant 0$时，$y=-x$.

一般地，当$(2k-1)\pi \leqslant x\leqslant 2k\pi $时，

$$y=-x+2k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots );$$

而当$2k\pi \leqslant x\leqslant (2k+1)\pi $时，$y=x-2k\pi $.如图所示.

$321$.$y=\arctan{(\tan{x})} $.

解$\quad \tan{y} =\tan{x} ,-\dfrac{\pi }{2} < y < \dfrac{\pi }{2} $.

因此，当$-\dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{\pi }{2} $时，$y=x$；当$\dfrac{\pi }{2} < x < \dfrac{3\pi }{2} $时，$y=x-\pi $；当$-\dfrac{3\pi }{2} < x < -\dfrac{\pi }{2} $时，$y=\pi +x$.

一般地，当$-\dfrac{\pi }{2} +k\pi < x < \dfrac{\pi }{2} +k\pi $时，$y=x-k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$.如图所示.

$322$.$y=\arcsin{(2\sin{x})} $.

解$\quad \sin{y} =2\sin{x} ,(-\dfrac{\pi }{2} \leqslant y\leqslant \dfrac{\pi }{2} ) $.

存在域为区间$\left[ -\dfrac{\pi }{6} ,\dfrac{\pi }{6} \right] $，$\left[ \dfrac{5\pi }{6} ,\dfrac{7\pi }{6} \right] $，$\cdots $的全体.即$\left[ -\dfrac{\pi }{6} +k\pi ,\dfrac{\pi }{6} +k\pi \right] (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$的全体.

利用复合函数作图法得其图像，如图所示，它关于原点对称.

$323$.作函数$y=\arcsin{y_1 } $的图像：

$(a)y_1 =1-\dfrac{x}{2} $；$(b)y_1 =\dfrac{2x}{1+x^2} $；

$(c)y_1 =\dfrac{1-x}{1+x} $；$(d)y_1 =e^x $.

解$\quad (a)$存在域为满足不等式$0\leqslant x\leqslant 4$的数$x$的集合.当$0\leqslant x\leqslant 2$时，$y$由$\dfrac{\pi }{2} $减少到$0$；而当$2\leqslant x\leqslant 4$时，$y$由$0$减少到$-\dfrac{\pi }{2} $，如图所示.

$(b)$图像关于原点对称.存在域为全体实数.当$x$由$0$增到$1$时，由于$\dfrac{2x}{1+x^2} $为增函数，故$y$由$0$增至$\dfrac{\pi }{2} $，而当$x > 1$时，$\dfrac{2x}{1+x^2}$为减函数，故$y$由$\dfrac{\pi }{2} $减少到$0$，且$\displaystyle \lim_{x\to +\infty } y=0$.如图所示.

$(c)$要$\left\vert \dfrac{1-x}{1+x} \right\vert \leqslant 1$，只要$x \geqslant 0$，故存在域为$x\geqslant 0$的数$x$的集合.当$x$由$0$增到$1$时，$\dfrac{1-x}{1+x} $由$1$减少到$0$，而$y$则由$\dfrac{\pi }{2} $减少到$0$；而当$x$由$1$增到$+\infty $时，$\dfrac{1-x}{1+x} $由$0$减少到$-1$，而$y$由$0$减少到$-\dfrac{\pi }{2} $，且$\displaystyle \lim_{x\to +\infty } y=\dfrac{\pi }{2} $，如图所示.

$(d)$存在域为$-\infty < x\leqslant 0$的数$x$的集合.当$x$由$-\infty $增到$0$时，$e^x $由$0$增到$1$，而$y$则由$0$增到$\dfrac{\pi }{2} $.如图所示.

$324.1$.作函数$y=\arctan{y_1 } $的图像：

$(a)y_1 =x^2 $；$(b)y_1 =\dfrac{1}{x^2} $；

$(c)y_1 =\ln x$；$(d)y_1 =\dfrac{1}{\sin{x}} $.

解$\quad (1)$如图所示.

$(2)$如图所示.

$(3)$如图所示.

$(4)$以$2\pi $为周期.当$x$由$0$增到$\dfrac{\pi }{2} $时，$\dfrac{1}{\sin{x} } $由$+\infty $减到$1$，而$y$则由$\dfrac{\pi }{2} $减到$\dfrac{\pi }{4} $.余类推，如图所示.

$324.2$.作下列函数的图像：

$(a)y=x^3-3x+2$；$(b)y=\dfrac{x^3}{(1-x)(1+x)^2} $；

$(c)y=\dfrac{x^2}{\vert x\vert -1} $；$(d)y=\sqrt{x(1-x^2)} $；

$(e)y=3\sin{\left( \dfrac{x}{2} +\dfrac{\pi }{4} \right) } $；$(f)y=\cot{\dfrac{\pi x}{1+x^2}} $；

$(g)y=\dfrac{1}{1-2^{\frac{x}{1-x}}} $；$(h)y=\lg (x^2-3x+2)$；

$(i)y=\arcsin{\left( \dfrac32 -\sin{x} \right) } $；$(j)y=\arctan{\left( \dfrac{1}{x-1} +\dfrac{1}{x-2} +\dfrac{1}{x-3} \right) } $；

$(k)y=\log_{\cos{x}} \sin{x} $；$(l)y=(\sin{x})^{\cot{x}} $.

解$\quad (a)$参考前面给出的习题$246$的解题过程.

$(b)$先将$y(x)$分解为

$$y=-1-\dfrac{1}{4(x-1)} +\dfrac{5}{4(1+x)} -\dfrac{1}{2(1+x)^2} ,$$

然后分别作出每一项的图像，再将它们相加.这里可以参考前面给出的习题$251$的解题过程，还可以参考习题$260-261$的图像.

$(c)$这是偶函数，只要先作出$x > 0$的部分再关于$y$轴作反射.对$x > 0$可先作分解

$$y=x+1+\dfrac{1}{x-1} ,$$

然后将各项的图像相加即可.

$(d)$参考前面对于习题$266$的解题过程.将根号下的$x(1-x^2)$的图像用虚线画出，然后再取其大于$0$的部分开平方即可.还可以参考习题$267-273$等的图像.

$(e)$这是周期为$4\pi $的函数.从$\sin{x} $的图像出发经过$x$方向的缩放、平移和$y$方向的缩放就可以得到.还可以参考习题$284-286$等的图像.

$(f)$相当于习题$290$和$257$的图像进行复合，然后再乘以$\pi $.

$(g)$注意在$x=0,1$处函数没有定义，当$x\to \pm \infty $时$y\to 2$，因此有水平渐近线$y=2$.分别讨论三个区间$(-\infty ,0),(0,1)$和$(1,+\infty )$即可作出图像.

$(h)$先作出$x^2-3x+2$的图像，对其中$> 0$的部分取对数.

$(i)$先作出$\dfrac32 -\sin{x} $的图像，对其函数值处于$[-1,1]$的部分取反正弦.

$(j)$先作出$\dfrac{1}{x-1} +\dfrac{1}{x-2} +\dfrac{1}{x-3} $的图像，然后取反正切.

$(k)$这是周期为$2\pi $的函数，且只对于$\sin{x} $和$\cos{x} $同时大于$0$时才有定义.于是只要在$(0,\dfrac{\pi }{2} )$上讨论就够了.用换底公式有$y(x)=\dfrac{\ln \sin{x} }{\ln \cos{x} } $，即可看出其单调性.

$(l)$这是周期为$2\pi $的函数，且只在$\sin{x} > 0$时有定义.于是只要在$(0,\pi )$上讨论.若将函数改写为

$$y(x)=e^{\cot{x} \ln \sin{x} } ,$$

并利用$\cot{x}$的图像和$\ln \sin{x} $的图像（参考习题$308$），则不难确定出$y(x)$在区间$(0,\pi )$上严格单调递增，且有$y(+0)=0$和$y(\pi -0)=+\infty $.