关于图像运算的一般规律

习题$325$和$328$讨论了从$y=f(x)$的已知图像出发，如何得到有关的其他图像，熟练掌握这些技巧对于作草图是非常有帮助的.这可以看成是前面许多习题中体现的方法的进一步总结.习题$330$则是对两个函数的图像的运算.

习题$325$中包含的是关于$y=f(x)$的自变量和因变量的线性变换所带来的图像变化.为简单起见，该习题的附图只作了一个非常简单的$y=f(x)$的图像，然后以示意方式表示出它在上述各种变换下所发生的变化.

$325$.已知函数$y=f(x)$的图像，作下列函数的图像：

$(a)y=-f(x)$；$(b)y=f(-x)$；

$(c)y=-f(-x)$；$(d)y=f(x-x_0 )$；

$(e)y=y_0 + f(x-x_0 )$；$(f)y=f(2x)$；

$(g)y=f(kx+b)(k\neq 0)$.

解$\quad (a)$函数$y=-f(x)$的图像和函数$y=f(x)$的图像关于$Ox$轴对称.如图所示.

$(b)$函数$y=f(-x)$的图像和函数$y=f(x)$的图像关于$Oy$轴对称.如图所示.

$(c)$函数$y=-f(-x)$的图像和函数$y=f(x)$的图像关于原点对称.如图所示.

$(d)$函数$y=f(x-x_0 )$的图像可由$y=f(x)$的图像平移距离$\vert x_0 \vert $得出.当$x_0 > 0$时，向右平移；当$x_0 < 0$时，向左平移.如图所示.

$(e)$函数$y=y_0 +f(x-x_0 )$的图像可由$y=f(x)$的图像先平移距离$\vert x_0 \vert $，再上下平移距离$\vert y_0 \vert $得出，其中当$y_0 > 0$时，向上平移；当$y_0 < 0$时，向下平移.

事实上，只要先将坐标原点平移到点$(x_0 ,y_0 )$.坐标轴的方向均不变，再在新坐标系中作$y’=f(x’)$的图像，其中$y’=y-y_0 $，$x’=x-x_0 $.如图所示.

$(f)$函数$y=f(2x)$的图像可由$y=f(x)$的图像沿$Ox$轴方向缩小二倍得出.图像如图所示.

$(g)y=f(kx+b)$的图像可由$y=f(x)$的图像先沿$Ox$轴方向“压缩”$k$倍（$0 < k < 1$时，理解为“放大”）.然后再将所得图像平移距离$\vert b\vert $.图像如图所示.

$326$.设

$$f(x)=\begin{cases}
1-\vert x\vert , & \vert x\vert \leqslant 1,\\
0, & \vert x\vert > 1.\end{cases} $$

作函数

$$y=\dfrac12 (f(x-t)+f(x+t)) $$

当$t=0$，$t=1$及$t=2$时的图像.

解$\quad $如图所示.

$327$.作函数的图像：

$(a)y=2+\sqrt{1-x} $；$(b)y=1-e^{-x} $；

$(c)y=\ln (1+x)$；$(d)y=-\arcsin{(1+x)} $；

$(e)y=3+2\cos{3x} $.

解$\quad $如图所示.

$328$.已知函数$y=f(x)$的图像，作下列函数的图像：

$(a)y=\vert f(x)\vert $；$(b)y=\dfrac12 (\vert f(x)\vert +f(x))$；

$(c)y=\dfrac12 (\vert f(x)\vert -f(x)) $；$(d)y=f^2 (x)$；

$(e)y=\sqrt{f(x)} $；$(f)y=\ln f(x) $；

$(g)y=f(f(x))$；$(h)y=\mathrm{sgn} \;f(x)$；

$(i)y=[f(x)]$.

解$\quad $习题$328$要复杂一些.从其小题$(a)$到$d)$的$4$道题是与取绝对值和平方有关的变换，其中从$f(x)$的已知图像得到

$$\dfrac12 (\vert f(x)\vert +f(x))$$

和

$$\dfrac12 (\vert f(x)\vert -f(x))$$

的图像，即是分别取出$f(x)$的图像在$x$轴上方和下方的部分的两种有用的“运算”.

习题$328$从小题$(e)$到$(i)$的$5$道题是各种有用的复合运算，其中第一个就是在习题$266$及其注中已经详细说明过的开平方运算.

$(e)$当$f(x) > 1$时，$\sqrt{f(x)} < f(x)$；而当$0\leqslant f(x) < 1 $时，$\sqrt{f(x)} \geqslant f(x)$.如图所示.

$(f)$当$f(x)\geqslant 1$时，$\ln f(x) < f(x)$；而当$0 < f(x) < 1$时，$\ln f(x) < f(x)$，故$y=\ln f(x)$的图像始终在$y=f(x)$之下.如图所示.

$(g)$若$y=f(x)$的存在域为$[a,b]$，则仅当$f(x)$之值在$a$与$b$之间，才能使$f[f(x)]$有意义.其详细作图法见习题$330(c)$.

$(h)$当$f(x) > 0$时，$y=1$；当$f(x)=0$时，$y=0$；当$f(x) < 0$时，$y=-1$.如图所示.

$(i)$当$n\leqslant f(x) < n+1$时，$y=n$（$n$为正整数）.如图所示.

$329.1$.设

$$f(x)=(x-a)(b-x)\quad (a < b),$$

作下列函数的图像：

$(a)y=f(x)$；$(b)y=f^2 (x)$；

$(c)y=\dfrac{1}{f(x)} $；$(d)y=\sqrt{f(x)} $；

$(e)y=e^{f(x)} $；$(f)y=\lg f(x)$；

$(g)y=\mathrm{arccot}\; f(x)$.

解$\quad $习题$329.1$是给定一个具体的二次函数$f(x)=(x-a)(b-x)(a < b)$，然后要求作出$f^2 (x)$，$\dfrac{1}{f(x)} $，$\sqrt{f(x)}$，$e^{f(x)}$，$\lg f(x) $，$\mathrm{arccot} \; f(x)$等$6$个有关函数的图像.由于这里存在两个参数$a$和$b$，因此在一幅图像中不能反映出所有可能的情况.下面的附图中所取的参数使得$\max{f(x)} =\dfrac{(b-a)^2}{4} < 1$，它与$\max{f(x)} \geqslant 1$的图像是不一样的.

$329.2$.若$(1)f(x)=x^2 $；$(2)f(x)=x^3$，作下列函数的图像：

$(a)y=\arcsin{(\sin{f(x)})} $；$(b)y=\arcsin{(\cos{f(x)})}$；

$(c)y=\arccos{(\sin{f(x)})} $；$(d)y=\arccos{(\cos{f(x)})} $；

$(e)y=\arctan{(\tan{f(x)})} $.

解$\quad (1)(a)$如下面的附图所示，首先用虚线作出函数$\sin{x^2} $的图像（见习题$298$的附图）.由于$y(x)$是偶函数，以下只需讨论$x\geqslant 0$.

首先作单调性分析.

在区间$[0,\sqrt{\dfrac{\pi }{2} } ]$上$\sin{x^2} $从$0$严格单调递增到$1$，因此$y(x)$从$0$严格单调递增到$\dfrac{\pi }{2} $（参见习题$311$的反正弦函数的图像）.同样可以知道在区间$[\sqrt{\dfrac{\pi }{2} } ,\sqrt{\dfrac{3\pi }{2} } ]$上$y(x)$从$\dfrac{\pi }{2} $严格单调递减到$-\dfrac{\pi }{2} $.以此类推就可以确定图像的各个单调区间.

从反正弦函数的定义知道，当$\vert y\vert \leqslant \dfrac{\pi }{2} $时成立恒等式（参见$\S 1.8.2$的$(1.46)$）

$$\arcsin{(\sin{y})} \equiv y,$$

就可以简单地写出函数$y(x)$在各个区间上的分析表达式.

首先在$[-\sqrt{\dfrac{\pi }{2} } ,\sqrt{\dfrac{\pi }{2} } ] $上就有$y(x)=x^2 $.然后利用$\dfrac{\pi }{2} \leqslant y=x^2 \leqslant \dfrac{3\pi }{2} $时有

$$\sin{x^2} =\sin{(\pi -x^2)} ,$$

而$\vert \pi -x^2 \vert \leqslant \dfrac{\pi }{2} $，这样就知道在区间$[\sqrt{\dfrac{\pi }{2} } ,\sqrt{\dfrac{3\pi }{2} } ] $上有$y=\pi -x^2 $.同样可以推出在区间$[\sqrt{\dfrac{3\pi }{2} } ,\sqrt{\dfrac{5\pi }{2} } ]$上有$y=x^2-2\pi $等等.这样就可以作出附图所示的图像.

由以上分析可见这个函数图像是由分段抛物线弧组成的曲线，同时这也使得我们对于附图中的每个角点如何形成有确切的了解.

$(b)$如图所示.

$(c)$如图所示.

$(d)$如图所示.

$(e)$如图所示.

$(2)(a)$如图所示.

$(b)$如图所示.

$(c)$如图所示.

$(d)$如图所示.

$(e)$如图所示.

$330$.已知函数$y=f(x)$和$y=g(x)$的图像，作下列函数的图像：

$$(a)y=f(x)+g(x);(b)y=f(x)g(x);(c)y=f(g(x)).$$

解$\quad $习题$330$则是从两个函数$y=f(x)$和$y=g(x)$的图像出发求它们的和、积与复合.附图中以$f(x)=\sin{x} $和$g(x)=\dfrac12 x$为例作出了它们的图像.如图所示.

注$\quad (3)$如图所示.设$P$点是$Ox$轴上横坐标为$x$的点.通过$P$点引铅直线.它和$y=g(x)$的图像相交得$Q$点（当然假定值$PQ$在$f(x)$的存在域内）.$PQ=g(x)$.过$Q$点引水平线，它与$y=x$交于$R$点，过$R$点作铅直线与$Ox$轴及$y=f(x)$分别交于$T$点及$S$点，则$OT=TR=PQ=g(x)$，因而$TS=f(g(x))$.最后，把$S$点向通过$P$点的铅直线投影得$M$点，此即函数$y=f(g(x))$图像上的一点.至于该图像上的其他点，同法求得.但要注意，函数$y=f(g(x))$的存在域是满足不等式

$$a\leqslant g(x)\leqslant b$$

的数$x$的集合，式中$[a,b]$是$f(x)$的存在域.

利用图像的加法，作下列函数的图像：

$331$.$y=1+x+e^x $.

解$\quad $如图所示.

$332$.$y=(x+1)^{-2} +(x-1)^{-2} $.

解$\quad $如图所示.

$333$.$y=x+\sin{x} $.

解$\quad $如图所示.

$334$.$y=x+\arctan{x} $.

解$\quad $如图所示.图中仅画了主值的一支，一般地，在平行线$y=x+(2k+1)\dfrac{\pi }{2} $及$y=x+(2k-1)\dfrac{\pi }{2} $之间$(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$，有类似的一支.

$335$.$y=\cos{x} +\dfrac12 \cos{2x} +\dfrac13 \cos{3x} $.

解$\quad $图像关于$Oy$轴对称，且关于直线$x=k\pi $对称.周期为$2\pi $.如图所示.

$336$.$y=\sin{x} -\dfrac13 \sin{3x} +\dfrac15 \sin{5x} $.

解$\quad $图像关于原点对称，周期为$2\pi $，且有$f(x+\pi )=-f(x)$，故在$[0,2\pi ]$内图像关于直线$x=\pi $反对称.因此，我们只需做出$[0,\pi ]$内的图像即可.如图所示.

$337$.$y=\sin{}^4 x+\cos{}^4 x$.

解$\quad $如图所示.

$338$.$y=\vert 1-x\vert +\vert 1+x\vert $.

解$\quad $当$-1\leqslant x\leqslant 1$时，$y=2$；当$x < -1$时，$y=-2x$；当$x > 1$时，$y=2x$.如图所示.

$339$.$y=\vert 1-x\vert -\vert 1+x\vert $.

解$\quad $当$-1\leqslant x\leqslant 1$时，$y=-2x$；当$x < -1$时，$y=2$；当$x > 1$时，$y=-2$.如图所示.

$340$.作双曲函数的图像：

$(a)y=\cosh{x} $，式中$\cosh{x} =\dfrac12 (e^x +e^{-x}) $；

$(b)y=\sinh{x} $，式中$\sinh{x} =\dfrac12 (e^x -e^{-x}) $；

$(c)y=\tanh{x} $，式中$\tanh{x} =\dfrac{\sinh{x}}{\cosh{x}} $.

解$\quad $如图所示.

利用图像的乘法，作下列函数的图像：

$341$.$y=x\sin{x}$.

解$\quad $当$x=k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$.图像关于$Oy$轴对称.当$x=\dfrac{\pi }{2} +2k\pi $时，$y=x$；又当$x=\dfrac{3\pi }{2} +2k\pi $时，$y=-x$.如图所示.

$342$.$y=x\cos{x} $.

解$\quad $图像关于原点对称.当$x=(2k+1)\dfrac{\pi }{2} (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$；当$x=2k\pi $时，$y=x$；当$x=(2k+1)\pi $时，$y=-x$.如图所示.

$343$.$y=x^2 \sin{}^2 x$.

解$\quad $只要将图像$y=x\sin{x}$作出后，再按习题$329(a)$的作法画出.如图所示.其实，我们也可由下列几点画出该函数的图像：

$$0\leqslant y\leqslant x^2 ;$$

当$x=k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$；当$x=(2k+1)\dfrac{\pi }{2} $时，$y=x^2$.图像关于$Oy$轴对称.

$344$.$y=\dfrac{\sin{x}}{1+x^2} $.

解$\quad $图像关于原点对称.当$x=k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$；当$x=\dfrac{3\pi }{2} +2k\pi $时，$y=-\dfrac{1}{1+x^2} $；当$x=\dfrac{\pi }{2} +2k\pi $时，$y=\dfrac{1}{1+x^2} $.当$x\to \infty $时，$y\to 0$.如图所示.

$345$.$y=e^{-x^2} \cos{2x} $.

解$\quad $因$-e^{-x^2} \leqslant y\leqslant e^{-x^2} $，故图像在图像$y=e^{-x^2} $及$y=-e^{-x^2} $之间.如图所示.

$346$.$y=x\mathrm{sgn} (\sin{x} )$.

解$\quad $图像关于$Oy$轴对称.当$x=k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$；当$2k\pi < x < (2k+1)\pi $时，$y=x$；当$(2k+1)\pi < x < (2k+2)\pi $时，$y=-x$.如图所示.

$347$.$y=[x]\vert \sin{\pi x} \vert $.

解$\quad $当$x=k(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$；当$n < x < n+1 $（$n$为正整数）时，$y=n\vert \sin{\pi x} \vert $.如图所示.

$348$.$y=\cos{x} \cdot \mathrm{sgn} (\sin{x} )$.

解$\quad $图像关于原点对称，周期为$\pi $.当$x=k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$y=0$；当$2k\pi < x < (2k+1)\pi $时，$y=\cos{x} $；当$(2k+1)\pi < x < (2k+2)\pi $时，$y=-\cos{x} $.如图所示.

$349$.设

$$f(x)=\begin{cases}
1-\vert x\vert , & \vert x\vert \leqslant 1, \\
0 , & \vert x\vert > 1.\end{cases} $$

作函数$y=f(x)f(a-x)$当$(a)a=0;(b)a=1;(c)a=2$时的图像.

解$\quad (a)y=f(x)f(-x)$.因为$f(x)$是偶函数，所以，$y=f^2 (x)$.由函数$f(x)$的定义易得

$$y=\begin{cases}
(1+x)^2 , & -1\leqslant x < 0, \\
(1-x)^2 , & 0\leqslant x \leqslant 1, \\
0, & \vert x\vert > 1. \end{cases} $$

如图所示.

$(b)y=f(x)f(1-x)$.由函数$f(x)$的定义易得

$$y=\begin{cases}
0 , & x\leqslant 0, \\
x-x^2 , & 0 < x < 1, \\
0, & x \geqslant 1. \end{cases} $$

如图所示.

$(c)y=f(x)f(2-x)$.由函数$f(x)$的定义易得$y=0$.如图所示.

$350$.作函数$y=x+\sqrt{x} \mathrm{sgn} (\sin{\pi x} ) $的图像.

解$\quad $当$2k < x < 2k+1(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$时，$\sin{\pi x} > 0$，$\mathrm{sgn} (\sin{\pi x}) =1$，因而，$y=x+\sqrt{x} $.而当$2k+1 < x < 2k+2 $时，$y=x-\sqrt{x} $.如图所示.

作函数$y=\dfrac{1}{f(x)} $的图像：

$351$.$f(x)=x^2 (1-x^2) $.

解$\quad y=\dfrac{1}{x^2} +\dfrac{1}{1-x^2} $.利用图像的加法，将函数$y=\dfrac{1}{x^2} $及$y=\dfrac{1}{1-x^2} $的图像相加即得.如图所示.

$352$.$f(x)=x(1-x)^2 $.

解$\quad y=\dfrac{1}{x(1-x)^2} =\dfrac{1}{x} +\dfrac{1}{1-x} +\dfrac{1}{(1-x)^2} $.当$x > 0$时，$y > 0$；当$x < 0$时，$y < 0$.利用图像的加法即得，如图所示.

$353$.$f(x)=\sin{}^2 x$.

解$\quad y=\dfrac{1}{\sin{}^2 x} $是一周期为$\pi $的周期函数.图像关于$Oy$轴对称.如图所示.

$354$.$f(x)=\ln x$.

解$\quad y=\dfrac{1}{\ln x} $.当$0 < x < 1$时，$y$由$0$下降到$-\infty $；当$1 < x < +\infty $时，$y$由$+\infty $下降到$0$.如图所示.

$355$.$f(x)=e^x \sin{x} $.

解$\quad y=e^{-x} \csc{x} $.因为$\vert \csc{x} \vert \geqslant 1$，所以，$\vert y\vert \geqslant e^{-x} $.利用图像的乘法即得，如图所示.

$356$.设

$$f(x)=\begin{cases}
-1 , & -\infty < u < -1, \\
u , & -1 \leqslant u \leqslant 1, \\
1 ,& 1 < u < +\infty . \end{cases} $$

作复合函数$y=f(u)$的图像，其中$u=2\sin{x}$.

解$\quad $如图所示.当$\vert x-k\pi \vert \leqslant \dfrac{\pi }{6} $时，$y=2\sin{x} $；当$\dfrac{\pi }{6} < \vert x-k\pi \vert < \dfrac{5\pi }{6} $时，$y=(-1)^k (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$.

$357$.设

$$\varphi (x)=\dfrac12 (x+\vert x\vert ),\psi (x)=\begin{cases} x, & x < 0 , \\ x^2 , & x \geqslant 0. \end{cases} $$

作下列函数的图像：

$$(a)y=\varphi (\varphi (x));(b)y=\varphi (\psi (x)) ;$$

$$(c)y=\psi (\varphi (x)) ;(d)y=\psi (\psi (x)) .$$

解$\quad (a)\varphi (x)=\begin{cases} x, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0.\end{cases} \varphi (\varphi (x)) =\varphi (x)$.如图所示.

$(b)\varphi (\psi (x))=\begin{cases} x^2, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0.\end{cases} $如图所示.

$(c)\psi (\varphi (x))=\begin{cases} x^2, & x \geqslant 0, \\ 0, & x < 0.\end{cases} $如图所示.

$(d)\psi (\psi (x))=\begin{cases} x^4, & x \geqslant 0, \\ x, & x < 0.\end{cases} $如图所示.

$358$.设

$$\varphi (x)=\begin{cases} 1, & \vert x \vert \leqslant 1 ,\\
0 , & \vert x\vert > 1, \end{cases} \quad \psi (x)=\begin{cases} 2-x^2, & \vert x\vert \leqslant 2 , \\ 2 , & \vert x\vert > 2. \end{cases} $$

作下列函数的图像：

$$(a)y=\varphi (\varphi (x));(b)y=\varphi (\psi (x)) ;$$

$$(c)y=\psi (\varphi (x)) ;(d)y=\psi (\psi (x)) .$$

解$\quad (a)\varphi (\varphi (x))=1$.如图所示.

$(b)\varphi (\psi (x))=\varphi (\psi (-x))$，故图像关于$Oy$轴对称.

当$0\leqslant x < 1 $时，$\psi (x)=2-x^2$，由于$1 < 2-x^2 \leqslant 2$，所以，$\varphi (\psi (x))=0$.

当$1\leqslant x\leqslant \sqrt{3} $时，$\psi (x)=2-x^2 $，由于$-1\leqslant 2-x^2 \leqslant 1$，所以，$\varphi (\psi (x))=1$.

当$\sqrt{3} < x\leqslant 2$时，$\psi (x)=2-x^2$，由于$-2\leqslant 2-x^2 < -1$，所以，$\varphi (\psi (x))=0$.

当$x > 2$时，$\psi (x)=2$，所以，$\varphi (\psi (x))=0$.如图所示.

$(c)\psi (\varphi (x))=\begin{cases} 1, & \vert x\vert \geqslant 1, \\ 2, & \vert x\vert > 1.\end{cases} $如图所示.

$(d)\psi (\psi (x))=\begin{cases} 2-(2-x^2)^2, & \vert x\vert \leqslant 2, \\ -2, & \vert x\vert > 2.\end{cases} $如图所示.

$359$.把定义于正数区域$x > 0$的函数$f(x)$延拓到负数区域$x < 0$，使所得函数为：$(1)$偶函数；$(2)$奇函数，并作出相应的函数图像：

$(a)f(x)=1-x;(b)f(x)=2x-x^2 $；

$(c)f(x)=\sqrt{x} ;(d)f(x)=\sin{x} $；

$(e)f(x)=e^x ;(f)f(x)=\ln x$.

解$\quad (a)(1)$当$x < 0$时，定义$f(x)=1+x$，则$f(x)$在整个数轴上为偶函数.$(2)$当$x < 0$时，定义$f(x)=-(1+x)$，则$f(x)$在整个数轴上为奇函数.如图所示.

$(b)(1)$当$x < 0$时，定义$f(x)=-2x-x^2$即行；$(2)$当$x < 0$时，定义$f(x)=2x+x^2 $即行.如图所示.

$(c)(1)$当$x < 0$时，定义$f(x)=\sqrt{-x} $即行；$(2)$当$x < 0$时，定义$f(x)=-\sqrt{-x} $即行.如图所示.

$(d)(1)$当$x < 0$时，定义$f(x)=-\sin{x} =\vert \sin{x} \vert $即行；$(2)$当$x < 0$时，定义$f(x)=\sin{x} $即行.如图所示.

$(e)(1)$当$x < 0$时，定义$f(x)=e^{-x} $即行；$(2)$当$x < 0$时，定义$f(x)=-e^{-x}$即行.如图所示.

$(f)(1)$当$x < 0$时，定义$f(x)=\ln (-x) $即行；$(2)$当$x < 0$时，定义$f(x)=-\ln (-x)$即行.如图所示.

$360$.确定下列函数的图像在竖直方向上的对称轴：

$(a)y=ax^2 +bx+c;(b)y=\dfrac{1}{x^2} +\dfrac{1}{(1-x)^2} $；

$(c)y=\sqrt{a+x} +\sqrt{b-x} (0 < a < b);(d)y=a+b\cos{x} $.

解$\quad (a)y=a\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2 +\dfrac{4ac-b^2}{4a} $.它关于直线$x=-\dfrac{b}{2a} $对称.

$(b)$明显图像对于直线$x=\dfrac12 $对称.

$(c)$明显图像对于直线$x=\dfrac{b-a}{2} $对称.

$(d)$对于直线$x=k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$对称.

$361$.确定下列函数的图像的对称中心：

$(a)y=ax+b;(b)y=\dfrac{ax+b}{cx+d} $；

$(c)y=ax^3 +bx^2 +cx+d$；$(d)y=\dfrac{1}{x-1} +\dfrac{1}{x-2} +\dfrac{1}{x-3} $；

$(e)y=1+\sqrt[3]{x-2} $.

解$\quad (a)$显然对称中心为$(x_0 ,ax_0 +b)$，$x_0 $为任意实数.

$(b)$因为函数$y=\dfrac{ax+b}{cx+d} =\dfrac{a}{c} +\dfrac{b-\dfrac{ad}{c} }{cx+d} $的图象可看成是由函数$y=\dfrac{b-\dfrac{ad}{c} }{cx} $的图象向左平移$\dfrac{d}{c} $个单位，再向上平移$\dfrac{a}{c}$个单位而得到的双曲线，故它的对称中心也由$(0,0)$平移到$(-\dfrac{d}{c} ,\dfrac{a}{c} )$.

$(c)$假设函数$f(x)=ax^3 +bx^2 +cx+d(a\neq 0)$的对称中心为$(m,n)$.

按向量$\vec{a} =(-m,-n)$将函数的图象平移，则所得函数$y=f(x+m)-n$是奇函数.

所以$f(x+m)+f(-x+m)-2n=0$.

化简得：$(3ma+b)x^2+am^3+bm^2+cm+d-n=0$.

上式对$x\in R$恒成立，故：$3ma+b=0$，得$m=-\dfrac{b}{3a}$.

$$n=am^3+bm^2+cm+d=f(-\dfrac{b}{3a} ).$$

所以，函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a\neq 0)$的对称中心为$(-\dfrac{b}{3a} ,f(-\dfrac{b}{3a} ))$.

$(d)$类似于$(c)$，可得对称中心为$(2,0)$.

$(e)$类似于$(c)$，可得对称中心为$(2,1)$.

$362$.作周期函数的图像：

$(a)y=\vert \sin{x} \vert $；$(b)y=\mathrm{sgn} \cos{x} $；

$(c)y=f(x)$，其中$f(x)=A\dfrac{x}{l} (2-\dfrac{x}{l} )$，假设$0 \leqslant x\leqslant 2l$和$f(x+2l)\equiv f(x)$；

$(d)y=[x]-2\left[ \dfrac{x}{2} \right] $；

$(e)y=(x)$，此处$(x)$为从数$x$到最近整数的距离.

解$\quad (a)$如图所示，周期$\pi $.

$(b)$如图所示.周期为$2\pi $.

$(c)$当$0\leqslant 0\leqslant 2l$时，由$f(x)$的定义易得

$$f(x+2kl)=f(x)(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ),$$

故所给函数为以$2l$为周期的周期函数，它在$[0,2l]$内的图像为一抛物线，顶点为$(l,A)$.如图所示.

$(d)$周期为$2$，如图所示.

$(e)$周期为$1$，如图所示.

$363$.证明：若函数$y=f(x)(-\infty < x < +\infty )$的图像关于竖直方向上的两条直线$x=a$和$x=b(b > a)$对称，则函数$f(x)$为周期函数.

证$\quad $任取$x$，它关于垂直线$x=a$的对称点就是$2a-x$（易见$x$与$2a-x$的算术平均值等于$a$）.于是有$f(x)=f(2a-x)$.

同理有$f(x)=f(2b-x)$.从

$$f(2a-x)=f(2b-x)$$

出发，令$2a-x=t$，则就有$2b-x=2b-(2a-t)$.将它们代入上述等式，并再将$t$改写为$x$，就得到

$$f(x)=f(2(b-a)+x),$$

可见$f(x)$是以$2(b-a)$为周期的周期函数.

$364$.证明：若函数$y=f(x)(-\infty < x < +\infty )$的图像关于两点$A(a,y_0 )$和$B(b,y_1 )(b > a)$对称，则函数$f(x)$是线性函数与周期函数的和.特别是，若$y_0 =y_1 $，则函数$f(x)$是周期函数.

证$\quad $设$x$是任一实数，按假设有：

$$f(a+x)-y_0 =y_0 -f(a-x),\label{364} \tag{1} $$

$$f(b+x)-y_1 =y_1 -f(b-x).\label{3641} \tag{2} $$

在$\eqref{364}$中，将$x$换成$x+(b-a)$则得

$$f(b+x)-y_0 =y_0 -f(2a-b-x).\label{3642} \tag{3} $$

将$\eqref{3642}$代入$\eqref{3641}$得

$$2y_1 -f(b-x)=2y_0 -f(2a-b-x),$$

即

$$f(b-x)=2(y_1 -y_0 )+f(2a-b-x).\label{3643} \tag{4} $$

在$\eqref{3643} $中，将$b-x$换成$x$，则得

$$f(x)=2(y_1 -y_0 )+f(2a-2b+x).\label{3644} \tag{5} $$

再在$\eqref{3644}$中将$x$换成$2(b-a)+x$，则得

$$f(x)=2(y_0 -y_1 )+f[2(b-a)+x].\label{3645} \tag{6} $$

令

$$f(x)=-\dfrac{y_0 -y_1 }{b-a} x+\varphi (x).\label{3646} \tag{7} $$

下面证明$\varphi (x)$一定是周期函数.事实上，由$\eqref{3646}$式我们有

$$f[x+2(b-a)]=\dfrac{y_0 -y_1 }{b-a} [x+2(b-a)]+\varphi [x+2(b-a)],$$

$$f(x)-f[x+2(b-a)]=2(y_0 -y_1 )+\varphi (x)-\varphi [x+2(b-a)].$$

因此，由$\eqref{3645}$式可得

$$\varphi (x)=\varphi [x+2(b-a)].\label{3647} \tag{8} $$

由$\eqref{3646}$式和$\eqref{3647}$式可知，$f(x)$是一个线性函数与一个周期函数的和.

若$y_0 =y_1 $，则由$\eqref{3646}$式和$\eqref{3647}$式可知，$f(x)$是一个周期函数.

$365$.证明：若函数$y=f(x)(-\infty < x < +\infty )$的图像关于点$A(a,y_0 )$和直线$x=b(b\neq a)$对称，则函数$f(x)$为周期函数.

证$\quad $设$x$为任一实数，按假设则有

$$f(a+x)-y_0 =y_0 -f(a-x),f(b+x)=f(b-x).\label{3651} \tag{1} $$

在$\eqref{3651}$的前一等式中，将$x$换成$x+(b-a)$，则得

$$f(b+x)=2y_0 -f(2a-b-x),$$

即

$$f(b-x)=2y_0 -f(2a-b-x).\label{3652} \tag{2} $$

在$\eqref{3652}$中，将$b-x$换成$x$，则得

$$f(x)=2y_0 -f(2a-2b+x).\label{3653} \tag{3} $$

在$\eqref{3653}$中，将$x$换成$2b-2a+x$，则得

$$f(2b-2a+x)=2y_0 -f(x).\label{3654} \tag{4} $$

由$\eqref{3653} $、$\eqref{3654} $得$f(2a-2b+x)=f(2b-2a+x)$，再将$x$换成$2b-2a+x$，即得

$$f(x)=f(4(b-a)+x).$$

此即证明$f(x)$为一以$4(b-a)$为周期的周期函数.

$366$.设$f(x+1)=2f(x)$，且当$0\leqslant x\leqslant 1$时$f(x)=x(1-x)$，作函数$y=f(x)(-\infty < x < +\infty )$的图像.

解$\quad $当$0\leqslant x\leqslant 1$时，图像为一抛物线，顶点为$\left( \dfrac12 ,\dfrac14 \right) $.当$1\leqslant x\leqslant 2$时，只要将纵标放大$2$倍，余类推.当$x=\dfrac{2n+1}{2} $时，$y=\dfrac{2^n}{4} =2^{n-2}$，因而当$n\to +\infty $时，$y\to +\infty $；当$n\to -\infty $时，$y\to 0$.如图所示.

$367$.设$f(x+\pi )=f(x)+\sin{x} $，且当$0\leqslant x\leqslant \pi $时$f(x)=0$.作函数$y=f(x)(-\infty < x < +\infty )$的图像.

解$\quad $由题设知：当$0\leqslant x\leqslant \pi $时，$f(x)=0$.当$\pi < x\leqslant 2\pi $时，设$0 < x_0 \leqslant \pi $，则有$f(x)=f(x_1 +\pi )=f(x_1 )+\sin{x_1 } =\sin{x_1 } $；当$2\pi < x\leqslant 3\pi $时，设$\pi < x_2 \leqslant 2\pi $，则有$f(x)=f(x_2 +\pi )=f(x_2 )+\sin{x_2 } =0$；余类推.周期为$2\pi $.如图所示.

反函数、用参数表示的函数和隐函数的图像

$368$.作函数$y=y(x)$的图像：

$(a)x=y-y^3 $；$(b)x=\dfrac{1-y}{1+y^2} $；

$(c)x=y-\ln y$；$(d)x^2 =\sin{y} $.

分析$\quad $只要以$y$为自变量作出函数$x=x(y)$的图像，则其中每一个严格单调的曲线段就确定了反函数$y=y(x)$.这里只要注意在作出$x=x(y)$的图像之后，对于某些范围的$x$值可以存在多于一个的$y$与之对应，因此实际上确定了$y=y(x)$的多个单值支.

另一种方法是利用$x=x(y)$的图像及其反函数$y=y(x)$的图像关于直线$y=x$对称，因此可以将题中的方程$x=x(y)$中的$x,y$对换，改为$y=y(x)$，在作出它的图像后再关于直线$y=x$作反射即可.

解$\quad (a)$如图所示.

$(b)$如图所示.

$(c)$如图所示.

$(d)$首先将题设中的方程$x^2 =\sin{y}$改为$y^2=\sin{x}$，如下图的左边分图所示，先作出$\sin{x}$的图像，然后施行图像的“开平方”运算，得到右边分图中的$\pm \sqrt{\sin{x}} $的图像.这时当然只有使得$\sin{x} \geqslant 0$的部分才能被开平方.

最后，将右边分图的图像关于直线$y=x$作反射，这样就得到习题$368(d)$的图像.

$369$.作出下列用参数形式表示的函数$y=y(x)$的图像：

$(a)x=1-t,y=1-t^2 $；$(b)x=t+\dfrac{1}{t} ,y=t+\dfrac{1}{t^2} $；

$(c)x=10\cos{t} ,y=\sin{t} $（椭圆）；$(d)x=\cosh{t} ,y=\sinh{t} $（双曲线）；

$(e)x=5\cos{}^2 t,y=3\sin{}^2 t$；

$(f)x=2(t-\sin{t} ),y=2(1-\cos{t} )$（摆线）；

$(g)x=\sqrt[t+1]{t} ,y=\sqrt[t]{t+1} (t > 0)$.

解$\quad (a)y-1=-(x-1)^2$.如图所示.

$(b)$我们推荐的方法是先分别作出$x=x=x(t)$和$y=y(t)$的图像（它们就是习题$253$和$255$中的图像），见附图的分图$(a),(b)$，然后根据对它们的分析来确定出$y=y(x)$的两支曲线，并作出其图像，见附图的分图$(c)$.

下面将详细说明，如何充分利用附图的分图$(a),(b)$所提供的信息，比较准确地作出分图$(c)$中的$y=y(x)$的图像.

从分图$(a),(b)$可见，当$t$从$-\infty $递增到$0$时，$x(t)$从$-\infty $递增到$-2$，然后递减趋于$-\infty $；而$y(t)$则是从$-\infty $递增趋于$+\infty $.这样就容易作出分图$(c)$中的左边的一支曲线，其中用箭头标出了参数$t$从$-\infty $递增到$-0$的方向.

在上述作图时需要求出$\underset{t < 0}{\max{} } x(t)=-2$，这不难得到如下.不妨看$t > 0$的情况，这时从平均值不等式就有$t+\dfrac{1}{t} \geqslant 2$，且当$t=1$时成立等号.可见$t > 0$时$x(t)$的最小值为$2$.由于$x(t)$为奇函数，因此也就知道$t < 0$时$x(t)$的最大值为$-2$.

关于$x(t)$的单调性也是很容易分析的.例如，设$t_1 < t_2 \leqslant -1$，则就有

$$x(t_2 )-x(t_1 )=t_2 -t_1 +\dfrac{1}{t_2 } -\dfrac{1}{t_1 } =\dfrac{t_2 -t_1 }{t_1 t_2 } (t_1 t_2 -1) > 0,$$

可见$x(t)$在$( -\infty ,-1]$上严格单调递增.$x(t)$在其他区间上的单调性分析是类似的.

现在考虑$t > 0$对应的一支曲线$y=y(x)$.如分图$(a),(b)$所示，随着$t$从$+0$递增趋于$+\infty $，$x(t)$和$y(t)$都是先递减后递增.然后由于它们的单调性的转变还分别对应于不同的参数值，因此要困难一点.

仍使用平均值不等式，从

$$y(t)=t+\dfrac{1}{t^2} =\dfrac{t}{2} +\dfrac{t}{2} +\dfrac{1}{t^2} \geqslant 3\sqrt[3]{\dfrac{t}{2} \cdot \dfrac{t}{2} \cdot \dfrac{1}{t^2} } =\dfrac{3}{\sqrt[3]{4} } ,$$

且在$\dfrac{t}{2} =\dfrac{1}{t^2} $时成立等号，因此就确定了$t=\sqrt[3]{2}$时$y(t)$达到最小值$\dfrac{3}{\sqrt[3]{4} } \approx 1.890$.同样可以对$t > 0$时的$y(t)$作出单调性分析.例如，当$0 < t_1 < t_2 \leqslant \sqrt[3]{2}$时就有

$$y(t_2 )-y(t_1 )=t_2 -t_1 +\dfrac{1}{t_2^2 } -\dfrac{1}{t_1^2 } =\dfrac{t_2 -t_1 }{t_1^2 t_2^2 } (t_1^2 t_2^2 -t_1 -t_2 ) < 0,$$

其中利用了

$$t_1 +t_2 > 2\sqrt{t_1 t_2 } =\sqrt[3]{16} \sqrt{\dfrac{t_1 }{\sqrt[3]{2} } \cdot \dfrac{t_2 }{\sqrt[3]{2} } } \geqslant \sqrt[3]{16} \left( \dfrac{t_1 }{\sqrt[3]{2} } \cdot \dfrac{t_2 }{\sqrt[3]{2} } \right)^2 =t_1^2 t_2^2 .$$

可见$y(t)$在$(0,\sqrt[3]{2} ]$上严格单调递减.$y(t)$在其他区间上的单调性分析是类似的.

然后就可以制成下列表格：

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \hline t & 0 & (0,1) & 1 & (1,\sqrt[3]{2} ) & \sqrt[3]{2} \approx 1.260 & (\sqrt[3]{2} ,+\infty ) \\ \hline x(t) & +\infty & \searrow & 2 & \nearrow & \sqrt[3]{2} +\dfrac{1}{\sqrt[3]{2} } \approx 2.054 & \nearrow \\ y(t) & +\infty & \searrow & 2 & \searrow & \dfrac{3}{\sqrt[3]{4} } \approx 1.890 & \nearrow \\ \hline \end{array}$$

当$t\to \pm 0$和$t\to \pm \infty $时，曲线都趋于无穷远处.为了把握其趋势，需要有渐近线的知识（见习题$626$）.下面将求出当$x\to \pm \infty $时有斜渐近线$y=x$.此外还可以从参数方程推出当$t\to 0$时，$y=y(x)$的图像将逼近抛物线$y=x^2-2 $.这些都在分图$(c)$中用虚线表出.

为此只要作下列计算：

$$y(t)-[x^2 (t)-2] =t+\dfrac{1}{t^2} -(t^2 +\dfrac{1}{t^2} ) =t-t^2 \to 0(t\to +0),$$

$$y(t)-x(t)=\dfrac{1}{t^2} -\dfrac{1}{t} \to 0(t\to +\infty ),$$

这样就知道当$t\to +0$时，曲线逼近抛物线$y=x^2-2$，而当$t\to +\infty $时，曲线逼近斜渐近线$y=x$.

根据以上分析就可以比较准确地作出分图$(c)$中的第二支曲线，其中也用箭头标出了参数$t$从$+0 $趋于$+\infty $的递增方向.

$(c)\dfrac{x^2}{10^2} +\dfrac{y^2}{1^2} =1.$如图所示.

$(d)x^2 -y^2 =1$.如图所示.

$(e)\dfrac{x}{5} +\dfrac{y}{3} =1$，且$0\leqslant x\leqslant 5$，$0\leqslant y\leqslant 3$.如图所示.

$(f)$如图所示.

$(g)$这时参数$t > 0$.先分别作出$x=x(t)$和$y=y(t)$的图像，但这里需要了解函数$x(t)$，$y(t)$的单调性以及当$t\to +\infty $时的极限，这在目前都是有困难的.

简言之，利用习题$65$中的$\displaystyle \lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{n} =1$，就不难确定$x(+\infty )=y(+\infty )=1$.$x(0)=x(0+)=0$是明显的.再利用习题$69$中关于数$e$的知识，就可以确定出$y(0+)=e$.

为了确定$x(t)$和$y(t)$的单调区间，我们需要微分学的工具（见$\S 2.7$）.在补注的第$1,4$点中，将分别给出它们的单调性分析的初等证明.在其中还得到了$x(t)$的最大值点为$t_0 \approx 3.591$，最大值为$x(t_0 )\approx 1.321$.目前不妨观察一下自变量$t$取正整数的情况.利用习题$65$的解$3$中的类似方法和直接计算，可以证明

$$x(0) < x(1) < x(2) < x(3) < x(4),$$

而当$n \geqslant 4$时则有$x(n) > x(n+1)$.

对于$y(t)$则不难证明$y(n) > y(n+1)$对一切正整数成立.

在附图左边作出了$x(t)$和$y(t)$的图像，由此就可以在附图右边作出$y=y(x)$的图像.当$t$从$0$单调递增趋于无穷大时，$y$从$e$单调递减趋于$1$，而$x$则先是单调递增到大于$1$的某个值$(\approx 1.321)$，然后再单调递减趋于$1$.

习题$370.1$和$370.2$是作隐函数的图像.一种常用方法就是引入参数，将隐函数作图问题归结为用参数表示的函数作图问题.下面先看其中的一个典型例子.

$370.1$.作下列隐函数的图像：

$(a)x^2-xy+y^2 =1$（椭圆）；$(b)x^3+y^3-3xy=0$（笛卡儿叶形线）；

$(c)\sqrt{x} +\sqrt{y} =1$（抛物线）；$(d)x^{\frac23 } +y^{\frac23 } =4$（星形线）；

$(e)\sin{x} =\sin{y} $；$(f)\cos{(\pi x^2)} =\cos{(\pi y)} $；

$(g)x^y=y^x(x > 0,y > 0)$；$(h)x-\vert x\vert =y-\vert y\vert $.

解$\quad (a)$将坐标轴按正向绕原点旋转$45^{\circ }$，得新坐标系$Ox’y’$，则由下图得关系：

$$x’=x\cos{\theta } +y\sin{\theta } ,y’=-x\sin{\theta } +y\cos{\theta } .$$

即是：

$$x=\dfrac{x’-y’}{\sqrt{2} } ,y=\dfrac{x’+y’}{\sqrt{2} } .$$

代入原式得

$$\dfrac{x’^2}{2} +\dfrac{y’^2}{\dfrac23 } =1.$$

如图所示.

$(b)$令$y=tx$，代入所给定的方程中解得参数方程

$$x(t)=\dfrac{3t}{1+t^3} ,y(t)=\dfrac{3t^2}{1+t^3} ,$$

然后分别作出$x(t)$和$y(t)$的图像如右边的附近图$1$.

当然在还没有微分学工具的情况下这两个图像的作图还不是很容易的.这里简单说明一下目前可以如何进行.

将$x(t)$，$y(t)$改写为

$$x(t)=\dfrac{3}{t^2 +\dfrac{1}{t} } ,y(t)=\dfrac{3}{t+\dfrac{1}{t^2} } ,$$

然后利用习题$254-255$的已知图像再作倒数变换（见习题$351-355$）就可以作出$x(t)$和$y(t)$的草图.

实际上在将$x(t)$，$y(t)$如上改写之后，仿照习题$369(b)$中的方法进行单调性分析也是不难的.还可以注意到这里的$y(t)$的分母就是该题中的$y(t)$.

这里确定$t > 0$时$x(t)$的最大值点和最大值是重要的（在附图$1$中已经标出）.这可用平均值不等式来解决.从

$$\dfrac{1}{x(t)} =\dfrac{\dfrac{1}{2t} +\dfrac{1}{2t} +t^2}{3} \geqslant \sqrt[3]{\dfrac14 } ,$$

可见在分子的三项相等时成立等号，由此即可确定当$t=\sqrt[3]{\dfrac12 } $时$x(t)$达到最大值$\sqrt[3]{4} $.对于$y(t)(t > 0)$的讨论是类似的.

下面是单调性分析结果的列表表示：

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \hline t & -\infty & (-\infty ,-1) & (-1,\sqrt[3]{\dfrac12 } ) & \sqrt[3]{\dfrac12 } & (\sqrt[3]{\dfrac12 } ,+\infty ) & +\infty \\ \hline x(t) & 0 & \nearrow & \nearrow & \sqrt[3]{4} & \searrow & 0 \\ \hline \end{array}$$

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c} \hline t & -\infty & (-\infty ,-1) & (-1,0) & (0,\sqrt[3]{2} ) & \sqrt[3]{2} & (\sqrt[3]{2},+\infty ) & +\infty \\ \hline x(t) & 0 & \searrow & \searrow & \nearrow & \sqrt[3]{4} & \searrow & 0 \\ \hline \end{array}$$

从参数方程可见当$t\to -1$时图像趋于无穷远处.通过计算极限

$$y(t)+x(t)=\dfrac{3t(t+1)}{1+t^3} =\dfrac{3t}{t^2-t+1} \to -1(t\to -1),$$

可见有斜渐近线$x+y=-1$.

然后就可以从附图$1$作出$y=y(x)$的图像.如附图$2$所示，这里一方面需要利用参数$t=\dfrac{y}{x} $的几何意义，另一方面还可以从隐函数方程关于$x,y$的对称性，看出图像关于直线$y=x$对称，因此只要作出其中一半再关于该直线作反射即可.

当参数$t$从$-1+0$递增到$0$时，如列表所示$y=y(x)$从$+\infty $处递减到$0$，图像从左边的渐近线附近趋于原点.然后当$t > 0$时，图像在第一象限中.当$t$从$0$增加到$1$时，$x(t)$在$t=\sqrt[3]{\dfrac12 }\approx 0.79$处达到最大值$\sqrt[3]{4} \approx 1.587$，然后递减.

作为$y=y(x)$的图像来看，则从原点起递增到点$(\sqrt[3]{4} ,\sqrt[3]{2} )$，然后 递减到点$(\dfrac32 ,\dfrac32 )$.这样就作出了一半的图像.利用图像关于第一象限的角平分线$x=y$对称，就不难完成另一半的图像.

用微分学工具可以更准确地作出这个图像，并得到曲线的单调性和凹凸性的知识.这将是第二章的$\S 2.12.3$的习题$1541$的内容.

$(c)$如图所示.

$(d)$如图所示.

$(e)y=x+2k\pi $或$y=(2k+1)\pi -x(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$.如图所示.

$(f)y=x^2+2k$或$y=2k-x^2(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$.如图所示.

$(g)$显然在第一象限内的角平分线$x=y$满足方程$x^y=y^x $.为了回答是否还有其他的点$(x,y)$满足该方程，我们介绍两种方法.

解$1\quad $将方程两边开$xy$次根，得到等价的方程

$$x^{\frac{1}{x} } =y^{\frac{1}{y} } ,$$

可见这与函数$f(t)=t^{\frac{1}{t}} $有关，即是否存在$x\neq y$使得$f(x)=f(y)$.下面我们给出其图像，并说明如何用它来解本题.

在附图$1$中作出了$f$的图像，其中有关单调性和极限方面的结论与本题有关.这就是在$(0,e]$上$f$严格单调递增，而在$[e,+\infty )$上$f$严格单调递减.最大值点是$x=e$，最大值是$f(e)=e^{\frac{1}{e} } $.

此外有关的信息是$f(1)=1$，当$x > 1$时$f(x) > 1$，$f(+0)=0$和$f(+\infty )=1$.

在$\S 1.4.7$的第$3$中，我们将给出函数$f$的单调性分析的初等证明（还可参见$\S 2.12.2$的习题$1527$）.

由此可见，在$0 < x\leqslant 1$和$x=e$时，不可能存在$x=y$之外的其他$y$值满足方程$x^y =y^x $，而在$1 < x < e$和$x > e$时，则除了$x=y$之外还存在惟一的$y$，满足$x\neq y$和方程$x^y =y^x$.这样就可以得到本题的解答，其图像见附图$2$.

如附图$2$所示，除了$y=x$的平凡解之外，还存在一条其形状很类似于直角双曲线$y=\dfrac{1}{x} $的曲线，它与直线$y=x$交于点$(e,e)$，又以$x=1$为垂直渐近线，以$y=1$为水平渐近线.这条曲线关于$x$的严格单调递减性质也已经包含在附图$1$的单调性信息之中了.

解$2\quad $在习题$370.1(b)$的笛卡儿叶形线的研究中的方法也可以解决这里的问题.用$y=tx$引入参数$t$，就可以得到参数方程

$$x(t)=t^{\frac{1}{t-1}} ,y(t)=tx(t)=t^{\frac{t}{t-1}} .$$

为简明起见，这里只将关于这两个函数的单调性信息罗列如下（参见附图$3$）：

利用函数极限和连续性语言（有关习题见后面的$\S 1.5$和$\S 1.7$），$x(t)$在点$t=1$处的两侧极限都等于$e$，若补充定义$x(1)=e$，就成为在$(0,+\infty )$上的严格单调递减的连续函数，且有$x(+0 )=+\infty $和$x(+\infty )=1$.另一方面，$y(t)$在补充定义$y(1)=e$之后却是在$(0,+\infty )$上的严格单调递增的连续函数，且有$y(+0)=1$和$y(+\infty )=+\infty $.

根据以上信息和参数$t=\dfrac{y}{x} $的几何意义就可作出附图$2$中的图像.

对于$x(t),y(t)$的上述单调性分析用微分学方法是很容易得到的（见后面的$\S 2.12.3$的习题$1544$）.在$\S 1.4.7$的第$2$点中，我们将用初等方法来解决这些问题.

$(h)$先作出函数$y=x-\vert x\vert $的图像.如附图的左分图所示，$y(x)$是一个分段线性函数，在$x < 0$时$y=2x$，在$x\geqslant 0$时$y=0$.

由此可见图像只能在一、三象限内.在第三象限中若有点$(x,y)$满足方程$x-\vert x\vert =y-\vert y\vert $，则只能是$x=y$，在第一象限中，包括两个正半轴与原点，任何点$(x,y)$都满足该方程.这表明，其中的任何$y=y(x)$都满足条件.这样就得到了附图的右分图中的图像.

注$\quad $在多元微积分中的隐函数理论（见《习题集》的$\S 6.3$）给出了从方程$f(x,y)=0$出发在某个点$(x_0 ,y_0 )$附近能够确定隐函数$y=y(x)$（或者$x=x(y)$）的充分条件.与此相反，习题$370.1(h)$表明，对于第一象限内的任何点的任何领域，都不可能由该题的方程确定出隐函数.于是所谓的图像只能是将整个象限涂以阴影了.

$370.2$作下列隐函数的图像：

$(a)\min{\lbrace x,y\rbrace } =1$;$(b)\max{\lbrace x,y\rbrace } =1$；

$(c)\max{\lbrace \vert x\vert ,\vert y\vert \rbrace } =1$；$(d)\min{\lbrace x^2 ,y\rbrace } =1$.

解$\quad $如图所示.

极坐标系中的函数图像

$371.1$在极坐标第$(r,\varphi )$中作出下列函数$r=r(\varphi )$的图像：

$(a)r=\varphi $（阿基米德螺线）；$(b)r=\dfrac{\pi }{\varphi } $（双曲螺线）；

$(c)r=\dfrac{\varphi }{\varphi +1} (0\leqslant \varphi < +\infty )$；$(d)r=2^{\frac{\varphi }{2\pi }} $（对数螺线）；

$(e)r=2(1+\cos{\varphi } )$（心脏线）；$(f)r=10\sin{3\varphi } $（三瓣玫瑰线）；

$(g)r^2=36\cos{2\varphi } $（伯努利双纽线）；$(h)\varphi =\dfrac{r}{r-1} (r > 1)$；

$(i)\varphi =2\pi \sin{r} $.

解$\quad (a)$如图所示.

$(b)$如图所示.

习题$371.1(a)$和$(b)$的图像都是螺线，即围绕极点作无限次旋转的曲线.只是对于后者需要注意存在水平渐近线.这在直角坐标系中容易求出.实际由于$r=\dfrac{\pi }{\varphi }$，因此当$\varphi $趋于$0$时点$(r,\varphi )$趋于无穷远.利用$y=r\sin{\varphi }$和关于正弦函数的基本极限$\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin{x}}{x} =1$，就可以得到

$$\lim_{\varphi \to 0} y(\varphi )=\lim_{\varphi \to 0} \dfrac{\pi \sin{\varphi }}{\varphi } =\pi ,$$

即存在水平渐近线$y=\pi $.

此外，在这两个习题中还特别用虚线画出了函数在$\varphi < 0$时的图像.

同样存在水平渐近线的还有习题$371.2(b)$，其计算同上.

$(c)$如图所示.

$(d)$如图所示.

$(e)$如图所示.

$(f)$这里的方法就是先在直角坐标系$(\varphi ,r)$（或$(r,\varphi )$）中作出$r=10\sin{3\varphi }$的图像，然后将$\varphi $轴在想象中压缩为一个点，从而作出在极坐标系中的草图.

如附图所示，左分图在$0\leqslant \varphi \leqslant \dfrac{\pi }{3} $的部分经过上述处理后就得到右边的第一叶，然后可以分别得到第二叶和第三叶.

这里还要注意到在作第二叶时遇到了$r < 0$的问题.在极坐标系中对于$r < 0$时点$(r,\varphi )$的位置规定为：从极点出发的极角为$\varphi $的射线的反方向直线上与极点距离为$\vert r\vert $的点.

利用这个规定就可以发现在左分图中从$\pi $到$2\pi $的图像在右分图的极坐标系中不会产生新的图像.

$(g)$如图所示.

$(h)$曲线为螺线.从方程可见，当$r\to 1+0$时它将作无限次旋转从外部逼近圆周$r=1$.另一方面，当$r$趋于$+\infty $时极角$\varphi \to 1$.这强烈提示该曲线可能存在渐近线.

然而这并不表明从极点出发极角为$1$（即近似为$57.295\; 8^{\circ}$）的直线就是渐近线.写出直角坐标方程

$$x=r\cos{\dfrac{r}{r-1}} ,y=r\sin{\dfrac{r}{r-1}} ,$$

就可以看出$r\to +\infty $等价于$x\to +\infty $，然后按照求渐近线的计算方法求出极限

$$\begin{align}
\lim_{x\to +\infty } \dfrac{y}{x} & =\lim_{r\to +\infty } \tan{\dfrac{r}{r-1}} =\tan{1} \\
\lim_{r\to +\infty } (y-x\tan{1} ) & =\lim_{r\to +\infty } (r\sin{\dfrac{r}{r-1}} -\tan{1} \cdot r\cos{\dfrac{r}{r-1}}) ,\\
& =\lim_{r\to +\infty } \dfrac{r}{\cos{1}} \sin{\dfrac{1}{r-1} } =\dfrac{1}{\cos{1}} ,
\end{align}$$

即得斜渐近线$y=x\tan{1} +\sec{1}$，其极坐标方程是$r\sin{(\varphi -1)} =1$，具有明显的几何意义（参见附图）.

$(i)$如图所示.

$371.2$在极坐标系$(r,\varphi )$中作出下列函数的图像：

$$(a)\varphi =4r-r^2 ;(b)\varphi =\dfrac{12r}{1+r^2} ;(c)r^2+\varphi^2 =100.$$

解$\quad (a)$如图所示.

$(b)$如图所示.

$(c)$在极坐标系中作图时仍然可以利用在直角坐标系中作图时经常出现的对称性.例如习题$371.2(c)$就是如此，其中的方程是$r^2+\varphi^2 =100$.这时图像关于$x$轴和$y$轴都是对称的，因此只要作出$r,\varphi \in [0,10]$部分的图像，然后利用对称性即可.如图所示.

$371.3$.在极坐标系$(r,\varphi )$中作出以参数方程表示的函数的图像（参数$t\geqslant 0$）：

$$(a)\begin{cases} \varphi =t\cos{}^2 t,\\ r=t\sin{}^2 t; \end{cases} \quad (b)\begin{cases} \varphi =1-2^{-t} \sin{\dfrac{\pi t}{2}} ,\\ r=1-2^{-t} \cos{\dfrac{\pi t}{2}} . \end{cases} $$

解$\quad (a)$只要将前面关于参数方程给出的函数作图方法和上面建议的极坐标系中函数的作图方法合用就不难解决问题.为清楚起见用两个附图来说明作图的过程.

首先如附图$1$的前两个分图所示，作出$r(t),\varphi (t)$在直角坐标系中的图像，然后将它们合成为在$(\varphi ,r)$的直角坐标系中的图像，即得到附图$1$最右边的分图.

在附图$1$的基础上，就不难作出附图$2$中的极坐标$(r,\varphi )$中的函数草图.

为清楚起见，在附图$1$的最后一幅分图和附图$2$中分别用箭头标出了参数$t$的增加方向.两个图中各自的$4$段曲线分别一一对应.

在附图$2$中它们分别为：$(1)$从原点到极轴上的$r=\dfrac{\pi }{2} $；$(2)$从极轴上的$r=\dfrac{\pi }{2} $回到原点，这里的$\varphi =\pi $；$(3)$从原点到极轴上的$r=\dfrac{3\pi }{2} $；$(4)$从极轴上的$r=\dfrac{3\pi }{2} $回到原点，这里的$\varphi =2\pi $.

$(b)$如图所示.

小结$\quad $对于用极坐标$r,\varphi $给出的函数，设其方程为$r=r(\varphi )$，则从

$$x=r(\varphi )\cos{\varphi } ,y=r(\varphi )\sin{\varphi } $$

可见，这就是以$\varphi $为参数的参数方程给定的函数.由于极坐标所特有的几何意义，如果能够先在$(r,\varphi )$的直角坐标系中作出图像，则就比较容易得到它在极坐标系中的图像.

另一方面，在前面的直角坐标系中的许多作图方法对于极坐标系也是有效的.上面给出的渐近线计算和对称性等方法就是这方面的例子.

用函数图像求方程（组）的近似解

$372$利用函数$y=x^3-3x+1$的图像近似地求解方程$x^3-3x+1=0$.

解$\quad $如图所示.

因

$$y\vert_{x=0} =1 > 0,y\vert_{x=0.4} =-0.136 ,$$

所以，在$0$和$0.4$之间有一实根，约为$0.35$.

同法可求得其他二根为$1.53$及$-1.88$.

用图解法求解下列方程：

$373$.$x^3-4x-1=0$.

解$\quad $这里有几个方法.一种方法是作出函数$y=x^3-4x+1$的图像，然后从该图像与$x$轴的交点位置来读出其近似值.

这里采取另一种方法，即分别作出$y=x^3-4x$和$y=1$的图像，然后从它们的交点读出其横坐标作为根的近似值.如附图所示，三个根的近似值约为$-1.9$，$-0.3$和$2.1$.

$374$.$x^4-4x+1 =0$.

解$\quad $作函数$y=x^4-4x$及$y=1$的图像.如图所示，两个根的近似值约为$0.25$和$1.49$.

$375$.$x=2^{-x}$.

解$\quad $作函数$y=2^{-x}$及$y=x$的图像，如图所示，根的近似值约为$0.64$.

$376$.$\lg x=0.1x$.

解$\quad $作函数$y=\lg x$及$y=0.1x$的图像，如图所示，两个根分别为$1.37$和$10$，前者为近似值，后者为精确值.

$377$.$10^x =x^2 $.

解$\quad $作函数$y=10^x$及$y=x^2$的图像，如图所示，根的近似值约为$-0.54$.

$378$.$\tan{x} =x(0\leqslant x \leqslant 2\pi )$.

解$\quad $作函数$y=\tan{x}$及$y=x$的图像，如图所示，两个根分别为$4.49$和$0$，前者为近似值，后者为精确值.

用图解法求解下列方程组：

$379$.$\begin{cases} x+y^2=1, \\ 16x^2+y=4 .\end{cases} $.

解$\quad $作函数$y^2=1-x$及$-y+4=16x^2 $的图像，如图所示.

交点的一对坐标即所求之解（近似值）：

$$x_1 =-0.42,y_1 =1.19;$$

$$x_2 =0.45,y_2 =0.74;$$

$$x_3 =0.54,y_3 =-0.68;$$

$$x_4 =-0.57,y_4 =-1.26.$$

$380$.$\begin{cases} x^2+y^2=100, \\ y=10(x^2-x-2). \end{cases} $.

解$\quad $作函数$x^2 +y^2=100$及$y=10(x^2-x-2) $的图像，如图所示.

交点的一对坐标即所求之解（近似值）：

$$x_1 =-1.30,y_1 =9.92;$$

$$x_2 =2.30,y_2 =9.73;$$

$$x_3 =1.62,y_3 =-9.87;$$

$$x_4 =-0.62,y_4 =-9.98.$$

补注

从前面可见，为了作出较为准确的草图，其中的单调性分析起了最为重要的作用.困难往往在于缺乏微分学工具时，对较为复杂的函数很难作出这样的分析.

在这个补注中，我们将用初等方法（即不用微分学工具）分几步来解决在习题$369(g)$遇到的函数$x(t)=t^{\frac{1}{t+1}} $，$y(t)=(t+1)^{\frac{1}{t}} $，习题$370.1(g)$的解$1$中的辅助函数$f(t)=t^{\frac{1}{t}} $和解$2$中出现的两个函数$x(t)=t^{\frac{1}{t-1}} $和$y(t)=tx(t)=t^{\frac{t}{t-1} } $的单调性分析问题.它们在有关问题的作图中起关键作用.

$1$.对$y(t)=(t+1)^{\frac{1}{t} }$的单调性分析（参见右边的附图）

这个函数在$t=0$处没有定义，但不难证明它有极限.对于还没有学习函数极限的读者来说，至少可以从数列极限来理解以下内容.

令$t_n =\dfrac{1}{p_n } $，其中$p_n \to +\infty $，则就可以用习题$71$知道有$\displaystyle \lim_{n\to \infty } y(t_n )=e$.同理令$t_n’ =\dfrac{1}{q_n } $，其中$q_n \to -\infty $，就又得到$\displaystyle \lim_{n\to \infty } y(t_n’ )=e$.综合起来这就表明任何数列$t_n \to 0$（且其每一项非零）时，$y(t_n )$一定趋于$e$.

在函数极限理论中用归结原理过渡就可以得到$\displaystyle \lim_{t\to 0} y(t) =e$.类似地不难建立$y(-1-0)=+\infty $和$y(+\infty )=1$的结论.其中后者可以利用习题$65$和夹逼方法得到.

下面主要是证明$y(t)$在区间$(0,+\infty )$和$(-1,0)$上分别严格单调递减.

利用$\S 1.2.9$中的命题$1.4(6)$所提供的代入法，可见只需要对于自变量为有理数的情况作出单调性证明就已经足够了.

对于$t > 0$，设$m_1 ,m_2 ,n$为正整数，且使得

$$t_1 =\dfrac{m_1 }{n} > t_2 =\dfrac{m_2 }{n} ,$$

即满足$m_1 > m_2 $，就可以用平均值不等式如下：

$$\begin{align}
\left( 1+\dfrac{m_1 }{n} \right)^{\dfrac{m_2 }{m_1 } } & =\left[ \left( 1+\dfrac{m_1 }{n} \right)^{m_2 } \cdot \underbrace{1\cdot \cdots \cdot 1}_{m_1 -m_2 个1} \right]^{\dfrac{1}{m_1 } } \\
& < \dfrac{m_2 \left( 1+\dfrac{m_1 }{n} \right) +(m_1 -m_2 )}{m_1 } =1+\dfrac{m_2 }{n} ,
\end{align}$$

这等价于$y(t_1 ) < y(t_2 )$，即已经证明了$y(t)$严格单调递减.这同时也就解决了习题$369(g)$中的$y(t)$的单调性分析问题.

对于$-1 < t < 0$，用相同的方法可以证明也是如此.

$2$.对$x(t)=t^{\frac{1}{t-1} } $和$y(t)=t^{\frac{t}{t-1} } $的单调性分析（参见习题$370.1(g)$的解$2$及其附图$3$）

如前所说用$y=tx$的方法得到参数$t$的两个函数

$$x(t)=t^{\frac{1}{t-1} } ,y(t)=tx(t) =t^{\frac{t}{t-1} } .$$

将$x(t)$与$(t+1)^{\frac{1}{t}} $作比较，就可以知道它们之间只相差$t$的一个单位平移，于是即推出$x(t)$在$0 < t < 1$和$t > 1$时均为严格单调递减，且在补充定义$x(1)=e$后成为$t > 0$上的严格单调递减函数.

对于$y(t)$则只需要将它改写为

$$y(t)=t^{\frac{t}{t-1} } =\left( \dfrac{1}{t} \right)^{\frac{1}{\frac{1}{t} -1} } ,$$

可见$y(t)$与$x(t)$只相差关于$t$的倒数变换，因此推出$y(t)$在$0 < t < 1$和$t > 1$时均为严格单调递增，且在补充定义$y(1)=e$后成为$t > 0$上的严格单调递增函数.

$3$.对$t^{\frac{1}{t} }$的单调性分析（参见习题$370.1(g)$的解$1$及其附图$1$）

为与前后比较方便起见改用$x$为自变量.

设$x_2 > x_1 \geqslant e$，则有$t > 1$使得$x_2 =tx_1 $，同时（利用前面的讨论）还成立$t^{\frac{1}{t-1} } < e\leqslant x_1 $，于是就有

$$x_2^{\frac{1}{x_2 } } =(tx_1 )^{\frac{1}{tx_1 } } =[(t^{\frac{1}{t-1} })^{t-1} \cdot x_1 ]^{\frac{1}{tx_1 } } < (x_1^{t-1} \cdot x_1 )^{\frac{1}{tx_1 } } =x_1^{\frac{1}{x_1} } .$$

这就证明了函数$x^{\frac{1}{x} }$在区间$[e,+\infty )$上严格单调递减.

同样对于$0 < x_2 < x_1 \leqslant e$，存在$0 < t < 1$使得$x_2 =tx_1 $，且成立$t^{\frac{1}{t-1} } > e > x_1 $，以下的推导与上面相同，只是要利用$t-1 < 0$，这时以$t-1$为指数的幂函数是严格单调递减的.这证明了函数$x^{\frac{1}{x} } $在区间$( 0,e]$上严格单调递增.

还应当指出，在区间$(0,1)$上函数$x^{\frac{1}{x} } $的严格单调递增性的证明可以从幂函数和指数函数的单调性直接推出，并不需要如上的推导.

$4$.对$x(t)=\sqrt[t+1]{t}$的单调性分析（参见习题$369(g)$的解及其附图）

为了与上面的讨论容易比较起见，将这个函数改记为$y(x)=x^{\frac{1}{x+1} } $.

与前面的$x^{\frac{1}{x} } $情况类似，在$[0,1]$上的严格单调递增性是容易证明的.设$0 < x_1 < x_2 < 1$，则就有$1 > \dfrac{1}{x_1 +1} > \dfrac{1}{x_2 +1} > \dfrac12 $，于是就有

$$x_1^{\frac{1}{x_1 +1} } < x_2^{\frac{1}{x_1 +1} } < x_2^{\frac{1}{x_2 +1} } ,$$

其中分别利用了幂函数和指数函数的单调性.

主要的问题是讨论$x\geqslant 1$的情况.从$y(x)$在$[0,1]$单调递增，$y(1)=1$和$y(+\infty )=1$可见$y(x)$在$[1,+\infty )$上可能有附图所示的情况，即先递增再递减.

这里采用的方法是将$x$换为$tx$，然后问是否有使得$y(x)=y(tx)$的$t\neq 1$？下面可以看到可由此确定$y(x)$的单调区间，并得到$y(x)$的最大值点和最大值.

从$y(x)=y(tx)$，也就是$x^{\frac{1}{x} } =(tx)^{\frac{1}{tx+1} }$，就可以得到

$$x^{\frac{x}{x+1} } =t^{\frac{1}{t-1} } .\label{29} \tag{1.29} $$

由于$x\geqslant 1$，上式左边的函数是$x$的严格单调递增函数，且当$x$从$1$单调递增趋于$+\infty $时，该函数也从$1$单调递增趋于$+\infty $.应用反函数定理，就可以从$\eqref{29}$确定出唯一的函数$x(t)$.

该式右边的函数在前面的第$2$点已经见过.当$t$从$0$单调递增到$1$时，$\eqref{29}$的右边从$+\infty $严格单调递减到$e$，而刚才确定的函数$x(t)$则从$+\infty $严格单调递减到某一个数$x_0 $.可以从$x_0^{\frac{x_0 }{x_0 +1} } =e$解出$x_0 \approx 3.591\;12 $.同样，当$t$从$1$单调递增趋于$+\infty $时，$\eqref{29}$的右边从$e$严格单调递减趋于$1$，而$x(t)$则从$x_0 $严格单调递减趋于$1$.

最后来证明函数$x^{\frac{1}{x+1}} $在$[1,x_0 ]$上严格单调递增，而在$[x_0 ,+\infty )$上严格单调递减.

设$x_0 < x_1 < x_2 $，则有$t > 1$，使得$x_2 =tx_1 $.这时$x(t) < x_0 < x_1 $，于是就有

$$\begin{align}
x_2^{\frac{1}{x_2 +1} } & =(tx_1 )^{\frac{1}{tx_1 +1} } =[(t^{\frac{1}{t-1} } )^{t-1} \cdot x_1 ]^{\frac{1}{tx_1 +1} }\\
& =[(x(t)^{\frac{x(t)}{x(t)+1} } )^{t-1} \cdot x_1 ]^{\frac{1}{tx_1 +1} } ,\\
& < [(x_1^{\frac{x_1 }{x_1 +1} } )^{t-1} \cdot x_1 ]^{\frac{1}{tx_1 +1} } =x_1^{\frac{1}{x_1 +1} } .
\end{align}$$

对于$1 < x_2 < x_1 < x_0 $，则有$t\in (0,1)$，使得$x_2 =tx_1 $.这时有$x(t) > x_0 > x_1 $.以下的推导与上面相似，只是要利用$t-1 < 0$而已.

这样就完成了对函数$x^{\frac{1}{x+1} }$的单调性分析，而且知道在$x=x_0 \approx 3.591\;12 $时该函数达到最大值（近似地为$1.321$）.

注$\quad $由$x^y=y^x $引起的一系列问题从欧拉和哥德巴赫以来就有许多有趣的讨论.较新的一文见美国数学月刊，第$111$卷$(2004),668-679$页，其中译文见数学译林，第$26$卷$(2007)$，第$2$期，$117-125$页.又见该刊的第$28$卷$(2009)$，第$2$期，$116-124$页.