偏序集合

集合$S$上的一个关系，记作$\leq$，叫做一个偏序，如果$\leq$满足

$1)$ 反身性 $a\leq a$对所有$a\in S$；

$2)$ 反对称性 若$a\leq b$且$b\leq a$，则$a=b$；

$3)$ 传递性 若$a\leq b$且$b\leq c$，则$a\leq c$.

一个具有偏序的集合叫做偏序集合，如果集合$S$上一个偏序$\leq$对于任意$a,b\in S$恒有$a\leq b$或$b\leq a$，则$\leq $叫做一个全序.偏序集合的元素$a,b$叫做可比较的，如果$a\leq b$和$b\leq a$有一成立.如果一个偏序集合$S$的一个子集$A$的任一对元素都可比较的，则$A$叫做$S$的一个链.

例$1$ 设$X$为一集合.$X$的幂集$P(X)$按$X$的包含关系构成一个偏序集合，$P(X)$为一个链当且仅当$X$为空集或只含一个元素.

所谓幂集（Power Set）， 就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族。

例$2$ 自然数系$\bf N$按小于等于号$\leq $是一个全序集合.

例$3$ 自然数系$\bf N$的整除关系$a\mid b$记成$a\leq b$，就是一个偏序.

设$S$为一个偏序集合.元素$a\in S$叫做$S$的一个极小元素，如果$S$没有元素$x$使得$x < a$(即$x\leq a,x\neq a$)，或者说从$x\leq a$推出$x=a$.依此，元素$a\in S$叫做$S$的一个极大元素，如果不存在$x\in S$使得$a < x$，或者说如果从$a\leq x$可推出$a=x$.若$S$有极大(小)元素$a$，并不要求$a$与$S$的所有元素可以比较.

例$4$ 令$N_1 =N-\lbrace 0,1 \rbrace$，$N_1$按整除关系是一偏序集合，此时每个素数是$N_1$的极小元素，$N_1$没有极大元素.

设$A$为偏序集合$S$的一个子集，元素$a\in S$叫做$A$的一个下界，如果对所有的$x\in A$都有$a\leq x$.类似，元素$a\in S$叫做$A$的一个上界，如果对所有$x\in A$都有$x\leq a$.$A$可以没有下界或有多个下界.若$A$有下界，也不要求它属于$A$，对上界也如此.在例$2$中令$A=\lbrace 2k\mid k\in \bf N\rbrace$，$A$没有上界但有下界$0$且$0\in A$.在例$3$中令$B=\lbrace 2k+1\mid k\in \bf N\rbrace$，$B$有一上界$0$，但$0\notin B$.

设$S$为一个偏序集合，$A$为一个子集，如果$A$有一个下界$a$而且$a\in S$，则$a$叫做$A$的一个最小元素.类似地，如果$A$有一个上界$a$而且$a\in A$，则$a$叫做$A$的一个最大元素.$A$可以没有最小(大)元素，如果$A$有最小(大)元素，则它是唯一的.

在例$1$中空集是$P(X)$的最小元素，$X$是$P(X)$的最大元素.在例$2$中$0$是$\bf N$的最小元素，$\bf N$没有最大元素.在例$3$中，$1$是$\bf N$的最小元素.$0$是$\bf N$的最大元素.