近世代数引论 在线阅读 冯克勤 李尚志 章璞 中国科学技术大学出版社 第3版

简介

近世代数是代数学一个基础学科，讲述代数基本结构的特性。本书除系统介绍群、环和域的基础知识（包括域的有限伽罗瓦扩张理论）之外，还力图强调近世代数中的思想和方法.书中有大量习题.除主线内容外，还增加一些附录用来开拓和深化所学内容.

本书在中国科学技术大学讲授多年的讲义基础上修改写成.可作为高等学校数学系基础课教材，也可供数学工作者和通信、计算机科学等领域的工程技术人员参考.

群

集合论预备知识

群是集合上赋予某种二元运算的一种代数结构.

一些特定的对象放在一起就叫做一个集合. 集合$A$中每个对象$a$叫做$A$中的元素，表示成$a\in A$.否则，如果某个对象$b$不属于$A$，则表示成$b\notin A$.

全体正整数所构成的一个集合，表示成$\bf N$.全体整数所构成的整数集合，表示成$\bf Z$.全体复数所构成的一个集合，表示成$\bf C$.全体实数所构成的一个集合，表示成$\bf R$.全体有理数构成的一个集合，表示成$\bf Q$.

设$A$和$B$是两个集合，如果$A$中每个元素均是$B$中元素，即

$$a\in A\Rightarrow a\in B,$$

则$A$叫做$B$的一个子集，表示成$A\subseteq B$或者$B\supseteq A$.如果$A\subseteq B$并且$B\supseteq A$，即

$$a\in A\Leftrightarrow a\in B,$$

这也相当于说集合$A$与$B$包含同样的元素，这时叫做集合$A$与$B$相等，表示成$A=B$.如果$A$是$B$的子集并且不等于$B$，则$A$叫$B$的真子集，表示成$A\varsubsetneqq B$或者$B\varsupsetneqq A$.不包含任何元素的集合叫做空集，表示成$\varnothing$.空集显然是每个集合的子集.

可以有许多方式来表达一个确定的集合.例如若集合$A$只有有限多(不同)元素$a_1,\cdots,a_n(n\in\bf N)$，则这个集合可表成

$$A= \lbrace a_1,\cdots,a_n \rbrace .$$

只有有限多个元素的集合叫有限集，否则叫无限集.具有$n$个元素的集合叫$n$元集，元素个数表示成$\mid A\mid =n$.在一般情形下，集合$S$中具有某种性质$P$的全体元素构成的集合通常表成

$$\lbrace x\in S\mid x有性质P \rbrace .$$

例如：偶数集合$\lbrace 0,\pm 2,\pm 4,\cdots \rbrace$可以表成

$$\lbrace n\in{\bf Z}\mid n\equiv 0\pmod{2}\rbrace .$$

由一些已知集合构作新的集合通常用集合上的运算来实现。设$A$和$B$是两个集合，它们的公共元素组成的集合叫做$A$和$B$的交，表示成$A\cap B$，即

$$A\cap B=\lbrace x\mid x\in A并且x\in B\rbrace .$$

类似地，$n$个集合$A_1,\cdots,A_n$的交为

$$\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcap}} A_i=A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n=\lbrace x\mid x\in A_i,1\leq i\leq n\rbrace .$$

更一般地，对于任意多个集合形成的集族$\lbrace A_i \mid i\in I\rbrace $,(其中$I$是一个集合，叫该集族的下标集合，对于每个$i\in I$,$A_i$是该集族中的一个集合)，它们的交为

$$\underset{i\in I}{\bigcap}A_i=\lbrace x\mid x\in A_i，对每个i\in I\rbrace .$$

第二个集合运算是集合的并，集合$A$与$B$的并表示成$A\cup B$，定义为

$$A\cup B=\lbrace x\mid x\in A或者x\in B\rbrace .$$

类似地，

$$\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcup}} A_i=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\lbrace x\mid x\in A_i对某个i,1\leq i\leq n\rbrace ,$$

$$\underset{i\in I}{\bigcup}A_i=\lbrace x\mid x\in A_i，对某个i\in I\rbrace .$$

设$A$是$B$的子集，则$B-A=\lbrace x\mid x\in B,x\notin A\rbrace $叫做子集$A$(关于$B$)的补集.如果在讨论问题中所涉及的集合均是某个固定集合$\Omega$的子集，则$\Omega-A$也常常简称作$A$的补集，表示成$\overline{A}$.

设$A$和$B$是两个集合，我们把集合

$$A\times B=\lbrace (a,b)\mid a\in A,b\in B\rbrace $$

叫做$A$和$B$的直积.在$A\times B$中，$(a,b)=(a’,b’)$当且仅当$a=a’$并且$b=b’$.类似可定义多个集合的直积.

$$A_1\times \cdots \times A_n=\prod \limits_{i=1}^nA_i=\lbrace (a_1,\cdots ,a_n\mid a_i\in A_i,1\leq i\leq n\rbrace $$

$$\prod\limits_{i\in I}A_i=\lbrace (a_i)_{i\in I}\mid a_i\in A_i，对每个i\in I\rbrace .$$

为了比较不同的集合，需要将不同集合发生联系，这就是集合之间的映射.$f$叫做从集合$A$到集合$B$的映射，是指对每个$a\in A$均有确定办法给出集合$B$中唯一的对应元素，这个对应元素叫做$a$在映射$f$之下的像，表示成$f(a)$.而“$f$把$a$映成$f(a)$”这件事表示成$a\mapsto f(a)$.从$A$到$B$的映射$f$表示成$f:A\to B$或者$A\xrightarrow{f} B$.

设$f:A\to B$和$g:B\to C$都是集合之间的映射，则可经过连续作用，得到一个从$A$到$C$的映射

$$g\circ f:A\to C,(g\circ f)(a)=g(f(a)).$$

映射$g\circ f$叫做$f$与$g$的合成映射.

设$f$和$g$均是从集合$A$到集合$B$的映射，我们称$f$和$g$相等(表示成$f=g$)，是指对于每个$a\in A$，均有$f(a)=g(a)$.

引理1(合成运算满足结合律)  设$f:A\to B$，$g:B\to C$，$h:C\to D$均是集合的映射，则

$$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f.$$

证明  对于$a\in A$，令$f(a)=b$，$g(b)=c$，$h(c)=d$.则

$$(g\circ f)(a)=c,(h\circ g)(b)=d.$$

于是

$$(h\circ (g\circ f))(a)=h(c)=d,((h\circ g)\circ f)(a)=(h\circ g)(b)=d.$$

从而对每个$a\in A$，$(h\circ (g\circ f))(a)=((h\circ g)\circ f)(a)$；这就表明$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$.证毕.

设$f:A\to B$是集合的映射.对于$A$的每个子集$A’$，令

$$f(a’)=\lbrace f(x)\mid x\in A’\rbrace .$$

这是$B$的子集，叫做$A’$在$f$之下的像.另一方面，对于$B$的子集$B’$，令$f^{-1}(B’)=\lbrace x\in A\mid f(x)\in B’\rbrace $，这是$A$的子集，叫做$B’$的原像.如果$f(A)=B$，即$B$中每个元素均是$A$中某个元素(在$f$之下)的像，则$f$叫做满射.另一方面，如果$A$中不同元素被$f$映成$B$中不同元素，即：$a$，$a’\in A$，$a\neq a’\Rightarrow f(a)\neq f(a’)$，则$f$叫做单射.最后，若$f:A\to B$同时是单射和满射，则$f$叫做一一映射或一一对应.例如：将集合$A$中每个元素均映成其自身的映射

$$1_A:A\to A,1_A(a)=a.$$

就是$A$到$A$的一一对应.映射$1_A$叫做集合$A$的恒等映射.通常采用下面引理来判断一个映射是否为一一对应.

引理2  映射$f:A\to B$是一一对应的充分必要条件是存在映射$g:B\to A$，使得$f\circ g=1_B$，$g\circ f=1_A$.

证明  如果$f$是一一对应，由定义知这意味着对每个$b\in B$，均存在唯一的$a\in A$使得$f^{-1}(b)=a$(存在性由于$f$是满射，唯一性由于$f$是单射)于是可定义映射

$$g:B\to A,g(b)=f^{-1}(b).$$

直接验证$g\circ f=1_A$和$f\circ g=1_B$成立.

另一方面，如果$f$不是满射，则存在$b\in B$，使得$f^{-1}(b)=\varnothing$.所以对每个映射$g:B\to A$，均有$(f\circ g)(b)=f(g(b))\neq b$.于是$f\circ g\neq 1_B$.如果$f$不是单射，则存在$a$，$a’\in A$，$a\neq a’$，使得$f(a)=f(a’)=b$.那么对于每个映射$g:B\to A$，$(g\circ f)(a)=g(b)=(g\circ f)(a’)$，于是$g\circ f\neq 1_A$.所以若存在$g:B\to A$使得$f\circ g=1_B$并且$g\circ f=1_A$.则$f$必然是一一对应的.证毕.

当$f:A\to B$是一一对应时，满足$f\circ g=1_B$和$g\circ f=1_A$的映射$g:B\to A$是唯一的。这是因为：若$g’:B\to A$也有性质$f\circ g’=1_B$，$g’\circ f=1_A$，则

$$g’=g’\circ 1_B=g’\circ (f\circ g)=(g’\circ f)\circ g=1_A\circ g=g.$$

我们将这个唯一存在的映射$g$叫做$f$的逆映射，表示成$f^{-1}$.

设$A$是集合，集合$A\times A$的每个子集${\bf R}$叫做集合$A$上的一个关系.如果$(a,b)\in {\bf R}$,便称$a$和$b$有关系${\bf R}$，写成$a{\bf R}b$.例如${\bf R}\times {\bf R}$中子集

$${\bf R}=\lbrace (a,b)\in {\bf R}\times {\bf R}\mid a比b大\rbrace ,$$

则实数$a$和$b$有关系${\bf R}$即指$a$比$b$大，这就是“大于”关系.通常将这个关系记成$a>b$.同样还有${\bf R}$上的关系$\geq$(大于或等于)，$<$(小于)，$\leq$(小于或等于)，$=$(等于).集合$A$上的关系$\sim$叫做等价关系，是指它满足如下三个条件：

(1)自反性：$a\sim a$(对于每个$a\in A$);

(2)对称性：若$a\sim b$，则$b\sim a$;

(3)传递性：若$a\sim b$，$b\sim c$，则$a\sim c$.

设$\sim$是集合$A$上的等价关系.如果$a\sim b$，由对称性知$b\sim a$.这时称元素$a$和$b$等价.对于每个$a\in A$，以$\left[ a\right]$表示$A$中与$a$等价的全部元素构成的集合，即

$$\left[ a\right]=\lbrace b\in A\mid b\sim a\rbrace .$$

由自反性知$a\in \left[ a\right]$，称$\left[ a\right]$为$a$所在的等价类，由传递性可知同一等价类中任意二元素彼此等价(设$b$，$c\in \left[ a\right]$，则$b\sim a$，$a\sim c$，于是$b\sim c$).不同等价类之间没有公共元素.

若两个不同等价类之间有一个公共元素，则这两个等价类中的每个元素都与这个公共元素等价，它们之间也互相等价，按等价类的定义，它们应该在同一个等价类里，而不是在两个不同的等价类里。因此不同等价类之间没有公共元素.

因此集合$A$是一些等价类$\lbrace \left[ a\right]\mid i\in I\rbrace $的并，而这些等价类是两两不相交的.我们从每个等价类$\left[ a\right]$中取出一个元素$b_i$(即$b_i\in \left[ a\right]$)，则$R=\lbrace b_i\mid i\in I\rbrace $具有如下性质：$A$中每个元素均等价于某个$b_i$，而不同的$b_i$彼此不等价.我们把具有这样性质的${\bf R}$叫做$A$对于等价关系$\sim$的完全代表系.于是

$$A=\underset{a\in R}{\bigcup}\left[ a\right] (两两不相交之并). \ast$$

一般地，若集合$A$是它的某些子集$\lbrace A_i\mid i\in I\rbrace $之并，并且$A_i$两两不相交，便称$\lbrace A_i\mid i\in I\rbrace $是集合$A$的一个分拆.如上所述，$A$上的每个等价关系给出集合$A$的一个分拆($\ast$).反过来，如果$\lbrace A_i\mid i\in I\rbrace $是集合$A$的一个分拆，可如下定义$A$上的一个关系：对于$a$,$b\in A$，

$$a\sim b\Leftrightarrow a和b在同一A_i之中.$$

以$E$表示$A$的全部等价关系，以$P$表示$A$的全部分拆，则上面由等价关系到分拆的映射$f:E\to P$和从分拆到等价关系的映射$g:P\to E$满足$f\circ g=1_P$，$g\circ f=1_E$，从而$f$是一一对应(引理2).换句话说，集合$A$上的等价关系和$A$的分拆是一一对应的.

例如，设$F$是由某些集合构成的集族.在$F$上定义如下的关系：对于$A$，$B\in F$，

$$A\sim B\Leftrightarrow 存在从A到B的一一对应.$$

这是$F$上的等价关系.

自反性：$1_A:A\to A$是一一对应，从而$A\sim A$.

对称性：若$f:A\to B$是一一对应，则$f^{-1}:B\to A$是一一对应，从而$A\sim B \Rightarrow B\sim A$.

传递性基于习题3.如果$f:A\to B$,$g:B\to C$均是一一对应，则$g\circ f:A\to C$也是一一对应，且$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

对于这种等价关系，彼此等价的集合叫做是等势的.比如说，两个有限集合等势(即存在一一对应)的充要条件是它们有同样多元素，即$\mid A\mid =\mid B\mid$.与正整数集合$\bf N$等势的集合叫做可数无限集合，其他无限集合叫做不可数集合.熟知实数集合${\bf R}$是不可数集合.而正偶整数的全体$E$是可数(无穷)集合，因为存在着一一对应${\bf N} \to E$，$n\mapsto 2n$.这个例子也表明，无限集合$A$的一个真子集可以与$A$等势！

设$A$是集合.从$A\times A$到$A$的映射

$$f:A\times A\to A$$

叫做集合$A$上的一个(二元)运算.例如：通常复数加法就是运算

$$f:{\bf C}\times {\bf C}\to {\bf C},f(\alpha,\beta)=\alpha+\beta.$$

我们经常把集合$A$上的运算表示成$\cdot$，即对于$a$，$B\in A$，$f(a,b)$写成$a\cdot b(\in A)$或者更简单地写成$ab$.

运算$\cdot$叫做满足结合律，是指

$$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c (对任意a,b,c\in A).$$

运算$\cdot$叫做满足交换律，是指

$$a\cdot b=b\cdot a (对任意a,b\in A).$$

一个集合赋予满足某些特定性质的(一个或多个)二元运算，便得到各种代数结构.本书讲述群、环和域三种代数结构.

习题

$1$.设$B$，$A_i(i\in I)$均是集合$\Omega$的子集.试证：

$(1)\;\displaystyle B\cap (\underset{i\in I}{\bigcup}A_i)=\underset{i\in I}{\bigcup}(B\cap A_i)$.

$(2)\;\displaystyle B\cup (\underset{i\in I}{\bigcap}A_i)=\underset{i\in I}{\bigcap}(B\cup A_i)$.

$(3)\;\displaystyle \overline{\underset{i\in I}{\bigcup}A_i}=\underset{i\in I}{\bigcap}\overline{A_i}$.

$(4)\; \displaystyle \overline{\underset{i\in I}{\bigcap}A_i}=\underset{i\in I}{\bigcup}\overline{A_i}$.

证：

$(1)$由定义$\displaystyle x\in B\cap (\underset{i\in I}{\bigcup}A_i)$当且仅当$x\in B$且$x$属于某一$A_i ,i\in I$；当且仅当$x$属于某一$B\cap A_i $；当且仅当$\displaystyle x\in \underset{i\in I}{\bigcup}(B\cap A_i)$.

$(2)$由定义$\displaystyle x\in B\cup (\underset{i\in I}{\bigcap}A_i)$当且仅当$x\in B$，或者$x$属于任一$A_i ,i\in I$；当且仅当$x$属于任一$B\cup A_i ,i\in I$；当且仅当$\displaystyle x\in \underset{i\in I}{\bigcap}(B\cup A_i)$.

$(3)$由定义$\displaystyle x\in \overline{\underset{i\in I}{\bigcup}A_i}$当且仅当$x\in \Omega ,\displaystyle x\notin \underset{i\in I}{\bigcup}A_i$当且仅当$x\in \Omega ,x$不属于任何一个$A_i,i\in I$当且仅当$\displaystyle x\in \underset{i\in I}{\bigcap}\overline{A_i}$.

$(4)$由定义$\displaystyle x\in \overline{\underset{i\in I}{\bigcap}A_i}$当且仅当$x\in \Omega,\displaystyle x\notin \underset{i\in I}{\bigcap}A_i $当且仅当$x\in \Omega ,x$不属于某一个$A_i,i\in I$当且仅当$\displaystyle x\in \underset{i\in I}{\bigcup}\overline{A_i}$.

$2$.设$f:A\to B$是集合的映射，$A$是非空集合.试证：

$(1)f$为单射$\Leftrightarrow$存在$g:B\to A$，使得$g\circ f=1_A$;

$(2)f$为满射$\Leftrightarrow$存在$h:B\to A$，使得$f\circ h=1_B$;

证：$(1)$若$f$为单射，则可以定义$g:B\to A$如下：

$$g(b)=\begin{cases} a, & 若b=f(a), \\ a_0 & 若b\neq f(a),\end{cases}$$

其中$a_0$是$A$中某一固定元.因$f$是单射，$g$的定义是合理的，则$g\circ f=1_A$.

反之，设$f(a_1)=f(a_2),a_1,a_2\in A$.则$a_1=gf(a_1)=gf(a_2)=a_2$，即$f$为单射.

$(2)$设存在映射$h:B\to A$，使$\forall b\in B$，有$fh(b)=b$，即$f\left[ h(b)\right]=b$，即$\forall b\in B$，$\exists x=h(b)$使$f(x)=b$.所以$f$是满射.

反之，设$f$是满射，我们定义一个$B$到$A$的对应关系$h,\forall b\in B$，因为$f$是满射，存在一个$a$，使$f(a)=b$，于是，令$h(b)=a$，则$h$是$B$到$A$的一个映射，且有：$fh(b)=f(h(b))=f(a)=b$，所以$fh=1_B$.

$3$.如果$f:A\to B$，$g:B\to C$均是一一对应，则$g\circ f:A\to C$也是一一对应，且$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$.

证：$(gf)(f^{-1}g^{-1})=g1_Bg^{-1}=1_C$，$(f^{-1}g^{-1})(gf)=f^{-1}1_Bf=1_A$.故$gf$也是一一对应的，且$(gf)^{-1}=f^{-1}g^{-1}$.

$4$.设$A$是有限集，$P(A)$是$A$的全部子集(包括空集)所构成的集族，试证$\mid P(A)\mid =2^{\mid A\mid}$，换句话说，$n$元集合共有$2^n$个不同的子集.

证：设$\mid A\mid =n$，则$A$共有$C_n^m$个$m$元子集，$0\leq m\leq n$.故$\mid P(A)\mid =C_n^0+C_n^1+\cdots +C_n^{n-1}+C_n^n=2^n$.

$5$.设$f:A\to B$是集合的映射.在集合$A$上如下定义一个关系：对任意$a,a’\in A$,$a\sim a’$当且仅当$f(a)=f(a’)$.试证这样定义的关系是一个等价关系.

证：容易看出这种关系具有自反性(即$f(a)=f(a),\forall a \in A$)、对称性(即由$f(a)=f(b)$可推出$f(b)=f(a)$)和传递性(即由$f(a)=f(b)$和$f(b)=f(c)$可推出$f(a)=f(c)$)，从而它是等价关系.

$6$.证明等价关系的三个条件是互相独立的，也就是说，已知任意两个条件不能推出第三个条件.

证：例如，实数集$\bf R$中的关系$\leq$满足自反性和传递性，但不满足对称性.

实数集中关系$\sim$满足自反性的对称性，但不满足传递性，其中$a\sim b\Leftrightarrow \mid a-b\mid \leq 1$.

在非负整数集$\bf N_0$中定义关系$\sim$，其中$a\sim b\Leftrightarrow a$与$b$均为正数且有相同的奇偶性.则易见$\sim$满足对称性和传递性但不满足自反性：因为没有$0\sim 0$.

注:设关系$\sim$满足：对任一元$a$，均有元$b$使得$a\sim b$.则由$\sim$的对称性和传递性可推出$\sim$具有自反性.

$7$.设$A,B$是两个有限集合.

$(1)A$到$B$的不同映射共有多少个？

$(2)A$上不同的二元运算共有多少个？

$(3)A$到$B$的单射共有多少个？

解：$(1)$设$\mid A\mid =n$，$\mid B\mid =m$，则$A$到$B$有$m^n$个不同的映射.

$(2)$设$\mid A\mid =n$，则$\mid A\times A\mid =n^2$.故由$(1)$知$A\times A$到$A$有$n^{n^{2}}$个不同的映射.即$A$上有$n^{n^{2}}$个不同的二元运算.

$(3)$设$\mid A\mid =n$，$\mid B\mid =m$.若$n>m$，显然$A$到$B$没有单射；若$n\leq m$，则$A$到$B$有$\dfrac{m!}{(m-n)!}$个单射.