根的存在·以有理数为指数的幂

由实数乘法(及除法)的定义，也如通常一样，可直接导出以正(及负)整数为指数的幂的定义.在转向一般的有理指数幂以前，先叙述一下关于根的存在问题.

我们还记得，在有理数域内，即使是极简单的根指数也并不存在，这事实已被作为扩充有理数域的根据之一，现在再来考查一下，这种缺陷在扩充后的数域中(但不进行更进一步的扩充)得到如何程度的补救.

设$\alpha$是任一实数，$n$是自然数.

众所周知，实数$\xi$称为数$\alpha$的$n$次根，若

$$\xi ^n =\alpha .$$

我们限定$\alpha$是正数，并将求得满足于这关系式的正数$\xi$，就是所谓根的算术值.我们将证明这种$\xi$永远存在，且仅有一个.

关于$\xi$的唯一性这一点，可立刻推得，因为对应于不同的正数，有着不同的幂：即若$0 < \xi < \xi’$，则$\xi ^n < {\xi’}^n$.

若有这样的有理数$r$存在，它的$n$次幂等于$\alpha$，则它就是所求的数$\xi$.因此，以后我们只需讨论这种有理数并不存在的情形就成.

今在一切有理数域内用下列方法构成一个分划$X\mid X’$.取一切负有理数及零，并取合于${x’}^n < \alpha$的正有理数$x$，归入$X$组.取合于${x’}^n > \alpha$的一切正有理数$x’$归入$X’$组.

很易看出这两组都非空集，且$X$内还包含着正数.例如，若取自然数$m$，使合于$\dfrac{1}{m} < \alpha < m$，则当然成立$\dfrac{1}{m^n} < \alpha < m^n$，于是可知数$\dfrac{1}{m}$属于$X$，数$m$属于$X’$.

关于分划的其他条件显然也都满足.

今设$\xi$是由分划$X\mid X’$所确定的数；我们将证明$\xi ^n=\alpha $，即$\xi =\sqrt[n]{\alpha}$.

把$\xi ^n$看成是$n$个等于$\xi$的乘数的连乘积，根据正实数乘积的定义[实数的积的定义]可知，若$x$及$x’$是正有理数，合于

$$0 < x < \xi < x’,$$

则

$$x^n < \xi ^n < {x’}^n,$$

又因显然$x$属于$X$组，$x’$属于$X’$组，所以依照这些组的定义，同时又有

$$x^n < \alpha < {x’}^n.$$

但差$x’-x$可小于任意数$e > 0$([用无限小数来表示实数]，附注)，并且无妨把$x’$当作小于某一预先指定的数$x_0’$.在这种情形，则差

$${x’}^n-x^n=(x’-x)({x’}^{n-1}+x\cdot {x’}^{n-2}+\cdots +x^{n-1}) < e\cdot n{x_0}’^{n-1},$$

即亦可成为任意小[注意，若取$e < \dfrac{e’}{n{x_0}’^{n-1}}$，则数$en{x_0}’^{n-1}$就可小于任意数$e’ > 0$.].由此，依引理$2$，推得数$\xi ^n$与$\alpha$相等.

在证明了根的存在以后，可由通常的途径建立有任意有理指数$r$的幂的概念，并可核验初等代数教本内所讲的通常规则对于这种幂都成立.如：

$$ \alpha ^r \cdot \alpha ^{r’}=\alpha ^{r+r’} ,\alpha ^r :\alpha ^{r’}=\alpha ^{r-r’},$$

$$(\alpha ^r)^{r’}=\alpha ^{r\cdot r’} ,(\alpha \beta)^r=\alpha ^r \cdot \beta ^r,$$

再差生指出，在$\alpha > 1$时，幂$\alpha ^r$随着有理指数$r$的增大而增大.

以任意实数为指数的幂

现在再定义任意(正的)实数$\alpha$的$\beta$次幂，其中$\beta$亦为任意实数.先引进数$\alpha$的幂

$$\alpha ^b \quad 及\quad\alpha ^{b’},$$

其中指数$b$及$b’$为有理数，且满足不等式

$$b < \beta < b’.$$

位于所有的$\alpha ^b$与$\alpha ^{b’}$之间的实数$\gamma$：

$$\alpha ^b < \gamma < \alpha ^{b’} \label{1}\tag{1}$$

称为数$\alpha > 1$[我们可以只限于这种情形来讨论，在$\alpha < 1$时，则设$\alpha ^{\beta}=\left( \dfrac{1}{\alpha}\right) ^{-\beta}$.]的$\beta$次幂(记成$\alpha ^{\beta}$).

很易说明，这种数永远存在着.事实上，集$\lbrace \alpha ^b \rbrace$上有界，例如，任一$\alpha ^{b’}$为其界.因此，若取[数集的界]

$$\gamma =\underset{b < \beta}{\text{sup}}\lbrace \alpha ^b \rbrace .$$

对于这一数将有

$$\alpha ^b \leq \gamma \leq \alpha ^{b’}$$

事实上，在这里等号并不需要，因为我们常可增大$b$或减小$b’$，使不等式$b < \beta < b’$仍能满足的缘故.这样，数$\gamma$的确能满足条件$\eqref{1}$了.

今转而证明由这些条件所确定的数的唯一性.

为此，首先要指出引理$2$[辅助命题]在数$s,s’$及$e$非有理数时仍成立；其证明相同.

其次，建立一个很简单且常用的不等式，人们有时称它为伯努利($\text{Jac. Bernoulli}$)不等式：如果$n$是大于$1$的自然数，又$\gamma >1$，则

$$\gamma ^n > 1+n(\gamma -1).\label{2}\tag{2}$$

实际上，设$\gamma =1+\lambda$，此处$\lambda > 0$，依牛顿二项公式有

$$(1+\lambda )^n =1+n\lambda +\cdots $$

因未写上的各项均为正数，故

$$(1+\lambda )^n > 1+n\lambda ,$$

这就相当于不等式$\eqref{2}$.

今设$\lambda =\alpha ^{\frac{1}{n}} \left( \alpha > 1\right)$，则得不等式

$$\alpha ^{\frac{1}{n}}-1 < \dfrac{\alpha -1}{n} ,\label{3}\tag{3}$$

这就是我们现在就要用到的不等式.

对于任意预先指定的自然数$n$，我们可这样选取数$b$及$b’$，使差$b’-b$小于$\dfrac{1}{n}$；则依不等式$\eqref{3}$，

$$\alpha ^{b’}-\alpha ^b=\alpha ^b(\alpha ^{b’-b}-1) < \alpha ^b(\alpha ^{\frac{1}{n}}-1) < \alpha ^b\dfrac{\alpha -1}{n}.$$

因$b$小于任意的(而且系固定了的)$b_0’$，故若选取

$$n > \dfrac{\alpha b_0’ (\alpha -1)}{\varepsilon},$$

式中$\varepsilon$是任意小正数，便可使

$$\alpha ^{b’}-\alpha ^b < \varepsilon ,$$

在这种情形，依上述引理$2$的推广，在限界$\alpha ^b$与$\alpha ^{b’}$间不通包含两个相异的数$\gamma$，这就证明了$\gamma$的唯一性.

若$\beta$是有理数，则以上所给的定义符合于$\alpha ^{\beta}$的通常的定义.

很易验证，有任意实指数的幂满足一切通常的指数法则.例如，证明指数相加的法则：

$$\alpha ^{\beta} \cdot \alpha ^{\gamma}=\alpha ^{\beta +\gamma}.$$

设$b,b’,c,c’$是任意的有理数，满足

$$b < \beta < b’ ,c < \gamma < c’;$$

则依和的定义[实数的和的定义]，有

$$b+c < \beta +\gamma < b’+c’.$$

而依幂的定义，有

$$\alpha ^b < \alpha ^{\beta} < \alpha ^{b’},\alpha ^c < \alpha ^{\gamma} < \alpha ^{c’},及 \alpha ^{b+c} < \alpha ^{\beta +\gamma} < \alpha ^{b’+c’}.$$

把首两个二重不等式逐项相乘(对于有理指数，所要证的法则是已知的)，则得

$$\alpha ^{b+c} < \alpha ^{\beta} \cdot \alpha ^{\gamma} < \alpha ^{b’+c’},$$

这样，二数$\alpha ^{\beta +\gamma}$及$\alpha ^{\beta} \cdot \alpha ^{\gamma}$是位于限界$\alpha ^{b+c}$与$\alpha ^{b’+c’}$之间，而且容易证明，这两个界是可以任意接近的.由此(依引理$2$的推广)，推得这二数是相等的.

再证明，在$\alpha > 1$时，幂$\alpha ^{\beta}$随着实指数$\beta$的增大而增大.若$\beta < \overline{\beta}$，则在它们中间插入有理数$r$：$\beta < r < \overline{\beta}$，依实指数幂的定义，就有

$$\alpha ^{\beta} < \alpha ^r 及 \alpha ^r < \alpha ^{\overline{\beta}},$$

由此

$$\alpha ^{\beta} < \alpha ^{\overline{\beta}}.$$

对数

应用以任意实数为指数的幂的已给定义，现在便很易确定以异于$1$的正数$\alpha$(例如我们当作$\alpha > 1$)为底的任意正实数$\gamma$的对数的存在.

若有这样的有理数$r$存在，使

$$\alpha ^r =\gamma ,$$

即$r$便是所求的对数.现在我们假定，这样的有理数并不存在.

于是，可以在一切有理数域内，依下列规则作分划$B\mid B’$.取合于$\alpha ^b < \gamma$的有理数$b$归入$B$组，取合于$\alpha ^{b’} > \gamma$的有理数$b’$归入$B’$组.

我们证明，$B$组及$B’$组均非空集.依不等式$\eqref{2}$，有

$$\alpha ^n > 1+n(\alpha -1) > n(\alpha -1) ,$$

并且只需取

$$n > \dfrac{\gamma}{\alpha -1}$$

便能使$\alpha ^n > \gamma$.这样的自然数$n$必属于$B’$组.同时又因

$$\alpha ^{-n}=\dfrac{1}{\alpha ^n} < \dfrac{1}{n(\alpha -1)},$$

故只需取

$$n > \dfrac{1}{\gamma (\alpha -1)},$$

便能使$\alpha ^{-n} < \gamma $，于是$B$内有数$-n$.

对于分划的其他要求这里也都满足.

所构成的分划$B\mid B’$确定一个实数$\beta$，$\beta$就成为同组数间的“界数”.依幂的定义有

$$\alpha ^b < \alpha ^{\beta} < \alpha ^{b’} (b < \beta < b’),$$

因此$\alpha ^{\beta}$是满足一切这类不等式的唯一的数.但对于数$\gamma$(依分划的构成)有

$$\alpha ^b < \gamma < \alpha ^{b’}.$$

故

$$\alpha ^{\beta} =\gamma \quad 而\quad \beta =\log_{\alpha}\gamma ;$$

对数的存在就证明了.

线段的度量

若停留于有理数域之内，便不能提供一切线段以长度，而这也是引入无理数的一个重要的动机.现在我们将指出，在已被拓广的数域中可以解决线段的度量的问题.

首先，叙述这一问题：

今要求对于任一直线段$A$以一个正实数$l(A)$和它对应，即称为线段$A$的长，使得

$1)$ 某一预先指定的线段$E$(长的单位)有长为$1$：$l(E)=1$；

$2)$ 相等的线段有同一的长；

$3)$ 在线段相加时，和的长常等于各相加线段之长的和：

$$l(A+B)=l(A)+l(B)$$

(可加性).

在这些条件的限制之下，问题的解答是唯一的.

由$2)$及$3)$推得，单位线段的$q$等分中的一分应有长$\dfrac{1}{q}$；若这一分又重复地加$p$次，则依$3)$，所得线段应有长$\dfrac{p}{q}$.这样，若线段$A$与单位长是可通约的，又线段$A$及$E$各为公共度量的$p$及$q$倍，则必须

$$l(A)=\dfrac{p}{q}.$$

易见这数并不信赖于所取的公共度量，又易见若依这规则以有理长赋予与单位长可通约的线段，则对于这些线段，度量的问题就完全解决了.

若线段$A$大于线段$B$，设$A=B+C$，此处$C$亦为某一线段，则依$3)$应有

$$l(A)=l(B)+l(C),$$

由$l(C) > 0$得$l(A) > l(B)$.故不等的线段应有不等的长，而且较长的线段有较大的长度.

因任一正理数$\dfrac{p}{q}$必为某一与单位长$E$可通约的线段的长，很清楚地，无一与单位长不可通约的线段能有有理的长度.

今$\Sigma$是一与$E$不可通约的线段.我们可找到无数多的与$E$可通约的线段$S$及$S’$，$S$小于$\Sigma$而$S’$大于$\Sigma$.[由几何学上的阿基米德公理出发易于证明，该公理我们在[阿基米德公理]内已讨论过了.]若把它们的长度记成$s$及$s’$：$l(S)=s,l(S’)=s’$，则所求之长$l\left( \Sigma \right)$应满足不等式

$$s < l\left( \Sigma \right) < s’.$$

自然，与$E$可通约的线段$\Sigma$的长，亦同样满足这不等式.

若把一切有理数分配到$\mathbf{S}$及$\mathbf{S’}$二组，把数$s$(以及一切负数及$0$)归入下组$\mathbf{S}$，把数$s’$归入上组$\mathbf{S’}$，则得有理数域中的分划.因为显然在下组内没有最大数，在上组内没有最小数，故这分划确定一无理数$\sigma$，它是满足诸不等式$s < \sigma < s’$的唯一实数.显然，长度$l\left( \Sigma \right)$必须等于此数.

今假定一切线段，不论与$E$可通约或不可通约，都依照上述规则记下其长度.条件$1) ,2)$显然满足.考察二线段$P,\Sigma$，长度为

$$\rho =l(P),\sigma =l\left( \Sigma \right) ,$$

及其和，线段$T=P+\Sigma$，其长度记成$\tau =l(T)$.取任意正有理数$r,r’,s,s’$，使

$$r < \rho < r’,s < \sigma < s’,$$

作线段$R,R’,S,S’$，各为有上述数字作为长度的线段.线段$R+S$(长为$r+s$)将比$T$短，而线段$R’+S’$(长为$r’+s’$)将比$T$长.因此

$$r+s < \tau < r’+s’.$$

但由[实数的和的定义]，位于形如$r+s$[$r$及$s$是正数的限制当然并不重要]与$r’+s’$的数之间的实数是唯一的，因此$\tau =\rho +\sigma$，这就证明了条件$3)$.

依数学归纳法，“可加性”可以推广到任意有限个加数的情形.

若在轴(有向直线)上(图$1$)选取原点$O$及单位长$OE$，则

这直线上的任一点$X$必对应于某一实数$x$，称为它的横标，若$X$位于自$O$起的正向上，$x$即等于线段$OX$的长，而在相反的情形等于这长的负数.

自然要问其逆是否亦真：任一实数$x$在这时必对应于直线上某一点吗？这问题在几何学上的回答是肯定的.即依靠直线的连续性的公理，它赋予作为点的集合的直线以类似于实数域的连续性的性质.[实数域的连续性]

这样，在一切实数与有向直线(轴)上的点之间就可以成立一一对应的关系.实数可以表示为轴上的点，这轴因此便称为数轴.类似的表示法我们以后将经常地应用着.