实数的和的定义

今转而建立实数的运算的概念.在以后，$\alpha ,\beta ,\gamma$表示实数，可以是有理数，也可以是无理数.

设有二实数$\alpha$及$\beta$.先考察有理数$a,a’$及$b,b’$，它们满足不等式：

$$a < \alpha < a’及b < \beta <b’.\tag{1}$$

如果实数$\gamma$位于一切形如$a+b$的和与一切形如$a’+b’$的和之间：

$$a+b < \gamma < a’+b’\tag{2}$$

则$\gamma$称为数$\alpha$及$\beta$的和，记为$\alpha +\beta$.

首先须证明，对于任何一对实数$\alpha ,\beta$必有这样的数$\gamma$存在.

考察一切可能的和$a+b$所成的数集.这数集是上有界的，例如，任何形如$a’+b’$的和即为其上界.假定

$$\gamma =\text{sup}\lbrace a+b\rbrace .$$

则$a+b \leq \gamma $，而同时，$\gamma \leq a’+b’$.

因为对于任何一组满足于条件$(1)$的有理数$a,b,a’,b’$，不论它们怎样，我们常常可以把$a,b$增大，也可以把$a’,b’$减小，使得条件$(1)$仍能满足，所以在刚才得到的两个含有等号的关系式$a+b \leq \gamma $及$\gamma \leq a’+b’$中，实际上没有一处能成立等式.这样，数$\gamma$便满足于和的定义.

但又发生了问题，由不等式$(2)$所确定的和$\gamma =\alpha +\beta$是否为单值的？为了要证实和的唯一性，依$9$的附注，选取有理数$a,b,a’,b’$，使

$$a’-a < e及b’-b < e,$$

式中$e$为任意小的正有理数.由此，

$$(a’+b’)-(a+b)=(a’-a)+(b’-b) < 2e,$$

即这差亦能使成为任意小.[若取$e < \dfrac{e’}{2}$，则数$2e$便小于任何小的数$e’ > 0$.]所以，依引理$2$，位于形式如$a+b$的和与形式如$a’+b’$的和之间的数仅存在着一个.

最后注意，若数$\alpha$及$\beta$均为有理数，则显然它们的通常的和$\gamma =\alpha +\beta$满足于不等式$(2)$.这样，上述两实数和的一般定义并不与两有理数的和原来定义相矛盾.

加法的性质

很易证实，对于实数下列的性质仍然保持：

Ⅱ$1°$ $\alpha +\beta=\beta +\alpha ;$

Ⅱ$2°$ $(\alpha +\beta )+\gamma=\alpha +(\beta +\gamma );$

Ⅱ$3°$ $\alpha +0=\alpha .$

例如，我们证明最后一个性质.若有理数$a,a’,b,b’$是这样的数，使

$$a < \alpha < a’,b < 0 < b’,$$

则显然

$$a+b < a < \alpha < a’ < a’+b’.$$

这样，$\alpha$是位于形如$a+b$与$a’+b’$的数之间的实数，依定义，在那两种数间又存在着和$\alpha +0$.但这样的数仅有一个，因此$\alpha +0 =\alpha$，这就是需要证明的.

现在证明性质Ⅱ$4°$，对于任一实数$\alpha$，存在着(对称于它的)数$-\alpha$，满足条件$\alpha +(-\alpha )=0$.

在这里，只要就无理数$\alpha$的情形来证就够了.

假定，数$\alpha$被分划$A\mid A’$所确定，我们用下法确定$-\alpha$.我们取一切有理数$-a$归入数$-\alpha$的下组$\overline{A}$，此处$a’$是$A’$组的任何数，取一切数$-a$归入$-\alpha$的上组$\overline{A}’$，此处$a$是$A$组的任何数.不难看出，这样构成的分拆实际上就是一个分划，因此确定出一个实数(在现在的情形是无理数)；把这数记成$-\alpha$.

今证明它满足上述的条件.应用数$-\alpha$的确定法，看出和$\alpha +(-\alpha )$是位于形如$a-a’$与$a’-a$的数中间的唯一实数，此处$a$及$a’$是有理数，且$a < \alpha < a’$.但，显然

$$a-a’ < 0 < a’-a,$$

于是数$0$也位于方才所述的数之间.但具有这种性质的数是唯一的，故有

$$\alpha +(-\alpha )=0.$$

这就是需要证明的.

最后，证明性质：

Ⅱ$3°$ 由$\alpha > \beta $推得$\alpha +\gamma > \beta +\gamma$.

若$\alpha > \beta $，则在它们中间可以插入二有理数$r_1$及$r_2$：$\alpha > r_1 > r_2 > \beta$.依$9$中的附注，必有二有理数$c$及$c’$存在，使

$$c < \gamma < c’ 及 c’-c < r_1 -r_2 .$$

由此

$$r_1 +c > r_2 +c’ ,$$

而依和的定义

$$\alpha +\gamma > r_1 +c,r_2 +c’ > \beta +\gamma .$$

比较这些不等式，我们就得出所需的结论.

这样，就加法来说，实数域具有一切基本性质Ⅱ$1°\sim 5°$，有理数的这些性质在$3$内已早叙述过了.由此可知，从这些性质得出的一切形式逻辑上的推论对于实数也都成立.特别对于实数我们能逐字重述$3$内所叙述的紧跟在第二组性质后面的一切性质，即能证明数$\alpha $及$\beta$的差$\alpha -\beta$的存在及其单值性，并能建立数$\alpha$的绝对值(我们保持记法$\mid \alpha \mid $)的概念，等等.

实数的积的定义

现在转向实数的乘法，先只讲正数的乘法.设已给二正数$\alpha$及$\beta$.我们在此也先考察满足不等式$(1)$的一切可能的有理数，这些数也假定是正数.

位于一切形如$ab$的积与一切形如$a’b’$的积之间的实数$\gamma$

$$ab < \gamma < a’b’,\tag{3}$$

称为$\alpha$及$\beta$的积，记成$\alpha \beta$.

要证明这种数$\gamma$的存在，我们取一切可能的积$ab$所成的集，这集被任何形如$a’b’$的积上有界.若假定

$$\gamma =\text{sup} \lbrace ab\rbrace ,$$

则当然有$ab \leq \gamma $，但同时又有$\gamma \leq a’b’$.

因为我们常可将数$a,b$增大，或是将$a’,b’$减小，使得$(3)$仍能满足(如在和的情形一样)，因此在$ab \leq \gamma $及$\gamma \leq a’b’$中实际上不能成立等式，故数$\gamma$满足积的定义.

由下面的论断可推得积的唯一性.依在$9$[用无限小数来表示实数]内的附注，选取有理数$a,a’$，及$b,b’$，使

$$a’-a < e及 b’-b < e,$$

式中的$e$是任意小的正有理数.这时数$a$及$b$算作是正数，而数$a’$及$b’$各不超过某些预先固定的数$a_0’$及$b_0’$.则差

$$a’b’-ab=a’(b’-b)+b(a’-a) < (a_0’ +b_0’ )\cdot e,$$

即也能为做任意小，[注意，若取$e < \dfrac{e’}{a_0’ +b_0’ }$，则$(a_0’ +b_0’ )e$便可小于任意小的数$e’ > 0$.]依引理$2$，这便足以证实仅有一数$\gamma$可以满足不等式$(3)$.

若正数$\alpha$及$\beta$都是有理数，则它们通常的积$\gamma =\alpha \beta$显然满足不等式$(3)$，即与二实数积的一般定义并无矛盾.

最后，为定义任意(不一定是正的)一对实数的积，我们先作如下约定.

首先约定，不论$\alpha$是怎样的实数，常有

$$\alpha \cdot 0=0\cdot \alpha =0.$$

若二乘数都异于$0$，则根据通常的“符号规则”置：

$\alpha \cdot \beta =\mid \alpha \mid \cdot \mid \beta \mid $，当$\alpha$与$\beta$同号时，

$\alpha \cdot \beta =-(\mid \alpha \mid \cdot \mid \beta \mid ) $，当$\alpha$与$\beta$异号时.

(我们已经知道正数$\mid \alpha \mid$及$\mid \beta \mid $的积指的是什么.)

假若我们希望实数运算能具有有理数运算的一切基本性质，那么这些约定有如我们在$4$[有理数的乘法及除法]内见到过，对于我们在某些意义上是必需的.

乘法的性质

如同在有理数的情形一样，对于任何实数仍保持以下性质：

Ⅲ$1°$ $\alpha \cdot \beta =\beta \cdot \alpha $;

Ⅲ$2°$ $(\alpha \cdot \beta )\gamma =\alpha \cdot (\beta \cdot \gamma )$;

Ⅲ$3°$ $\alpha \cdot 1=\alpha $.

证明第二式作为例子，先从三数$\alpha ,\beta ,\gamma$都是正数的情形开始.设$a,a’,b,b’,c,c’$是任意的有理数，满足不等式

$$0 < a < \alpha < a’,0 < b < \beta < b’,0 < c < \gamma < c’.$$

则依二实数的积的定义，有

$$ab < \alpha \beta < a’b’及bc < \beta \gamma <b’c’.$$

再应用这一定义，又得

$$(ab)c < (\alpha \beta )\gamma < (a’b’)c’ 及 a(bc) < \alpha (\beta \gamma ) < a’(b’c’).$$

因所证的性质Ⅲ$2°$对于有理数是已知的，故实数$(\alpha \beta )\gamma $及$\alpha (\beta \gamma )$都位于同样的界限：

$$(ab)c=a(bc) 与(a’b’)c’=a’(b’c’)之间.$$

但很易证明，因乘数$a$与$a’$，$b$与$b’$，$c$与$c’$间都很接近，因而得出积的差$a’b’c’-abc$可为任意小(在这时，可以应用与$14$[实数的积的定义]内有关二乘数之积的相似的论证).由此，依引理$2$，可知数$(\alpha \beta )\gamma$与$\alpha (\beta \gamma)$相等.

当$\alpha ,\beta ,\gamma$不全为正数时，只需注意到“符号规则”，便可立刻得出结果.又若数$\alpha ,\beta ,\gamma$中至少有一数等于$0$，则两个积都化为$0$.

现在讲性质：

Ⅲ$4°$ 对于任一异于零的实数$\alpha$，必有(倒)数$\dfrac{1}{\alpha }$存在，满足条件：

$$\alpha \cdot \dfrac{1}{\alpha }=1.$$

这里只要证无理数$\alpha$的情形便够了.先设$\alpha > 0$.

若$\alpha $由分划$A\mid A’$所确定，则我们可用下法构成对于数$\dfrac{1}{\alpha }$的分划.我们把一切负的有理数，零，以及一切形如$\dfrac{1}{a’}$的数归入下组$\widetilde{A}$，此处$a’$是$A’$组的任何数；把一切形如$\dfrac{1}{a}$的数放在上组$\widetilde{A}’$内，此处$a$是$A$组内的任何正数.容易说明，这样，实际上我们已得出一个分划，它确定出一正的实数(在现在的情形是无理数)；这数记成$\dfrac{1}{\alpha }$.

让我们证明，它满足所需的条件.由上面所述倒数的构作法以及乘积的定义可知，数$\alpha \cdot \dfrac{1}{\alpha }$是唯一的实数，位于形如$\dfrac{a}{a’}$与$\dfrac{a’}{a}$的二数之间，此处$a$及$a’$是满足不等式$a < \alpha < a’$的正有理数.但数$1$也位于上述两类数之间：

$$\dfrac{a}{a’} < 1 < \dfrac{a’}{a},$$

故它是所求的积.

若$\alpha < 0$，则假定

$$\dfrac{1}{\alpha }=-\dfrac{1}{\mid \alpha \mid};$$

于是依“符号规则”

$$\alpha \cdot \dfrac{1}{\alpha }=\mid \alpha \mid \cdot \dfrac{1}{\mid \alpha \mid}=1.$$

当我们证明了实数域也具有关于乘法的一切基本性质Ⅲ$1°\sim 4°$以后，显然可知，这数域也保持着在$4$[有理数的乘法及除法]内所述的一切性质，即关于数$\alpha$及$\beta$的商$\dfrac{\alpha}{\beta}$(在$\beta \neq 0$时)的存在及唯一性等.

分配性：

Ⅲ$5°$ $(\alpha +\beta )\cdot \gamma =\alpha \cdot \gamma +\beta \cdot \gamma$

对于任何实数亦成立.在正数的情形(如证明Ⅲ$2°$那样)这很易证明.所有其他的情形可以用等式两边均变号的方法，或由一边移项到另一边的方法化为这个特别情形.但是数$\alpha ,\beta ,\gamma ,(\alpha +\beta )$中之一等于零的情形并不在内；对于这种情形，等式的成立是非常明显的.

最后，还有性质：

Ⅲ$6°$ 由$\alpha > \beta$及$\gamma > 0$推得$\alpha \cdot \gamma > \beta \cdot \gamma$.

其核验并无困难.不等式$\alpha > \beta$相当于$\alpha - \beta > 0$；依“符号规则”有$(\alpha -\beta ) \cdot \gamma > 0$.但乘法也有关于差的分配性，故知$\alpha \cdot \gamma -\beta \cdot \gamma > 0$，而由此即得$\alpha \cdot \gamma > \beta \cdot \gamma$.

结论

最后，还要讲一讲阿基米德公理：

Ⅳ$1°$ 对不论怎样的实数$\gamma$,必有大于$\gamma$的自然数$n$存在.

这公理的核验是很容易的：因在确定数$\gamma$的分划$C\mid C’$的上组内必能找到大于它的有理数$c’$，而这公理对于有理数$c’$是成立的.

现在可以说我们已经证明了下述事实：在实数域中，初等数学上关于四则运算及等式与不等式运算的规则，仍旧完全维持不变.

绝对值

因以后的需要，特再附加一些关于绝对值的附注.

首先证明不等式：$\mid \alpha \mid < \beta $(此处当然有$\beta > 0$)相当于二重不等式：$-\beta < \alpha < \beta $.

实际上，由$\mid \alpha \mid < \beta $推得$\alpha < \beta $及$-\alpha < \beta $(即$\alpha > -\beta $)同时成立.反之，若已给定$\alpha < \beta $及$\alpha > -\beta $，则必同时有：$\alpha < \beta $及$-\alpha < \beta $；但在$\alpha $及$-\alpha$中有一为$\mid \alpha \mid $，故$\mid \alpha \mid < \beta $.

仿此，不等式：

$$\mid \alpha \mid \leq \beta 与 -\beta \leq \alpha \leq \beta $$

显然是相当的.

再证明有用的不等式：

$$\mid \alpha +\beta \mid \leq \mid \alpha \mid +\mid \beta \mid .$$

逐项地相加两个显明的不等式：

$$-\mid \alpha \mid \leq \alpha \leq \mid \alpha \mid 及 -\mid \beta \mid \leq \beta \mid \beta \mid ,$$

得

$$-(\mid \alpha \mid + \mid \beta \mid )\leq \alpha +\beta \leq \mid \alpha \mid +\mid \beta \mid ,$$

由此，依据上述的附注，即得所求的不等式.

用数学归纳法可以把它推广到任意个加数的情形：

$$\mid \alpha +\beta +\cdots +\gamma \mid \leq \mid \alpha \mid +\mid \beta \mid + \cdots + \mid \gamma \mid .$$

若在已证明的不等式内，把$\beta $换成$-\beta$，则得

$$\mid \alpha -\beta \mid \leq \mid \alpha \mid +\mid \beta \mid .$$

因$\alpha =(\alpha +\beta )-\beta$，故$\mid \alpha \mid \leq \mid \alpha +\beta \mid +\mid \beta \mid $，或

$$\mid \alpha +\beta \mid \geq \mid \alpha \mid -\mid \beta \mid .$$

同样

$$\mid \alpha -\beta \mid \geq \mid \alpha \mid -\mid \beta \mid .$$

因为同时

$$\mid \beta \mid -\mid \alpha \mid \leq \mid \alpha -\beta \mid .$$

所以显然

$$\mid \mid \alpha \mid -\mid \beta \mid \mid \leq \mid \alpha -\beta \mid .$$

所有这些不等式有极限论内都是很有用的.