在第一章$\S 3$线性方程组初步中介绍的长方矩阵是如此常见，以至于随着时间的推移产生了数学的一个独立的分支——矩阵论.矩阵论是在$19$世纪中叶建立起来的，稍后与线性代数的发展同步，逐渐得到了完善和精确.到目前为止，矩阵论仍然是重要的研究工具，既适合于实际应用，又适合于现代数学的抽象结构.我们将在本章给出矩阵论最简要的结果.

矩阵是向量空间的线性映射的自然伴侣.在线性代数与几何教程中[$\text{BA}$Ⅱ]，我们将赋予这一论断精确的含义.在本章中，空间，向量，线性相关性，方程组的秩等概念将从纯代数的方面展开，以满足我们直接目标的需要.

问题的提出

由于线性方程组，我们研究了含义各不相同的长为$n$的行.它们是$m\times n$矩阵$A=(a_{ij })$的行$(a_{i1 } ,a_{i2 } ,\cdots ,a_{in } )$，$1\leq i \leq m$，以及系数矩阵为$A$的线性方程组的解$(x_1^0 ,x_2^0 ,\cdots ,x_n^0)$.在第$1$章$\S 3$，把一个线性方程组或矩阵化为阶梯形时，除(Ⅰ)型初等变换运用了两种重要的运算：将一行乘以一个常数并加到另一行上.对于齐次线性方程组的解也可以施行这两种运算.事实上，如果$(x’_1 ,x’_2 ,\cdots ,x’_n )$和$(x’’_1 ,x’’_2 ,\cdots ,x’’_n )$是线性方程组

$$a_{i1} x_1 +a_{i2} x_2 +\cdots +a_{in} x_n =0,i=1,2,\cdots ,m$$

的两个解，$\alpha ,\beta$是任意两个实数，则行

$$(\alpha x’_1 +\beta x’’_1 ,\alpha x’_2 +\beta x’’_2 ,\cdots ,\alpha x’_n +\beta x’’_n )$$

也是我们的方程组的解：

$$\begin{align}
& a_{i1} (\alpha x’_1 +\beta x’’_1 ) +a_{i2} (\alpha x’_2 +\beta x’’_2 ) +\cdots +a_{in} (\alpha x’_n +\beta x’’_n ) \\
= & \alpha (a_{i1} x’_1 +a_{i2} x’_2 +\cdots +a_{in} x’_n )+\beta (a_{i1} x’’_1 +a_{i2} x’’_2 +\cdots +a_{in} x’’_n)\\
= & 0
\end{align}$$

另一方面，任意的行，无论它代表什么，都是一般集合$\mathbb{R}^n$中的一个元素，其中$\mathbb{R}^n$是实数集$\mathbb{R}$的$n$次笛卡儿幂.所以我们希望去研究这种一般的对象，然后将其性质自然地运用到矩阵和齐次线性方程组的解上.

基本定义

设$n$是一个固定的自然数.$\mathbb{R}$上长为$n$的行向量空间指集合$\mathbb{R}^n$(其元素称为行向量或简称向量)，连同向量的加法以及纯量(实数)与向量的乘法运算.纯量用小写拉丁字母或希腊字母表示，而向量像矩阵一样用大写拉丁字母表示.事实上，向量$X=(x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n )$可以看成一个$1\times n$矩阵.设$Y=(y_1 ,y_2 ,\cdots ,y_n )$也是一个向量，$\lambda$是纯量.根据定义

$$X+Y=(x_1 +y_1 ,x_2 +y_2 ,\cdots ,x_n +y_n ),$$

$$\lambda X=(\lambda x_1 ,\lambda x_2 ,\cdots ,\lambda x_n ).$$

零向量$(0,0,\cdots ,0)$今后用一般的符号$0$表示.此外$\mathbb{R}^1$显然与$\mathbb{R}$恒同.

读者熟知的实数的运算法则无条件地适用于$\mathbb{R}^n$.尽管列举它们是枯燥的，但给出它们的精确定义，有助于理解抽象的向量空间，我们将在后面的线性代数和几何课程中学习这种向量空间.

$VS_1$：$X+Y=Y+X$对任意向量$X,Y\in \mathbb{R}^n$成立(交换律)；

$VS_2$：$(X+Y)+Z=X+(Y+Z)$对任意三个向量$X,Y,Z\in \mathbb{R}^n$成立(结合律)；

$VS_3$：存在一个特别的(零)向量$0$，使得$X+0=X$对所有的$X\in \mathbb{R}^n$成立；

$VS_4$：每个向量$X\in \mathbb{R}^n$对应一个负向量$-X$，使得$X+(-X)=0$；

$VS_5$：$1X=X$对所有的$X\in \mathbb{R}^n$成立；

$VS_6$：$(\alpha \beta )X=\alpha (\beta X)$对所有的$\alpha ，\beta \in \mathbb{R},X\in \mathbb{R}^n$成立；

$VS_7$：$(\alpha +\beta )X=\alpha X+\beta X$；

$VS_8$：$\alpha (X+Y)=\alpha X+\alpha Y$.

在$VS_3$和$VS_4$中向量$0$及$-X$的唯一性是所列法则的简单推论(如果考虑抽象的向量空间则是公理)，我们不做推导，而将它们看作明显的事实.

术语“向量”(或线性)空间的起源在第一学期的解析几何课程中已有说明，在那里建立了笛卡儿平面的点(向量)与它们的坐标$(x,y)$之间的一一对应.由平行四边形法则给出的向量的加法和用数去乘向量恰好对应于$\mathbb{R}^2$中向量的运算.

除了长为$n$的行向量空间外，也可以考虑高为$n$的列向量组成的向量空间

$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=[x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n ],$$

列向量表示成我们在第$1$章$\S 3$中约定的样子.显然，行空间和列空间之间的区别纯属约定，但我们很快就会看到，给出空间的两种形式是有益处的.一般来说，我们从上下文就可以判断考虑的是行空间还是列空间，所以不引进任何特别的记号来加以区分.

线性组合.线性包

设$X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_k$是向量空间$\mathbb{R}^n$中的向量，$\alpha _1 ,\alpha _2 ,\cdots ,\alpha _k$是纯量.向量$X=\alpha _1 X_1 +\alpha _2 X_2 +\cdots +\alpha _k X_k $叫作向量$X_i$的带有系数$\alpha _i$的线性组合.例如，

$$(2,3,5,5)-3(1,1,1,1)+2(1,0,-1,-1)=(1,0,0,0).$$

其次设$Y=\beta _1 X_1 +\beta _2 X_2 +\cdots +\beta _k X_k$是同样的向量$X_i$带有系数$\beta _i$的线性组合，而$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$.则

$$\begin{align}
\alpha X +\beta Y & =\alpha (\alpha _1 X_1 +\alpha _2 X_2 +\cdots +\alpha _k X_k ) +\beta (\beta _1 X_1 +\beta _2 X_2 +\cdots +\beta _k X_k) \\
& = (\alpha \alpha _1 +\beta \beta _1 )X_1 +(\alpha \alpha _2 +\beta \beta _2 )X_2 +\cdots +(\alpha \alpha _k +\beta \beta _k )X_k
\end{align}$$

也是向量$X_i$的线性组合，其系数为$\alpha \alpha _i +\beta \beta _i$.于是我们看到，由给定向量组$X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_k$的所有线性组合构成的集合$V$具有性质

$$X,Y \in V \Rightarrow \alpha X+\beta Y \in V \label{1}\tag{1}$$

对所有的$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$成立.特别地，零向量永远包含在$V$中.

$V$通常用符号$\langle X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_k \rangle$表示，并称之为向量组$X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_k$的线性包(或简称包).通常称包$\langle X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_k \rangle$是在$X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_k$上张成的，或称由向量$X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_k$上生成的.

可以定义任意子集$S\subset \mathbb{R}^n$的线性包$\langle S \rangle$，$\langle S \rangle$是$S$中的任意有限个向量的任意线性组合构成的集合.显然，如果$V$是$\mathbb{R}^n$中的一个线性包，则$\langle V \rangle =V$：$V$当中向量的任意线性组合仍属于$V$.特别地，$S\subset V \Rightarrow \langle S \rangle \subset V$，也就是说线性包$\langle S \rangle$可以定义成$\mathbb{R}^n$中包有$S$的任意向量的集合的线性包的交：

$$\langle S \rangle =\underset{S\subset V}{\bigcap}V.\label{2}\tag{2}$$

初看起来结论并不明显，需要验证$\eqref{2}$式右边线性包的交集还是一个线性包.事实上如果$X,Y\in \bigcap V$那么对于这个集合中的每一个$V$，$X,Y\in V$.这就意味着$\alpha X+\beta Y \in V$对所有的$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$成立，从而给出了所需的包含关系$\alpha X+\beta Y \in \bigcap V$.与交不同，两个线性包$U$和$V$的并$U\bigcup V$一般来说不是一个线性包，例如在$\mathbb{R}^2$中，$U=\lbrace (\lambda ,0)\mid \lambda \in \mathbb{R}\rbrace$，$V=\lbrace (0,\lambda )\mid \lambda \in \mathbb{R}\rbrace$.

例$1$ 设

$$U_m =\lbrace (\lambda _1 ,\cdots ,\lambda _m ,0,\cdots ,0)\mid \lambda _i \in \mathbb{R}\rbrace \subset \mathbb{R}^n ,$$

$$V_m =\lbrace (0,\cdots ,0,\lambda _{m+1 } ,\cdots ,\lambda _n )\mid \lambda _i \in \mathbb{R} \rbrace \subset \mathbb{R}^n ,$$

$0 < m < n$.直接验证可知$U_m ,V_m$都是线性包，并且$\langle U_m ,V_m \rangle =\mathbb{R}^n$，$U_m \bigcap V_m =\lbrace 0\rbrace $.

例$2$ 在空间$\mathbb{R}^n$中考察单位行向量

$$E_{(1)} =(1,0,\cdots ,0),E_{(2)} =(0,1,\cdots ,0),\cdots ,E_{(n)} =(0,0,\cdots ,1).\label{3}\tag{3}$$

每一个向量$X=(x_1 ,x_2 ,\cdots ,x_n )$可唯一地表示成$X=x_1 E_{(1)} +x_2 E_{(2)} +\cdots +x_n E_{(n)}$.所以

$$\mathbb{R}^n =\langle E_{(1)} ,E_{(2)} ,\cdots ,E_{(n)} \rangle .$$

单位列向量将记作

$$E^{(1)} =[1,0,\cdots ,0],E^{(2)} =[0,1,\cdots ,0],\cdots ,E^{(n)} =[0,0,\cdots ,1].\label{31}\tag{3′}$$

线性相关性

空间$\mathbb{R}^n$的向量组$X_1 ,\cdots ,X_k$称为线性相关的，如果可以找到$k$个不全为零的数$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _k$，使得

$$\alpha _1 X_1 +\alpha _2 X_2 +\cdots +\alpha _k X_k =0\label{4}\tag{4}$$

(右边是零向量).并称线性式$\eqref{4}$为非平凡的.如果$\alpha _1 X_1 +\alpha _2 X_2 +\cdots +\alpha _k X_k =0\Rightarrow \alpha _1 =\alpha _2 =\cdots =\alpha _k =0$，则向量$X_1 ,X_2 ，\cdots ,X_k$叫作线性无关的.

第$3$段例$2$表明，单位向量$E_{(1)} ,E_{(2)} ,\cdots ,E_{(n)} $是线性无关的.一个向量$X\neq 0$显然总是线性无关，因为$(\lambda X=0 ,X\neq 0)\Rightarrow \lambda =0$.其次，$X_1 ,X_2 ，\cdots ,X_k$是线性无关的这一性质与向量的顺序无关，因为$\eqref{4}$式中的项$\alpha _i X_i$可以用任意顺序排列.

定理$1$ 下述论断成立

$i)$如果向量组$\lbrace X_1 ,\cdots ,X_k \rbrace$的某一个部分组是线性相关的，则向量组本身也是线性相关的.

$ii)$线性无关的向量组$\lbrace X_1 ,\cdots ,X_k \rbrace$的任意部分组都是线性无关的.

$iii)$在线性相关的向量$X_1 ,\cdots ,X_k$中间，至少有一个向量是其余向量的线性组合.

$iv)$如果向量$X_1 ,\cdots ,X_k$中间有一个向量是其余向量的线性组合，则向量$X_1 ,\cdots ,X_k$是线性相关的.

$v)$如果向量$X_1 ,\cdots ,X_k$线性无关，而$X_1 ,\cdots ,X_k ,X$线性相关，则$X$是向量$X_1 ,\cdots ,X_k$的线性组合.

$vi)$如果向量$X_1 ,\cdots ,X_k$线性无关，而向量$X_{k+1 }$不能表示成它们的线性组合，则向量组$\lbrace X_1 ,\cdots ,X_k ,X_{k+1 }\rbrace $是线性无关的.

证明 $i)$设前$s$个向量$X_1 ,\cdots ,X_s ,s < k$是线性相关的，即存在不全为零的$\alpha _i$，使得

$$\alpha _1 X_1 +\cdots +\alpha _s X_s =0.$$

令$\alpha _{s+1 } =\cdots =\alpha _k =0$，我们得到一个非平凡关系

$$\alpha _1 X_1 +\cdots +\alpha _s X_s +\alpha _{s+1 } X_{s+1 } +\cdots +\alpha _k X_k=0.$$

论断$ii)$从$i)$立即得出(用反证法).

$iii)$不失一般性，设在关系式$\eqref{4}$中$\alpha _k \neq 0$.则

$$X_k =-\dfrac{\alpha _1 }{\alpha _k }X_1 -\cdots -\dfrac{\alpha _{k-1 } }{\alpha _k }X_k .$$

$iv)$设$X_k =\beta _1 X_1 +\cdots +\beta _{k-1 } X_{k-1 } $.令$\alpha _1 =\beta _1 ,\cdots ,\alpha _{k-1 } =\beta _{k-1 } ,\alpha _k =-1 $，得到关系式$\eqref{4}$，且系数$\alpha _k \neq 0$.

$v)$如果有非平凡的关系式

$$\beta _1 X_1 +\cdots +\beta _k X_k +\beta X=0$$

使得$\beta \neq 0$，则$X$是$X_1 ,\cdots ,X_k$的线性组合.若$\beta =0$，则由$X_1 ,\cdots ,X_k$线性无关的条件，知$\beta _1 =\cdots =\beta _k =0$，与关系式的非平凡性矛盾.

论断$vi)$由$v)$立即得出.$\quad \quad \square$

基.维数

我们现在给出一个重要的

定义 设$V$是$\mathbb{R}^n$中的一个非零线性包.向量组$X_1 ,\cdots ,X_r \in V$称为$V$的基，如果它们是线性无关的，且它们生成的线性包与$V$重合：

$$\langle X_1 ,\cdots ,X_k \rangle =V.$$

从基和向量组的线性包的定义推出，每一个向量$X\in V$都可以唯一地写成$X=\alpha _1 X_1 +\cdots +\alpha _k X_k $的形式.系数$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _k \in \mathbb{R}$叫作$X$相对于基$X_1 ,\cdots ,X_k $的坐标.

正如我们已经看到的，线性无关的单位向量$\eqref{3}$生成$\mathbb{R}^n$.于是，$\lbrace E_{(1) } ,E_{(2) } ,\cdots ,E_{(n) } \rbrace $成为向量空间$\mathbb{R}^n$的基，称之为标准基.但它不是$\mathbb{R}^n$中唯一的基.例如

$$E’_{(1) } =E_{(1) } ,E’_{(2) } =E_{(1) } +E_{(2) } ,E’_{(3) } =E_{(1) } +E_{(2) } +E_{(3) } ,\cdots $$

$$E’_{(n) } =E_{(1) } +E_{(2) } +\cdots +E_{(n) } $$

也是空间$\mathbb{R}^n$的基(仔细验证).另一方面，直到现在尚未明确，是否$\mathbb{R}^n$中的每一个线性包都有一组基，如果有，基向量的个数是否不变.这两个问题的回答都是肯定的.我们的认证基于下述引理.

引理 设$V$是$\mathbb{R}^n$中的一个以$X_1 ,\cdots ,X_r $为基的线性包.而$Y_1 ,Y_2 ,\cdots ,Y_s $是$V$中一个线性无关的向量组.则$s\leq r$.

证明 就像$V$中所有的向量一样，$Y_1 ,Y_2 ,\cdots ,Y_s $是基向量的线性组合.设

$$Y_1 =a_{11 } X_1 +a_{21 } X_2 +\cdots +a_{r1 } X_r ,$$

$$Y_2 =a_{12 } X_1 +a_{22 } X_2 +\cdots +a_{r2 } X_r ,$$

$$\cdots \cdots \cdots \cdots $$

$$Y_s =a_{1s } X_1 +a_{2s } X_2 +\cdots +a_{rs } X_r ,$$

其中$a_{ij } $是纯量(是唯一确定的向量$Y_j$的坐标，但后一点目前对我们并不重要).

用反证法.假设$s > r$.写出$Y_j$的以$x_j$为系数的线性组合：

$$x_1 Y_1 +\cdots +x_s Y_s =(a_{11 } x_1 +a_{12 } x_2 +\cdots +a_{1s } x_s )X_1 +\cdots +(a_{r1 } x_1 +a_{r2 } x_2 +\cdots +a_{rs } x_s )X_r ,$$

并考察含有$r$个方程，$s$个未知数的线性方程组

$$a_{11 } x_1 +a_{12 } x_2 +\cdots +a_{1s } x_s =0,$$

$$\cdots \cdots \cdots \cdots $$

$$a_{r1 } x_1 +a_{r2 } x_2 +\cdots +a_{rs } x_s =0.$$

因为假设$s > r$，根据第$1$章$\S 3$推论$2$，我们的方程组有非零解$(x_1^0 ,\cdots ,x_s^0 )$.我们得到了一个非平凡的线性关系

$$x_1^0 Y_1 +x_2^0 Y_2 +\cdots +x_s^0 Y_s =0,$$

与引理的条件矛盾.这就意味着$s\leq r$.

定理$2$ $\mathbb{R}^n$中的每一个非零线性包$V\subset \mathbb{R}^n$都有一组有限基.线性包$V$的所有的基都含有相同个数的向量.这个个数$r\leq n$，称$r$为线性包$V$的维数，记作$\text{dim}_{\mathbb{R} } V$或简记作$\text{dim} V$.

证明 根据条件，$V$包含有至少一个非零向量$X_1$(行或列).设我们已在$V$中找到了一个线性无关的向量组$\lbrace X_1 ,\cdots ,X_k \rbrace $.如果线性包$\langle X_1 ,\cdots ,X_k \rangle $不等于$V$，那么我们在$V$中选出一个向量$X_{k+1 } \notin \langle X_1 ,\cdots ,X_k \rangle $.换言之，$X_{k+1} $不是$X_1 ,\cdots ,X_k$的线性组合.根据定理$1$，$vi)$，向量组$\lbrace X_1 ,\cdots ,X_k x_{k+1 } \rbrace $是线性无关的.这一扩充线性无关向量组的过程可以无限制地继续下去，但是所有的向量都在$\mathbb{R}^n =\langle E_{(1) } ,E_{(2) } ,\cdots ,E_{(n) } \rangle $中，而引理证明了，$\mathbb{R}^n$中任意的线性无关组最多包含有$n$个向量.因而对于某个自然数$r\leq n$，线性无关组$X_1 ,\cdots ,X_k ,\cdots ,X_r \in V$成为极大的，即任取$V$中的向量$X\neq 0$，向量组$\lbrace X_1 ,\cdots ,X_r ,X\rbrace $是线性相关的.由定理$1,v)$，有$X\in \rangle X_1 ,\cdots ,X_r \rangle $.所以$V=\langle X_1 ,\cdots ,X_r \rangle $，而向量$X_1 ,\cdots ,X_r $构成$V$的一组基.

现在设$Y_1 ,\cdots ,Y_s$也是$V$的一组基.根据引理，我们有不等式$s\leq r$.交换$X_1 ,\cdots ,X_r$与$Y_1 ,\cdots ,Y_s$的位置，再一次由引理得到不等式$r\leq s$.因此$s=r$.定理得证.$\quad \quad \square$

尽管不太必要，我们还是指出，上述所有的讨论既适合于行空间，也适合于列空间.

这样，$\mathbb{R}^n$中的每一个非零线性包$V$都具有一个正整数$r\leq n$，称之为维数$r=\text{dim } V$.特别地$\text{dim} \mathbb{R}^n=n$.向量空间的这一重要参数也可以用其他的方法进行刻画.维数另一种可能的定义基于向量组秩的概念.即如果$\lbrace X_1 ,X_2 ,\cdots \rbrace $是$\mathbb{R}^n$中的一个向量组(可能是无限的)，则如我们所知道的，线性包$\langle x_1 ,\cdots \rangle $的维数不超过$n$.这一维数叫作向量组$\lbrace X_1 ,X_2 ,\cdots \rbrace $的秩：

$$\text{rank} \lbrace X_1 ,X_2 ,\cdots \rbrace =\text{dim} \langle X_1 ,X_2 ,\cdots \rangle .$$

当$V=\lbrace 0\rbrace $时，显然可以认为$\text{dim} V=0$.

习题

$1$.设$U$和$V$是$\mathbb{R}^n$中的两个线性包，线性包$\langle U\cup V\rangle $叫作$U$与$V$的和：

$$U+V=\langle U\cup V\rangle =\lbrace u+v \mid u\in U ,v\in V\rbrace $$

如果$U\cap V=0$，则称$U+V$为直和，记作$U\oplus V$.

设$V=V_1 \oplus V_2 $，且$X=X_1 +X_2 =X’_1 +X’_2 $是向量$X\in V$的两种线性组合，此处$X_1 ,X’_1 \in V_1 $，$X_2 ,X’_2 \in V_2 $，则有$X_1 -X’_1 =X_2 -X’_2 \in V_1 \cap V_2 $，因为$V_1 \cap V_2 =0$，所以$X_1 =X’_1 ,X_2 =X’_2 $.

证明逆命题：如果对于每一个向量$X\in V$，写法$X=X_1 +X_2 $都是唯一的，此处$X_i \in V_i$，则和式$V=V_1 +V_2 $都是直和.更一般地，如果$V_1 ,\cdots ,V_k$是$\mathbb{R}^n$中的线性包，并且对于每一个向量$X\in V$，表法$X=X_1 +\cdots +X_k$都是唯一的，此处$X_i \in V_i$，则称$V=V_1 \oplus \cdots V_k$为直和.

证明：根据写法$X=X_1 +X_2$都是唯一的，此处$X_i \in V_i $，那么可知零向量的分解式也是唯一的.这说明$0=0+0\in V_1 +V_2 $，所以$V_1 \cap V_2 =0$$，根据定义，得和式$V=V_1 +V_2 $是直和.

同理可证$V=V_1 +\cdots +V_k $是直和.

$2$.设$V,V_1$和$V_2$都是$\mathbb{R}^n$中的线性包，并且$V\subset V_1 +V_2$.等式$V=V\cap V_1 +V\cap V_2$永远成立吗？在$V_1 \subset V$的特殊情况下，这一关系式成立吗？

解：由于$V\subset V_1 +V_2 $，因此，$V=V\cap (V_1 +V_2 )$.于是有

$$V=V\cap (V_1 +V_2 ) \supset V\cap V_1 +V\cap V_2 ,$$

并且的确有不相等的例子.例如，在几何空间$V$中，设$V_1 ,V_2 ,V$是过原的三个平面，且它们相交于同一条直线$L$.由于$V,V_1 ,V_2 $相交于同一条直线$L$，因此$V\cap V_1 +V\cap V_2 =L$，而$V\nsupseteq L$.

如果$V_1 \subset V$，那么有$V=V\cap V_1 +V\cap V_2$.理由如下：任取$\alpha \in V$，由于$V\subset V_1 +V_2 $，因此$\alpha \in V_1 +V_2 $.从而有

$$\alpha =\alpha _1 +\alpha _2 ,\alpha _1 \in V_1 ,\alpha _2 \in V_2 .$$

由于$V_1 \subset V$，因此$\alpha _1 \in V$.从而$\alpha _2 =\alpha -\alpha _1 \in V$.于是$\alpha _2 \in V\cap V_2 $.由此得到，$\alpha =\alpha _1 +\alpha _2 \in V\cap V_1 +V\cap V_2 $.因此$V\subset V\cap V_1 +V\cap V_2 $.又由于$V\supset V\cap V_1 +V\cap V_2 $，所以$V=V\cap V_1 +V\cap V_2$.

$3$.设$V$是$\mathbb{R}^n$中的一个线性包.如果$V=U\oplus W$是一个直和分解，则$W$叫作$U$在$V$中的一个补.而$U$叫作$W$在$V$中的一个补.$U$在$V$中的补是唯一确定的吗？试比较$W$与集合论概念下的补集$V\backslash U$(见$\S 5$第$1$段).

解：$U$在$V$中的补不是唯一确定的.例如，在几何空间中，设$\pi $是过原点$O$的一个平面，则任意一条经过$O$点但不在$\pi $上的直线都是$\pi $的补空间.

两个集合$V$与$U$的差集$V\backslash U$指属于$V$但不属于$U$的元素的全体.在这里一般不假设$U\subset V$.如果$U$是$V$的子集，也称$V\backslash U$为$U$在$V$中的补集.

$4$.证明向量$X_1 =(1,2,3),X_2 =(3,2,1)$是线性无关的，考察线性包$V=\langle X_1 ,X_2 \rangle $；证明向量$X=(-5,2,9)$属于$V$，并计算$X$在基$X_1 ,X_2 $下的系数；求$V$在$\mathbb{R}^3$中的任意一个补.

证明：令$\alpha _1 X_1 +\alpha _2 X_2 =0$，则$(\alpha _1 +3\alpha _2 ,2\alpha _1 +2\alpha _2 ,3\alpha _1 +\alpha _2 )=0$，可求得$\alpha _1 =0 $，$\alpha _2 =0$，因此向量$X_1 =(1,2,3),X_2 =(3,2,1)$是线性无关的.

对于线性包$V=\langle X_1 ,X_2 \rangle $来说，设$X=\alpha _1 X_1 +\alpha _2 X_2 $，即$(-5,2,9)=\alpha _1 (1,2,3)+\alpha _2 (3,2,1)$，可解得$\alpha _1 =4$，$\alpha _2 =-3$.可知向量$X=(-5,2,9)$属于$V$，$X$在基$X_1 ,X_2 $下的系数分别是$4,-3$.

由于$X_1 ,X_2 $线性无关，把它扩充成$\mathbb{R}^3$的一个基，取$X_3 =(1,0,-2)$.由于矩阵$A=[X_1 ,X_2 ,X_3 ]$的行列式不为$0$，因此$X_1 ,X_2 ,X_3 $线性无关，从而它是$\mathbb{R}^3$的一个基，于是$\mathbb{R}^3 =\langle X_1 ,X_2 \rangle \oplus \langle X_3 \rangle $.由此得出，$\langle X_3 \rangle $是$V$在$\mathbb{R}^3$的一个补空间.

$5$.证明，$\mathbb{R}^n$中的向量组$X_1 ,\cdots ,X_n$张成$\mathbb{R}^n$，当且仅当它们是线性无关的.

证明：充分性.若$\mathbb{R}^n$中的向量组$X_1 ,\cdots ,X_n$能张成$\mathbb{R}^n$，则根据定义，$\mathbb{R}^n$里的任意$n$维向量可以由向量组$X_1 ,\cdots ,X_n $线性表出，则其单位向量组$\varepsilon _1 ,\cdots ,\varepsilon _n $可由向量组$X_1 ,\cdots ,X_n $线性表出.设$W=\langle \varepsilon _1 ,\cdots ,\varepsilon _n \rangle $，$U=\langle X_1 ,\cdots ,X_n \rangle $.那么可在$W$中取一个基，其应为$\varepsilon _1 ,\cdots ,\varepsilon _n $，在$U$中取一个基$X_1 ,\cdots ,X_s (s\leq n)$.因为$\varepsilon _i \in \langle X_1 ,\cdots ,X_n \rangle i=1,2,\cdots ,n$，从而$W\subset U$.于是单位向量组$\varepsilon _1 ,\cdots ,\varepsilon _n $可以由向量组$X_1 ,\cdots ,X_s $线性表出.又由于$\varepsilon _1 ,\cdots ,\varepsilon _n$线性无关，得$n \leq s$.

另一方面，因为向量组$X_1 ,\cdots ,X_n $是一组$n$维向量，所以它们的秩$s\leq n$.

从而$s=n$，这说明向量组$X_1 ,\cdots ,X_n $是线性无关的.

必要性.若$\mathbb{R}^n$中的向量组$X_1 ,\cdots ,X_n$是线性无关的，在$\mathbb{R}^n$中任取一个向量$\beta $.其中：

$$X_1 =\begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{12} \\ \vdots \\ x_{1n} \end{pmatrix} ,X_2 =\begin{pmatrix} x_{21} \\ x_{22} \\ \vdots \\ x_{2n} \end{pmatrix} ,\cdots ,\beta =\begin{pmatrix} x_{n+1,1} \\ x_{n+1,2} \\ \vdots \\ x_{n+1,n} \end{pmatrix} ,$$

考虑齐次线性方程组$k_1 X_1 +k_2 X_2 +\cdots +k_{n+1} \beta =0$，它的方程个数$n$小于未知量个数$n+1$，因此它有非零解.从而向量组$X_1 ,X_2 ,\cdots ,X_n ,\beta $必线性相关.从而$\mathbb{R}^n$中的任意向量$\beta$都可以由$X_1 ,\cdots ,X_n $线性表出.于是，$\mathbb{R}^n$中的向量组$X_1 ,\cdots ,X_n$张成$\mathbb{R}^n$.

$6$.设$V$是$\mathbb{R}^n$的一个线性包，证明$V$中任意线性无关的向量$X_1 ,\cdots ,X_k$可以扩充成$V$的一组基.

证明：任取$V$的一个线性无关的向量组$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _r $.若$r=n$，则$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _n $是$V$的一个基.下设$r < n$，此时$V$中必有一个向量$\beta _1 $不能由$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _r $线性表出，从而向量组$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _r ,\beta $线性无关.由向量组$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _r ,\beta $线性相关，则向量$\beta _1 $能由$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _r $线性表出的逆否命题得出.若$r+1=n$，则向量组$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _r ,\beta _1 $是$V$的一个基.若$r+1 < n$，则$V$中有一个向量$\beta _2 $不能由$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _r ,\beta _1 $线性表出，从而$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _2 ,\beta _1 ,\beta _2 $线性无关.依次下去，得到线性无关的向量组

$$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _r ,\beta _1 ,\beta _2 ,\cdots ,\beta _s ,$$

其中$r+s=n$，从而把$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _r $扩充成了$V$的一个基.

$7$.设$U$和$V$是$\mathbb{R}^n$中的线性包.证明若$U\cap V=0$，则$\text{dim}(U+V)=\text{dim}(U)+\text{dim}(V)$.

证明：设$U,V,U\cap V$的维数分别是$p,q,m$.取$U\cap V$的一个基$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _m $，把它分别扩充成$U$和$V$的一个基：$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _m ,\beta _1 ,\cdots ,\beta _{p-m} $和$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _m ,\gamma _1 ,\cdots ,\gamma _{q-m} $.于是有

$$\begin{align}
U +V & =\langle \alpha _1 ,\cdots ,\alpha _m ,\beta _1 ,\cdots ,\beta _{p-m} \rangle +\langle \alpha _1 ,\cdots ,\alpha _m ,\gamma _1 ,\cdots ,\gamma _{q-m} \rangle \\
& = \langle \alpha _1 ,\cdots ,\alpha _m ,\beta _1 ,\cdots ,\beta _{p-m} ,\gamma _1 ,\cdots ,\gamma _{q-m} \rangle .
\end{align}$$

因此$U+V$是有限维的.如果能证明

$$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _m ,\beta _1 ,\cdots ,\beta _{p-m} ,\gamma _1 ,\cdots ,\gamma _{q-m} $$

线性无关，那么它就是$U+V$的一个基，由此得出

$$\begin{align}
\text{dim} (U+V)& =m+(p-m)+(q-m) \\
& = p+q-m \\
& = \text{dim} U+\text{dim} V-\text{dim} (U\cap V).
\end{align}$$

假设

$$k_1 \alpha _1 +\cdots +k_m \alpha _m +e_1 \beta _1 +\cdots +e_{p-m} \beta _{p-m} +f_1 \gamma _1 +\cdots +f_{q-m} \gamma _{q-m} =0.$$

则

$$f_1 \gamma _1 +\cdots +f_{q-m} \gamma _{q-m} =-k_1 \alpha _1 -\cdots -k_m \alpha _m -e_1 \beta _1 -\cdots -e_{p-m} \beta _{p-m} .$$

上式的左边属于$V$,右边的向量属于$U$，从而它属于$U\cap V$.因此有

$$f_1 \gamma _1 +\cdots +f_{q-m} \gamma _{q-m} =l_1 \alpha _1 +\cdots +l_m \alpha _m .$$

由上式得出，$f_1 =\cdots =f_{q-m} =l_1 =\cdots =l_m =0$.代入前面假设的式子，可得出

$$k_1 =\cdots =k_m =e_1 =\cdots =e_{p-m} =0.$$

因此$\alpha _1 ,\cdots ,\alpha _m ,\beta _1 ,\cdots ,\beta _{p-m} ,\gamma _1 ,\cdots ,\gamma _{q-m} $线性无关.

因此，得到子空间的维数公式：

$$\text{dim} (U+V)=\text{dim} U +\text{dim} V -\text{dim} (U\cap V).$$

回到原题，由于$U\cap V=0$，则$\text{dim} (U\cap V) =0$，代入维数公式，有

$$\text{dim} (U+V)=\text{dim} U +\text{dim} V .$$

$8$.计算向量组$(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)$的秩.

解：令$k_1 (0,1,1)+k_2 (1,0,1)+k_3 (1,1,0)=0$，则有

$$\begin{cases} \quad k_2 +k_3 =0, \\ k_1 +\quad k_3 =0, \\ k_1 +k_2 \quad =0.\end{cases}$$

解得$k_1 =0,k_2 =0,k_3 =0$.

因此向量组$(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)$线性相关，从而$(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)$是向量组$(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)$的一个极大线性无关组.于是

$$\text{rank} \lbrace (0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)\rbrace =3.$$