《代数学引论(第一卷)基础代数》第3章行列式 4 行列式的公理化构造

文章目錄

1. 第一公理化构造
2. 第二公理化构造
3. 完全归纳构造法
4. 通过乘法性质的刻画
5. 习题

$\S 1$的定理$2$和定理$3$本质上给出了函数$\det $的公理化描述，尽管我们纯粹从行列式的结构问题入手.我们在本节中再指出通往行列式理论的若干途径，但每次仅局限于勾勒论证要点（把它们补充完全将是很好的练习）.

第一公理化构造

将行列式看作满足于下述三条性质的任意函数$\mathcal{D} \colon M_n (\mathbb{R} )\to \mathbb{R} $：

$1.1)\;\mathcal{D} (A)$关于矩阵$A$的行是斜对称的；

$1.2)\;\mathcal{D} (A)$关于矩阵$A$的行是斜对称的；

$1.3)\;\mathcal{D} (E)=1$.

我们看到，函数$\mathcal{D}$是由性质$1.1)-1.3)$唯一确定的，并且符合$\S 1$中由完全展开式$(3)$给出的函数$\det $.唯一需要关心的是，给出公式$\mathcal{D} (\sideset{^t}{}A )=\mathcal{D} (A)$的独立证明.如果愿意，$\S 1$的公式$(3)$本身同样需要推导.

第二公理化构造

将行列式看作满足下述三条性质的任意函数$\mathcal{D} \colon M_n (\mathbb{R} ) \to \mathbb{R} $：

$2.1)\;$$\mathcal{D} (\cdots ,\lambda A_{(i)} ,\cdots )=\lambda \mathcal{D} (\cdots ,A_{(i)} ,\cdots )$，即如果矩阵$A$的某行$A_{(i)}$乘以$\lambda $，则其行列式为$\mathcal{D} (A)$乘以$\lambda $；

$2.2)\;$$\mathcal{D} (\cdots ,A_{(i)} ,\cdots ,A_{(j)} ,\cdots )=\mathcal{D} (\cdots ,A_{(i)} +A_{(j)} ,\cdots ,A_{(j)} ,\cdots )$；

$2.3)\;\mathcal{D} (E)=1$.

依次验证：

$(a)$数值$\mathcal{D} (A)$在矩阵$A$的（Ⅱ）型初等行变换下不变；

$(b)\;\mathcal{D} (A)$是关于矩阵$A$的行的多重线性函数；

$(c)$当矩阵$A$有两行相等时，$\mathcal{D} (A)=0$，从而$\mathcal{D} (A)$是关于行的斜对称函数.

我们显然回到了第一公理化构造.正规化性质$\mathcal{D} (E)=1$在两种情况下都是不可或缺的.

完全归纳构造法

将$1$阶矩阵$(a_{11} )$的行列式定义为$a_{11} $.$2$阶和$3$阶矩阵的行列式分别由第$1$章$\S 4$的公式$(2)$和公式$(8)$定义.设阶数为$1,2,\cdots ,n-1$的矩阵的行列式已定义.$n$阶矩阵$A=(a_{ij} )$的行列式定义为

$$\mathcal{D} (A)=a_{11} M_{11} -a_{21} M_{21} +\cdots +(-1)^{n-1} a_{n1} M_{n1} ,$$

其中$M_{ij}$是矩阵$A$中对应于元素$a_{ij}$的“子式”，它是$(n-1)$阶矩阵$\bar{A}$的行列式$\mathcal{D} (\bar{A} )$，而$\bar{A}$是去掉矩阵$A$中的第$i$行和第$j$列得到的.这样，我们的定义性质实质上取了行列式按照第$1$列元素的展开式（$\S 2$定理$1$的特殊情况）.

我们需要对$n$作归纳，确立函数$\mathcal{D}$的性质$1.1)-1.3)$对于$n$阶矩阵成立，不要忘记这些性质对于$(n-1)$阶行列式$M_{ij}$是成立的.本段可归结为正确运用数学归纳法的技能，它的实现不很复杂.细节可参见教科书《代数学引论》（$1977$年）.

通过乘法性质的刻画

设我们有满足下述性质的函数$\mathcal{D} \colon M_n (\mathbb{R} ) \to \mathbb{R} $

$i)$任取矩阵$A,B\in M_n (\mathbb{R} ),\mathcal{D} (AB)=\mathcal{D} (A)\cdot \mathcal{D} (B)$；

$ii)$任取初等矩阵$F_{s,t}$（见第$2$章$\S 3$第$6$段），$\mathcal{D} (F_{s,t} )=-1$；

$iii)$任取如

$$A=\begin{pmatrix} \lambda & & & \ast \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{pmatrix} ,\lambda \in \mathbb{R} $$

的上三角矩阵，$\mathcal{D} (A)=\lambda $.特别地，$\mathcal{D} (F_1 (\lambda ))=\lambda $.

可以断言，$\mathcal{D} =\det $.事实上，将性质$i)$和$ii)$应用于初等矩阵

$$F_s (\lambda )=F_{1,s} \cdot F_1 (\lambda )\cdot F_{1,s} ,$$

我们得到

$$\mathcal{D} (F_s (\lambda ))=(-1)\cdot \lambda \cdot (-1)=\lambda ,$$

并且根据矩阵$F_s (\lambda )$的定义，此式对任意$\lambda \in \mathbb{R}$成立，不仅对$\lambda \neq 0$.进而从

$$\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} =F_{r+1} (0)\cdots F_n (0) $$

我们有

$$\mathcal{D} \begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{cases} 0, & 若r < n, \\ 1, & 若r=n. \end{cases} $$

根据$iii)$，对任意初等矩阵$F_{s,t} (\lambda ),s < t,\mathcal{D} (F_{s,t} (\lambda ))=1$.因为

$$F_{s,t} F_{s,t} (\lambda )F_{s,t} =F_{t,s} (\lambda ) $$

故$\mathcal{D} (F_{t,s} (\lambda ))=1$，因此任取下标$s\neq t$，

$$\mathcal{D} (F_{s,t} (\lambda ))=1.$$

于是，

$$\mathcal{D} (F_{s,t} )=-1=\det F_{s,t} ,\quad \mathcal{D} (F_{s,t} (\lambda ))=1=\det F_{s,t} (\lambda ),$$

$$\mathcal{D} (F_s (\lambda ))=\lambda =\det F_s (\lambda ).$$

因为任意矩阵$A\in M_n (\mathbb{R} )$可以写成

$$A=P\begin{pmatrix} E_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q,\quad r\leq n,$$

的形式，其中$P$和$Q$是初等矩阵的乘积（见第$2$章$\S 3$定理$6$前的论证），性质$i)$使我们断定$\mathcal{D} (A)=\det A$.

习题

$1$.（布朗金，波兰）.设$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} $是满足条件$f(0)=0$的任意函数.证明存在满足下述性质的唯一函数$\mathcal{D} \colon M_n (\mathbb{R} )\to \mathbb{R} $：

$i)$如果$A$有一列为零，则$\mathcal{D} (A)=0$；

$ii)$如果$A’$从$A$经（Ⅱ）型初等列变换得到，则$\mathcal{D} (A’)=\mathcal{D} (A)$.

$iii)$如果$A=\text{diag} (\lambda ,1,1,\cdots ,1)$是对角矩阵，则$\mathcal{D} (A)=f(\lambda )$.

当$f(\lambda )=\lambda $时，我们有$\mathcal{D} =\det $，但$f$取法的任意性在某些实际问题中是有用的.

证明：先证存在性：对于任意的$A\in M_n (\mathbb{R} )$，不难证明，存在有限个初等矩阵$P_1 ,\cdots ,P_t $，使$AP_1 P_2 \cdots P_t =C$，其中

$$C=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ 0 & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c_{nn} \end{pmatrix} $$

并且$P_1 ,P_2 ,\cdots ,P_t $是（Ⅱ）型的初等矩阵.

首先证明若函数$\mathcal{D}$存在，则唯一.设$\mathcal{D}_1 ,\mathcal{D}_2 \colon M_{n} (\mathbb{R} )\to \mathbb{R}$是满足上述性质的函数，若$A$不满秩，则根据性质$i)$有，$\mathcal{D}_1 (A)=0=\mathcal{D}_2 (A)$；若$A$满秩，则$A$可以经过经（Ⅱ）型初等列变换化为单位矩阵$E$，根据性质$ii)$，有$\mathcal{D}_1 (E)=\mathcal{D}_1 (A)$，$\mathcal{D}_2 (E)=\mathcal{D}_2 (A)$.根据性质$iii)$，当$f(\lambda )=\lambda $时，有$\mathcal{D}_1 (E)=1=\mathcal{D}_2 (E)$，于是有$\mathcal{D}_1 (A)=\mathcal{D}_2 (A)$，即$\mathcal{D}_1 $和$\mathcal{D}_2 $在$M_n (\mathbb{R} )$上取值相等，于是$\mathcal{D}_1 =\mathcal{D}_2 $.因此若函数$\mathcal{D}$存在，则唯一.

再证行列式函数的存在性.定义函数$\mathcal{D}$如下：设$A=(a_{11} )\in M_1 (\mathbb{R} )$，定义$\mathcal{D} (A)=a_{11} $；设在集合$M_{n-1} (\mathbb{R} )$内函数$\mathcal{D} (A)$已定义，那么，对

$$A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \in M_n (\mathbb{R} ),$$

定义$\mathcal{D} (A)=a_{11} M_{11} -a_{12} M_{12} +\cdots +(-1)^{n+1} a_{1n} M_{1n} =\sum_{i=1}^n a_{1i} A \displaystyle {1 \choose i} $其中$M_{ij} $表示划去$A$的第$i$行和第$j$列后所剩的$n-1$阶方阵的$\mathcal{D} $值，$\displaystyle A{1 \choose i}$为$(-1)^{1+i} M_{1i}$.

用记号$\det A$来代表$\mathcal{D} (A)$，如果$A=(a_{ij} )\in M_n (\mathbb{R} )$，可以写成

$$\mathcal{D} (A)=\det A=\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} .$$

下面要证明上述定义的函数$\mathcal{D} (A)$是行列式函数，从而说明了行列式函数的存在性.

对$n$作归纳，可分别证明$\mathcal{D} (E)=1$；$\mathcal{D} (A)$是列线性函数和$\mathcal{D} (A)$反对称，于是$\mathcal{D} (A)$是行列式函数.

$2$.建议读者提出并论证各自不同的公理化方法来描述函数$\det $.

参考资料：

[1]张雅静，于恩芳.行列式理论的公理定义.太原重型机械学院学报：第十卷第三期,1989年

[2]崔谟珍，段景禹，于霖泉.线性泛函意义下的n阶行列式定义.焦作矿业学院学报：第3期总第28期，1992年

[3]陈昭术.行列式的一种定义.龙岩师专学报（自然科学版）：七卷二期，1989年8月

[4]谌安玮.从函数方程看行列式的定义.湛江师范学院学报（自然科学版）：第17卷第2期，1996年6月

[5]邓必鑫，张衡.行列式公理化定义的另一种形式.长春光学精密机械学院学报：12卷第3期，1989年

[6]姜国贵，周大术.关于Artin行列式公理化定义的两点注记.西南师范大学学报（自然科学版）：第19卷第2期，1994年4月

[7]谭宜家.行列式定义的公理化方法.甘肃教育学院学报（自然科学版）：第16卷第3期，2002年7月

[8]詹从赞，王涛.行列式定义的公理化.华北矿业高等专科学校学报：第1卷第3期，1999年9月