在托勒密逝世后，希腊科学的黄金时代就过去了，一个智慧停滞的时期接踵而来.直到出现了某些比托勒密的同时代人更有才能并且能维持亚历山大学派传统的人，这种停滞状态才开始消除.其中最著名的人物就是亚历山大的帕普斯和丢番图，他们两个的辉一直照耀到$3$世纪末.

帕普斯的盛誉是由于他的《数学汇编》（$Mathematical\;Collections$）一书，这是一部八卷的著作，但仅有第一卷和第二卷的一部分保存了下来，其他都失传了.在统一早期作者的几何学知识方面，《数学汇编》一书的问世是一个重要步骤，正是从这部著作中，我们才了解到这些为了解决古代三个著名问题而进行过的尝试.帕普斯本人也有过重要的补充，其中包括对立体几何、高次平面曲线和等周问题的详尽处理，以及对力学的重要贡献.

帕普斯按照解题所需的曲线的性质，把问题作了一个重要的分类.

“我们已考虑过三种几何学问题.我们把其中某些叫做平面问题，另外一些叫做立体问题，还有些叫做线性问题.那些可以用直线和圆周来解决的问题，都称为平面问题，因为用来解决这类问题的线的起源是在平面内.那些要靠一条或一条以上的圆锥曲线来解决的问题称为立体问题，因为在这些问题的作图中要用到立体图形的面，例如圆锥曲线.此外还有第三类问题，它们叫做线性问题，因为在这些问题的作图中必须用到不同于刚才所述的线，它们有着不同的并且更复杂的起源，或者它们是由于运动而产生的.属于这类线的是螺旋线或螺线、割圆曲线、蚌线、蔓叶线等.”

$\mathrm{Hultsch} ,Pappi\;Alexandrini\;Collectiones $，第一卷，$1876-1878,271$页.

书中有两个重要的等周问题.这就是：$(1)$在所有周长相同的圆弓形中，以半圆面积为最大；$(2)$在所有表面积相等的正立方体中，以面数最多的立方体体积为最大.

这本著作中还有一篇《分析荟萃》（$Treasury\;of\;Analysis$）.这是“一个特殊部分的学说.它是提供给那些具备了一般基础，而希望获得他们碰到的有关曲线问题的解决方法的人用的，而且它仅仅对于这一目的来说才有用.这是欧几里得、帕尔加的阿波罗尼奥斯和阿里斯泰奥斯长老三个人的工作，并且是用分析与综合的方法来进行的”.

$\mathrm{Ivor\;Tomas} ,Greek\;Mathematical\;Works,Ⅱ,597$页.

这本著作中载有著名的“帕普斯问题”：“如果从任一点作直线与五条具有给定位置的直线在各个给定角度上相交，并且其中三条直线所围之长方体的体积与其余两条直线和一给定直线所围长方体的体积的比是给定的，则该点将落在给定位置的曲线上.如果有六条直线，并且其中三条所构成的上述立体与其余三条所构成的立体的体积之比是给定的，那么这一点仍将落在给定位置的曲线上.”笛卡儿曾试图用分析方法解决这一问题，并在几种情况下求出了必须使该点落于其上的曲线，这导致他发现了解析几何学的原理.

《数学汇编》还包含对力学的重要贡献.第七卷中发表了一个著名的定理：“如果任一平面图形绕其平面内的一条外轴旋转，那么，由此产生的立体体积必等于这平面图形的面积与图形重心所经过距离的乘积.”对任一旋转图形的面积也有相应的定理.通常，这两个定理都归功于古尔丁（$1577-1643$）.

作为对数学的贡献，《数学汇编》并不能和我们提过的亚历山大学派的名著相比.然而，这是一部相当重要的著作，因为除了它的伟大历史价值之外，它还使人们对希腊几何学的兴趣从衰微中重新恢复起来.

丢番图与帕普斯生活在同时代.他是一个具有伟大创造力的人，兴趣主要是在代数方面（代数实际上是他所创立的一个数学分支），而不是在希腊人的传统几何学方面.

他的声望在于一部伟大的著作《算术》（$Arithmetica$），这可以说是最早的一部代数论著，原先的十三卷只留存下来六卷.这本书是从平方、立方、平方的平方等定义开始的，对其中每一个他都引用了一个特殊符号.平方（未知量的平方）叫做dynamis，符号是带有指数$Y$的$\triangle $，即$\triangle^Y$.立方叫做cubus，它是符号是带有指数$Y$的$K$，即$K^Y$.平方的自乘叫做dynamo-dynamis，它的符号是带有指数$Y$的两个$\triangle $，即$\triangle^Y \triangle^Y$，依此类推.数字本身叫arithmos，它的单位量值待定，符号类似于我们的$S$.丢番图还用相应的一些符号表示分数.他已经知道怎样处理负数，因为他说“负数乘以负数得正数”，但在他的方程里从来都不容许有负数解或零解.例如像$x+12=8$这样的方程，他认为是不合理的，即没有意义的，因而一直不加考虑.

在上述论著的第四卷中，有一系列引导到二次方程的问题.其中有

$1$.试求三个数，使得其中最大的数和中间的数之差，与中间的数和最小的数之差具有给定的比值，而且其中任意二数之和是一平方数.丢番图假设给定的比值为$3\colon 1$，从而解出了这个问题.经过很长的演算之后，他得到$\dfrac{7\;338}{484}$，$\dfrac{1\;878}{484} $，$\dfrac{58}{484}$三个数满足全部所给的条件.

$2$.试求两个数，使得它们之和与它们的平方之和是给定数.他对这个问题的解法如下：

假定我们要使两个数的和等于$20$，它们的平方之和等于$208$.令两数之差是$2x$，并令两个数是$10+x$与$10-x$，则它们平方之和是$(10+x)^2+(10-x)^2$或$2x^2+200$.由假设可知这个数是$208$，因而$x$等于$2$，因此这两个数就是$12$与$8$.

这部著作中还有一个三次方程.这个方程是在他解决下列问题时出现的：试求一个直角三角形，使其面积与斜边的和是一平方数，而周长是一立方数.用现代的话来说，他的解法如下：

设面积为$x$，则斜边便为某一平方数减去$x$，譬如说是$16-x$.面积即为$x$，故二直角边的乘积为$2x$，它能分解成$2$和$x$两个数.这样我们就使得一直角边是$x$，而另一直角边是$2$.于是周长即为$18$.但这不是立方数，这是一个平方数加$2$.因此我们要求出一个平方数，当它加上$2$时要成为一个立方数.令正方形的边为$(m+1)$，而立方体的边为$(m-1)$，则

$$(m+1)^2+2=(m-1)^3$$

或$m^2+2m+3=m^3-3m^2+3m-1$

因而$m=4$.因此正方形的边为$5$，立方体的边为$3$.“我现在改变这个直角三角形，假定它的面积为$x$，并使斜边为$25-x$，底边仍等于$2$，垂直边等于$x$.于是从这个直角三角形得到

$$(25-x)^2=x^2+4$$

因而$x=\dfrac{621}{50} $”

$\mathrm{Ivor\;Tomas} \colon Greek\;Mathematical\;Works,Ⅱ,541$页.

二次方程在上述论著中是常见的.例如他解过：

$$x^2+2=3x\quad (x=2)$$

$$84x^2+7x=7\quad (x=\dfrac{1}{4} )$$

$$84x^2=7x+7\quad (x=\dfrac{1}{3} )$$

要注意，丢番图总是习惯把方程排列得使所有各项都是正的.此外来注意，他只容许一个根，即使两个根都是正的.

丢番图也相当注意二次不定方程，并且大都是把它化为$Ax^2+Bx+C=y^2$的形式.他完全没有提到一次不定方程，毫无疑问，这是因为他的一般原则是愿意接受非整数的解，而解一次不定方程的整个问题是求整数解.

我们可以援引下列问题作为丢番图所研究的那类问题的一个例子：求出两个数，使得其中任一数的平方与另一数之和是一平方数.用现代的话来说，他的解法大致是这样：设将未知数之一为$x$，为了满足第一个条件，第二数必须是$2x+1$.第二个条件要求$x+(2x+1)^2$或$4x^2+5x+1$等于一个平方数，譬如说等于$y^2$.丢番图第二步是作$2x-2$的平方.令此数与上述$4x^2+5x+1$相等，这就给出一个数$x$等于$\dfrac{3}{13} $，另一数等于$\dfrac{19}{13}$.

丢番图提出了好几个这一类的问题，但始终没有提供一个普遍的解法.“对于现代的人来说，学习了丢番图的$100$个方程以后，仍难以解出第$101$个方程$\cdots \cdots $读者心绪不宁地从一个问题继续到另一个问题，就像在猜谜游戏中一样，不能观其一点，即及其余.丢番图给人的困惑多于喜悦.”

$\mathrm{Sedgwick\;and \;Tyler} , A\;Short\;History\; of\;Science,135$页.

这本著作中还有一些关于讨论数论的问题.我们援引其中一个来说明它对后来数学家的重要性：要求把一个给定的平方数分为两个平方数.用现代的话来说，其解答如下：设要求把$16$分为两个平方数.令一个平方数是$x^2$，则另一数是$16-x^2$.我们要使得$16-x^2$成一平方数.假定

$$16-x^2=(2x-4)^2$$

于是$16-x^2=4x^2-16x+16$，

因而$x=\dfrac{16}{5} $.

所以一个数是$\dfrac{256}{25} $，另一数是$\dfrac{144}{25} $.这个问题具有很大的历史价值，正是由于对这个问题的钻研，才使得费马得出了他的著名的“大定理”：“不可能把一个立方数分为两个立方数，把一个四次方数分为两个四次方数，等等.”亦即当$n > 2$时，不可能求出方程$x^n +y^n=z^n $的整数解.

在丢番图的解答中，还有许多其他重要的特点.首先，我们发觉在符号上他有很大的改进.希腊人和追随他们的阿拉伯人在他们的说明中从来没有使用过任何符号，每一步运算都是写出来的.由于对造句规则的关心，使得几何学问题的证明与一篇文学主题的论文没有多大区别.几何证明经常被称为“修辞格式”（Rhetorical Style），后来又称为“切分格”（Syncopated Style），丢番图的名字就是与这个名称相联系的.符号被引用表示经常出现的数量和运算，它们一般带有简写的性质.例如丢番图曾用符号来表示未知数、它的平方、它的立方，等等，直到六次幂.这种符号总是写在它的数字系数之前.我们曾指出，丢番图总是只限于使用一个未知数.如果问题需要用两个未知数，他就设法选择一个未知数，而使另一未知数用它表示出来.丢番图还曾用一种符号表示减法，用另一种符号表示相等.加法是用并列来表示的.这种形式的代数记号一直沿用到$17$世纪才逐渐合并为我们今天所用的符号系统.

在离开丢番图之前，还可以提到他有另外两部著作，一部是多角数（de polygonis numeris）的著作，另一部是关于推论的著作.

黑暗时期

前面所说的亚历山大学派精神的衰退，在公元后最初几个世纪里一直接续着，到了$5$世纪则衰落到了最低谷.当时罗马已经成为已知世界之主，她的领土从印度河一直伸展到直布罗陀海峡，从尼罗河直到不列颠海岸.

在艺术、文学和法律方面，罗马给我们留下了宝贵的遗产，但在数学和科学方面，她的成就甚至在兴盛之极的时候也是平凡无奇的.罗马人的意识在任何时候都是极端实际的，他们不大关心智慧的追求，而这种追求却曾在希腊人中产生过那样丰富的不朽成果.罗马人的需要是极少的，除了食物与娱乐，大部分人就对什么都漠不关心.罗马法律的执行，特别在规定遗产继承权方面，需要某些计算技巧，结果罗马人就成了使用各种计算方法的老手.但是罗马人的几何学却难得超越土地测量中的那些简单法则，诸如建筑师和测量者所需要的那些法则.罗马人在其他方面的成就是巨大的，但在共和国的头几个世纪里，他们对数学或科学的发展贡献很少.西塞罗在他的“塔斯克来尼恩讲话”（Tusculanian Orations）中曾为这个事实而痛惜.他感叹道：“希腊人给予几何学家最高的荣誉，因此他们中间没有什么东西比数学发展得更光辉灿烂了，但是我们却把这门艺术局限于测量和计算的应用方面.”

甚至在早期的基督教学者中，也只有少数几个对数学或科学表示出仅有的一点兴趣.他们强烈的宗教热忱、他们对于生的见解——这种见解和对于死的看法是差不多的，是不鼓励他们追求世俗学问的.具有自由主义思想的奥利金（$185-254$）曾经作了一次值得称赞的尝试，想使古代学术与基督教信仰统一起来.但是他的企图只是荒野中的一声呼喊，那种用毫无成见的思想来研究自然的策励渐渐消失了.对渎神学识的兴趣，特别是对数学的兴趣低落了，欧洲进入了一个智慧上的黑暗时期.

但是随着早期的教会从地下墓窑中出现，她的活力就在逐渐增强，而对于那些研究兴趣不仅限于神学的知识分子阶级的兴起，态度也开始宽容些了.在混乱和内战——在公元初的几个世纪里这种情况是不少的——时期，修道院经常是提供庇护与闲适生活的最可靠的场所，因此我们必须转向修道院，以便发现一些对世俗学识重新感到兴趣的最初迹象.古代学术的片段，特别是医疗技术，开始在本笃会修道院中被研究.在那些黑暗和萧条的世纪中，希腊文化的一点点可怜的残篇被保存下来，并且为西方所利用.罗马最显赫的一个家庭的成员波伊提乌（$475-524$）是对这些希腊文化残篇最早感兴趣的人之一.他的《哲学的慰藉》（Consolations of Philosophy）一书使他为人们所纪念.这部著作是当他被指控犯了叛逆罪入狱后，在监狱生活的愁苦中编写的.他的数学著作包括他的算术与音乐教科书，以及一部关于几何学的书，这两部著作都没有什么突出的创造性.前者只是翻译尼科马科斯的著作，稍微有些增添，内容是关于算术、天文学、几何学和音乐四门学科的；后者大都不过是对欧几里得早期某些命题的说明.可是，那时数学知识是如此贫乏，以致即便是这样简单的东西，也不能为所有人所理解，而只能为那些比较博学的人所理解，这些博学的人在修道院之外是绝无仅有的.波伊提乌的著作的主要价值，如同他的比较年轻的同时代人卡西奥多鲁斯的著作的价值一样，就是在古代学术与中古学术之间提供了一条联系的纽带.

那时，强盛的罗马帝国正在很快地瓦解，随着恺撒城在$455$年陷落，罗马的统治实际上已告结束.在此$40$年前，希腊数学家中最后一位，赛翁的女儿希帕蒂亚，在亚历山大的街上被暴徒杀害了.她的死标志着通常被称为黑暗时期的那段蛮荒时期的开始.古代文明的最后痕迹消逝了.在随后的三个世纪左右，欧洲一直处于智慧上的阴暗时期.

然而，在$7$世纪，复兴的迹象终于开始萌芽了.那是在远离罗马的地方.在英格兰北部出现了英国文化之父，贾罗的比德老师（$673-735$）.他是一个不知疲倦的编纂者.他尽可能地把一切可资利用的古代学术搜集起来，这样，古代学术才得以流传到中古时期.他写过算术和编年史方面的东西，但在他的著述中很少有创造性.他还写过《论指势语》（De Loquela per Gestum Digitorum）.这本著作之所以重要，是因为它是我们研究当时用指头计算的方法或符号法的主要源泉.

$800$年，查理曼被立为“罗马人皇帝”，直到$14$年后他去世，他都不仅是一位聪明而强有力的统治者，同时也是一位伟大的学术扶植者.通常称为查理曼王朝复兴时期的$9$世纪的学术复兴，就是以他的朝廷为起点和中心的.他那恢复过去荣光的热望促使他坚持主张牧师们要有高深的学问.这就逐渐酿成了一种为学问而求学问的兴趣.为了适应这一点，查理曼曾下令在全国设立一些与各个寺院保持联系的学校.其中包括巨大的僧侣机构，例如兰斯、威尔士、查脱来斯等.学者们从意大利、英格兰与西班牙被召来，其中的主要人物是约克的阿尔昆（$735-804$）.查理曼明智地把帝国的教育改组事宜委托给他.阿尔昆曾教授过计算技术，还编写过许多初级教科书，这些教科书在中世纪获得了广泛流传.他还劝导他那高贵的扶助者在皇家宫廷中设置了一种学院，这大概可以认为是巴黎大学的前身.但他对学术发展的最大贡献在于坚决反对当时占优势的一种观点，即认为世俗学术是和教会的学说不相调和的.数学史方面有一本重要的著作叫做《磨炼心灵的种种问题》（Propositiones ad acuendos Juvenes），就是他所著的.

然而，查理曼王朝复兴时期是短暂的，即使有比德和阿尔昆以及他们的继承者们的努力，也无法阻挡已经开始密集的黑暗的进攻.$814$年查理曼逝世后，他强大的帝国就动荡不安，终至倾亡.在随后纷扰不安的时代里，人们的思想从追求知识转向到其他方面.在将近两个世纪中再也找不到任何说明人们对世俗学术重新感兴趣的证据了.$1000$年是一个转折点.刚被选为教皇的西尔威斯特二世，一位博学而对文化感兴趣的人，就像担任兰斯的主教时一样，已经显示出自己是当时最伟大的学术扶助者.在他擢升为教皇时，他就表现出对促进学术和教授七种学艺具有很大热忱.特别是由于获得了波伊提乌著作的抄本，他对数学的研究产生了新的兴趣.据说他自己曾经编写过一本几何学方面的论著，和另一本关于用他自己制造的算盘进行计算的论著.从这本论著里，我们可以知道一些在印度数字引入之前欧洲所用的计算方法.加贝（西尔威斯特原名）逝世于$1003$年，但是在短短的主教任期中，他所创立起来的传统一直保持到$13$世纪.他的学生伯纳立纳斯追随他的足迹，也编写过一本关于珠算的著作.

以后的两百年，学术进展得很慢.然而，$1200$年是学术史上最辉煌时期之一的开始.在这个时期可以看到许多高等学校的兴起，因此可以恰当地说，它标志着黑暗时期的结束.

当时，西方的数学知识虽然从未超过公元头$10$世纪里的一般水平，但是古代学术中的伟大著作却没有流失.甚至在最黑暗的日子里，拜占庭帝国也一直维持有一个文化背景，并且在皇宫里保存了不少希腊学术著作.$7$世纪初，阿拉伯人，一个直到那时还不知名的种族，在他们的领袖穆罕默德的领导下，离开麦加向麦地那出发.在强烈的宗教热忱刺激下，他们出发几年后就开始走进一个征服的时期.大马士革和耶路撒冷很快就相继落入他们之手.$641$年，他们掠夺了亚历山大，抢走了当时留存下来的希腊杰作.再加上印度人的算术和代数，到了$7$世纪中叶，他们使巴格达成了东方文化的中心.但他们并没有就此停步.第二年他们征服了埃及并转向西方，在半世纪稍多的时间里，他们一直到达直布罗陀海峡.$711$年，他们横渡到西班牙，从那里甚至还进入过法兰西，以后一直毫无阻碍地继续向前.最后，终于在$732$年为查理$\cdot $马特所阻.不久他们就安定下来，进入和平时期，并且立即表现出他们是希腊学术的热心赞助者.由于他们与当地人民杂居在一起，马上受到西方思想的同化，并且从这个东西方的合流中产生出高度的文化.到了这个世纪中叶，科尔多瓦便发展成为西方的中心，就像巴格达是东方的文化中心一样.因此，在中古时代的大部分时间里，西班牙成了穆罕默德帝国的一部分，继承着它的文化，而且更为重要的是，它成了把这个文化传播到西欧的主要渠道.

哈里发的统治标志着欧洲新时代的开始.正是由于他们的努力，希腊文化传统才得以保存下来.在$8$世纪的下半叶，哈伦$\cdot $拉希德——他可能是所有哈里发中最著名的一个——曾鼓励翻译希腊著作，通过这一方式，他为阿拉伯文化伟大时期的开端作出了很大贡献.他还面向东方，把一位有声望的印度天文学家曼苏尔吸引到他的宫廷里来.他的继承者麦蒙仿效他，曾派遣过一个代表团到君士坦丁堡去.结果到了$9$世纪，阿拉伯人就成为大多数希腊科学杰作的所有人了.而且，由于同东方的商业往来日益增多，不仅希腊文化，印度文化也找到了通向巴格达的道路.印度文的天文表被翻译出来了，很可能阿拉伯人就是从这里开始熟悉印度计数系统的.

因此，阿拉伯人在研究与保存古代学术名著方面是有不朽的功绩的.但是他们做得比这更多，他们自己还作出了某些有意义的贡献.在麦蒙统治时期，曾经出现过一位作家名叫穆罕默德$\cdot $伊本$\cdot $穆萨$\cdot $阿尔-花拉子米（逝世于$830$年）.他对数学思想的影响比任何其他中古时代的作家都大.他编写过一本关于算术的著作，还有一本关于代数的著作.前者是仿效印度婆罗摩笈多的著作，由于书中经常使用印度数字，所以它有助于淘汰旧形式的计数方法.后者则有一些独创性，它在处理二次方程时给出了两个根.这显然比丢番图前进了一步，我们记得，后者一直满足于一个根.如我们已指出的，阿拉伯人对于天文学以及他们从托勒密那里继承下来的三角学这门基本科学也表现出浓厚兴趣.他们表现出自己乃是耐心而精确的观察者，在编制种种数表方面，他们自由地使用了正弦函数和正切函数.在花拉子米之后是泰别脱$\cdot $伊本$\cdot $考拉（约$830-901$），他翻译了欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯和托勒密的著作.另外还有阿尔巴塔尼（他对三角学的贡献前面已经提到），阿尔卡耶米（约公元$1000$年）和阿尔卡尔几.所有这些活动的结果就是：到了$10$世纪之初，阿拉伯人就已经占有了希腊学术杰作，尤其是，他们已经具备了跟我们今天相差不大的计数制.

在随后的一世纪中，阿拉伯的科学达到了它的最高水平.接着便是一个迅速衰落的时期，其衰落速度并不亚于它的上升速度.到了世纪末，基督教开始征服西班牙.托莱多陷落于$1085$年，萨拉戈萨陷落于$1118$年，其结果是阿拉伯的文化为西欧所利用.

这种文化之所以在西方传播，是加贝激励人心的结果.这使得整个西方掀起了一次史无前例的向文化进军的热潮，文化已不再被限于修道院之内.许多热心的学者知道阿拉伯人已经把他们所占有的希腊名著翻译出来之后，就立即拼命设法把它们弄到手，并且译成了拉丁文.其中最早的一个学者就是在$12$世纪前半叶享有盛名的巴斯的阿台尔哈得.他假装成一个伊斯兰教学者到科尔多瓦去听讲，在那里他获得了欧几里得《几何原本》的抄本，并把它译成拉丁文.他还把花拉子米的天文表带到了西方.$12$世纪是翻译者的黄金时代，许多人都仿效阿台尔哈得的先例.克雷莫那的杰拉德（逝世于$1187$年）曾从阿拉伯文译本中把希腊著作以及其中阿拉伯人的注释翻译了出来；切斯特的罗伯特把花拉子米的《代数学》译成了拉丁文；塞维利亚的约翰（约翰$\cdot $希思派林西斯）根据阿拉伯人的资料编写过一本代数学著作.直到$12$世纪末，这种文化传播的主要中心是托莱多，因为基督教学者、穆斯林和犹太教师都在这里会聚.

中世纪的文化基础（实际上是思想基础）就是这些译本.但是应该注意到，在这种方式下传播的译本并不是忠于希腊原文的翻译品.如果我们回想起它们是通过怎样曲折的道路才到达西方世界的话，就可以看出这是不可避免的了.阿拉伯文译本后来被译成了卡斯蒂利亚文，拉丁文译本就是根据这个译本而来的.我们还必须记住，阿拉伯人对希腊语言缺乏熟练的掌握，而这对于准确无误的翻译来说是非常重要的.因此，传到中世纪学生那里的文化由于积聚了许多错误往往和原来的形式只有很少的相似之处.虽然如此，它对思想的激励作用仍是极大的.

在整个中世纪对知识的传播起着极重要的高等学校，其起源可以一直追溯到这次文化领域的扩张.由于对教育的要求日益增高，从前作为唯一学习场所的修道院和大教堂学校，已经显得不能适应需要了，于是逐渐出现了新的学校.从这些新学校中又诞生出中世纪的高等学校.在行会或社团已经成为团体生活普遍形式的那个时代，教的人和学的人很自然地应当团结起来，以便互相帮助，保护他们的学术.虽然这些会社对神学的兴趣是主要的，但它们对世俗学术也提供了一个轮廓.在意大利，法律学校与医药学校是最重要的，但阿尔卑斯山的北面可以学到文法、修辞和辩证法三门学科，接着可以学到更高级的包括算术、几何学、天文学和音乐四门学科.学校的水平并不太高，虽然如此，教师和学生组成的这些社团却是中世纪最经久的特色之一.

复兴时期

$13$世纪初是数学史上一个相当重要时期的开始.当时，西方已经有了大部分希腊学术名著的拉丁文译本，这就引出一个活跃的智慧复兴的时期，而在科学和数学的园地里，复兴的迹象较其他方面更为显著.

欧洲对于这次复兴，并不是没有准备的.十字军使得欧洲的各部分彼此接触起来，并且使欧洲同东方新世界接触起来.那时，高等学校已经开始在学术传播方面发挥它们的作用.导致追求知识的热忱日益增长的另一因素，是人们对航海越来越感兴趣.大约在$11$世纪中的某一时期，中国人发明了指南针，这就激起了人们去寻找新大陆的热望，这种热望又转过来要求提高航海技术，这对天文学和数学两门基础科学发生了强烈的影响.所有这些因素在一起，引出了科学史上一个最蔚为壮观的时期.追求创新的热情代替了墨守成规.西方的学校变得空前拥挤起来，“觉醒了的欧洲智力，在忙于阐明和分析展现在它眼前的新宝藏”.

$\mathrm{Rashdall} , Universities\;of\;Europe\; in\;the\;Middle\;Ages$，第一卷，$32$页.

然而，也有一些相反的倾向.在$13$世纪的头几十年，亚里士多德的全部著作就已经有了拉丁文译本.人们过分地恪守他的学说，这对认真地研究数学和科学势必是一个重大障碍.“亚里士多德所享有的作为一个伦理学家的权威$\cdots \cdots $本身多多少少有点传到了他所写的著作里.亚里士多德当时被公认是形而上学方面、伦理哲学方面乃至数学方面的一个几乎是最后的权威，这对数学有着极为不幸的后果.”

$\mathrm{Rashdall} , Universities\;of\;Europe\; in\;the\;Middle\;Ages$，第一卷，$70$页.

中世纪对于历史文献的尊敬给这些文献增加了一层不会有错的光辉.纯粹解释文字的学问兴起了，它的范围是如此狭隘，以致几乎完全忽视了自然科学.$13$世纪下半叶是亚里士多德学说崇拜者的兴盛时期.在这样的气氛里，数学只能勉强维持下来.

有两位学者在解释亚里士多德学说方面卓有成绩，一位是“万能博士”阿尔伯特（$1206-1280$），还有一位是他的更有名望的学生托马斯$\cdot $阿奎那（$1225-1274$）.亚里士多德的哲学在任何地方都没有像它在托马斯的哲学形式中那样取得了完全的胜利.这两位学者的目的是要调和两个知识来源——教父们所传播的基督教信仰和柏拉图与亚里士多德所宣扬的理性真理.这种经院性的思想方式，受到了中世纪的“奇异博士”罗吉尔$\cdot $培根（$1214-1292$）的猛烈抨击.培根的《大著作》（Opus Majus）是一本有极大价值的著作.

尽管如此，$13$世纪仍然标志着人真正的觉醒.由于阿拉伯人在保存和传播希腊科学方面所起的作用，西方从他们那里得到极大的好处.然而不应忘记，保存是一回事，创造则是另一回事.数学要有发展就要有创造才能，而在亚历山大科学的衰微和它在西方复兴之间的许多世纪里，简直没有什么证据说明谁有这种才能.

但在$13$世纪，可以找到两个人，他们足以称为数学家，而与那些只能称为编纂者的人大不相同.那就是比萨的列昂纳多或称斐波那契（$1170-1240$）和萨克森的约敦纳斯$\cdot $尼摩拉略斯.

斐波那契是中世纪最伟大的数学家，完全可以说，西方的数学复兴是从他开始的.他在东方旅行期间积聚了许多东方的数学知识，这具体体现在他的《算经》（Liber Abaci）一书中.该书出版于$1202$年，再版于$1228$年.这本书被公认为欧洲人所写的最伟大的数学论著，在两个世纪中一直作为一本标准著作.把印度计数制度介绍给欧洲的，正是这本著作.它还载有大量问题的解答，并以严谨的证明著称.书中未知量被记为res（有时记为radix），它的平方被记为census，绝对项记为numerus.在一个例子里中，数字是用字母来表示的.他的《实用几何学》（Practica Geometrica,$1120$）一书也是对数学的一个杰出贡献.有人认为这本书是以欧几里得的一个散失了的著作《论数的分类》（On the Division of Figures）为根据的.其中载有大量算术和几何方面的问题，并且在解这些问题时自由使用了代数方法.他还对希罗的用三角形的三边表示其面积的公式提出了一个巧妙的证明.

斐波那契还编写过另外两本著作，叫做《花朵》（Flos）和《象限仪书》（Liber Quadratorum）.前者主要是研究丢番图的分析方法.书中可以找到许多一次和二次不定方程的问题.他给方程$x^3+2x^2+10x=10$的唯一实根求出了很准确的数值.虽然他抛弃了负根，但他认为负的量是有意义的，并且他还熟悉许多由下列恒等式导出的定理：

$$\begin{align}
(a^2+b^2)(c^2+d^2) & =(ac+bd)^2+(bc-ad)^2 \\
& = (ad+bc)^2 +(ac-bd)^2 \end{align}$$

约敦纳斯$\cdot $尼摩拉略斯（约敦纳斯$\cdot $撒克叟）是一位德国的数学家和物理学家，生于公元$12$世纪下半叶.他曾于$1220$年加入黑袍教团，并且从$1222$年到$1237$年是这个教团的团长.和斐波那契一样，他也随意使用了印度计数制.

在他的两本算术著作《算术证明》（Demonstratio Algorismi）和《十论算术证明》（Arithmetica decem Libris Demonstrata）中，没有表现出什么受到伊斯兰教徙影响的痕迹.这两部著作都是仿效波伊提乌和尼科马科斯的格调.在《算术》（Arithmetica）一书里随意使用了字母来代替数字.约敦纳斯对问题的计算方面似乎并没有兴趣，他的目的是要用演绎方法处理问题.他对数论特别有兴趣，并且成功地证明了$x(x+1)$即非立方数也非平方数.他的《论已知数》（Traciatus de Numeris Datis）是一本关于代数的论著.其中有许多代数规则，并且收集了一系列导致一次方程和二次方程的问题.他用字母表示已知量和未知量，乃是代数符号发展中的一个显明进步.但当时还没有用来表示普通数学运算的符号.除了加法经常用并置来表示以外，一般的运算都必须全部写出来.他的《关于三角形》（De Triangulis）一书中有几个命题谈到相似三角形的性质，它们显然是以欧几里得的《几何原本》为根据的.

在这个世纪结束前，还有一个人是约翰$\cdot $哈利法克斯（好莱坞的约翰，或萨克罗博斯科）.在这世纪的后半叶他曾在帕多瓦教过书.他发表过一本名为《论球形宇宙》（De Sphoera Mundi）的著作.这是一本选录托勒密著作的选编，此外还载有一些阿拉伯人的贡献.他还写过一本《论计数的方法》（Tractatus de Arte Numerandi），这本著作曾促进了印度计数制在西方的推广.

在以后一个世纪里有尼可拉斯$\cdot $奥尔斯姆（$1323-1382$）.他的《论图线》（Tractatus de Latitudinibus Formarum）一书直到$1486$年才出版问世.在这本书里可以清楚地看到坐标第发展的步骤.因为这个缘故，奥尔斯姆一直被公认为坐标几何的创始人之一.但是这本著作中没有指出代数与几何之间的本质联系，他那些坐标并不是按照某种预先规定的法则点出的.在他的《比例算法》（Algorismus Proportionum）一书中，有证据说明他已经掌握了非正整数指数的概念，并且定义了$a^{\frac{p}{q} }$.在这方面，奥尔斯姆似乎已经远远走在他那个时代的前面，因为直到许凯的《算术三编》（Triparty en la Science des Nombres,$1484$）发表的时候，还没有其他有关的实例可寻.分数指数与负指数的真正意义首先是在约翰$\cdot $沃利斯的《无穷算术》（Arithmetica Infinitorum ,$1656$）一书中阐明的.