前言

人们很早就感到有必要把代数、线性代数和几何放到一个统一的教程中.而教科书《代数学引论》($M.$科学，1977)自出版后的$22$年来可以看作是这种统一处理的初步尝试.代数是数学中一个充满活力的分支，具有强烈的吸引力，它基于为数不多的几个清晰而直观的原理.代数概念的意义可能有数论或几何的特征，常常根植于数学计算和解方程.从这种历史观点产生的原则和要求是通用的，它已经贯彻到现代大学的代数教程中.全部困难在于，如何使这些众所周知的想法或多或少地实现.对传统作法的改进——有时在统一线性代数和多维解析几何教材方面，有时在将初等数论分散插入代数教材方面，都在《代数学引论》中有所反映.本书的写作基于前面提到过的同名教科书，但进行了大力度的扩充，并为读者方便起见分为三部分.不言而喻，这些部分合在一起显然囊括了前述教程稳定的核心内容，那是所有此类教科书都应该满足的最低要求.另一方面，书中材料的安排对应于最近十年来莫斯科大学数学力学系学生代数教学的顺序：第一学期——“代数基础”；第二学期——“线性代数与几何”；第三学期——“代数的基本结构”(这里的代数属初等水平，但充分包含了当代每个数学家所需的代数系统).为方便起见，今后引用这些书时利用相应的缩写$[BAI]$，$[BAII]$，$[BAIII]$.材料编排的顺序依照如下原则：不仅力求思路合理，还按照贺拉斯聪明的忠告：“今天只说今天该说的，其余的到适当时候再说.”换言之，我们的风格是集中表述内容，不计较多次返回同样的议题或同一个例子.于是，当群、环、域、同构的概念出现在$[BAI]$时是作为例子进行讨论的，然后集中在$[BAII]$，对这些概念更本质的研究在$[BAIII]$中进行，抽象的向量空间及其线性算子在$[BAII]$研究，尽管在本书的最前面几章已经伴随着线性方程组出现过类似的具体概念.当然，只有读者有权判断这种途径是否有利于对事物的理解，伟大的数学家庞加莱在他的著名论文《科学与方法》(第$2$章，数学的定义与教学)中就是这样说的.根据作者的经验，实际的课程(每一学期每周三小时，第二学期每周四小时，第三学期每周两小时)，显然不可能涵盖教科书的全部材料，这样做也是不应该的.按照作者的构想，课程寄希望于主讲人的自由发挥(当然是在教科书的明确框架之内).作者希望读者把这本书看作一本参考书或是大学生的补充读物.现代数学的丰富多彩不可能削足适履地安排进任何一体“代数学引论”中，但教科书应当成为创造性思维的推动力.刻意安排的围绕某一基本问题的大量习题促进了这一点的实现.此外，每一部分都分为若干章节，列举出某些未解决的或难解决的问题并有必要的说明(都是根据作者个人的想法)，它们直接与课程的内容衔接，且几乎接近于解决.这些问题未必能引起普遍的兴趣，但是如果能在一些人心中点燃探索数学真理的火花，那就太美好了.

谈谈$[BAI]$.可以认为这本书是小型的代数.群、环、域等基本概念对于大多数大学生来说都是新的，它们的引入尽量采用非正式和最少量的方式，尽管由此得到的诱导概念的总量是相当大的.为方便起见，我们抽出若干最常用的代数系统，如群$(\bf Z,+)$，$S_n$，$A_n$，$GL_n$，$SL_n$，多项式环，域$\bf Q,R,C$和$\bf Z_p$.代数语言以它们为背景展示出来.按照传统并顾及到从中学到大学之间的过渡，首先讲解了矩阵和行列式，并用它们讨论了线性方程组的解.基本的代数结构就在这时自然产生了.更为详尽的研究放在$[BAIII]$中，而我们现在的任务是积累生动的例子.

应该特别注意在补充文献中所列出的沙法列维奇的书$[4]$，从中可以看到在代数乃至整数数学中新的、高水平的非传统观念的发展.

感谢《代数学引论》原版教科书的全体读者，感谢英文、保加利亚文、西班牙文、波兰文、法文、中文的译者和评注才，感谢莫斯科大学高等代数教研室的成员们，在那里，本书仍然在经受着年复一年的检验.

我非常高兴地对柯斯特利金娜、伊莲娜和奥斯特利克在本书成稿时提供的无法估量的帮助表示深切的感谢.

А.И.柯斯特利金