《微积分学教程(第一卷)》 第二章 一元函数 1 函数概念
变量及其变动区域
在[整序变量及其极限-变量、整序变量]内，早已给定关于变量的一般概念.数集$\mathcal{X} =\lbrace x\rbrace $给出变量$x$可能取的那些数值（在所考察的问题内）.$\mathcal{X} $内的每一个数值，$x$都有机会能取到，这数集$\mathcal{X} $就称为变量$x$的变动区域.一般地说，任一数集总可以当作变量的变动区域.当然，本目正文对整序变量型的变量不适用.
我们早已讲过，数的几何解释就是（数）轴上的点.变量$x$的变动区域$\mathcal{X} $在这轴上就表示为某一点集.因此，变量的数值常称为点.
我们经常会遇到变量$n$，它以全体自然数$\mathcal{N} $为其变动区域.整序变量$x_n =\dfrac{1+(-1)^n }{n} $的变动区域是数$0$以及全部形如$\dfrac{1}{m} (m=1,2,\cdots )$的分数所成的集.常量的变动区域则只含一个数.
但是在分析上通常研究的是所谓连续地或密接地变动着的变量：它们的原型就是各种物理量——如时间，动点所经过的路程，等等.数的区间就是类似于此的变量的变动区域.最常用的是有限区间，它用两个实数$a$及$b(a < b)$——它的端点——为界限，有些端点可以包含在区间内，也可以不包含在内.因此，我们先来区别
闭区间$[a,b]$：$a\leq x\leq b$（包含两端点）；
半开区间$\begin{cases} (a,b] & : & a < x\leq b \\ [a,b) & : & a\leq x < b \end{cases} $（仅包含一端点）；
开区间$(a,b)$：$a < x < b$（不包含任一端点）.
在每一种情形都称数$b-a$为区间的长.
很易了解，数轴上的线段就是数字区间的几何表示，并且——按照区间的类型——线段有时有端点，有时没有.
有时还得考察无穷区间，这区间，用“广义的数”$-\infty ,+\infty $作为它的一端或两端.它们的记法，与有限区间相类似.例如：$(-\infty ,+\infty )$是全体实数集；$(a,+\infty )$表示满足不等式$x > a$的数$x$所成的集；区间$(-\infty ,b]$由不等式$x\leq b$所决定.无穷区间的几何表示，是两端无限伸展的直线或仅一端趋于无限的射线.
变量间的函数关系，例题
数学分析内主要研究的事物，并非一个变量独自的变动，而是两个或几个变量在同时变动时相互之间的关系.在这里我们只限于研究两个变量的最简单的情形.
在科学及生活的各种领域内——在数学本身.在物理学、工程学中——读者已不止一次地遇到这种同时变动的变量.它们不能同时取一对做任意的数值（由各自的变动区域内取出的）：相反的，当其中之一（自变量）已给定具体的数值时，则另一变量（因变量或函数）的数值也就确定了.先举几个例题.
$1)$圆的面积$Q$是它的半径$R$的函数：它的数值可以根据给定的半径数值用已知公式：
$$Q=\pi R^2 $$
计算出来.
$2)$在重量颇大的质点自由降落——不计其阻力——的情形，由运动开始时算起的时间$t$（秒）与在这时间内经过的路程$s$（米）依靠方程
$$s=\dfrac{gt^2}{2} $$
联结着，式中$g=9.81$米$/$秒$^2$是重力加速度.由此也确定着对应于所取时间$t$的路程$s$的数值：路程$s$就成为经过的时间$t$的函数.
$3)$考察一质量的（理想）气体，这气体贮藏在气缸的活塞下面.假定温度保持不变，这气体的体积$V$（立升）及压力$p$（大气压力）就服从波义耳-马瑞特定律：$pV=c=$常数.若任意改变$V$，则$p$当作$V$的函数，就可根据公式
$$p=\dfrac{c}{V} $$
单值地被确定.
$4)$最后，再建立空气的压力$p$（大气压力）与高出海面的位置$h$（米）的关系.在物理学上导出气压公式
$$p=p_0 e^{-kh} ,$$
式中$p_0 $是在海平面上的压力，$k$是某一常数.根据这一公式，$p$就可当作$h$的函数，仅需给定$h$的数值，$p$的数值就确定了.
又需注意到.在两个被考察的数字内选取自变量，有时是任意的，有时则由考虑问题的简单方便而定.在大多数的场合它被进行研究的目的性所指导着.
例如，若在最后的例题内，压力$p$与高度$h$的关系是用来使飞机师能借观察压力而判断已达到的高度，则变量所担任的角色自然需要更换，气压公式就表示为
$$h=\dfrac{1}{k} \ln \dfrac{p_0 }{p} $$
的形式.
函数概念的定义
现在，像通常一样，抽去所考察的数量的物理意义，我们来确定函数概念——数学分析的基本概念之一——的准确而普遍的定义.
设给定两变量$x$及$y$，其变动区域为$\mathcal{X} $及$\mathcal{Y} $.假定根据问题的条件，变量$x$可以不受任何限制地取区域$\mathcal{X} $内的任意数值.那么，如果依某一法则或规律，对于$\mathcal{X} $中的每一$x$值总有一个确定的数值$y$（在$\mathcal{Y} $内）和它对应，则变量$y$就称为变量$x$（在它的变动区域$\mathcal{Y} $内）的函数.
自变量$x$亦称为函数的变元.
在这定义内存在着两个要素：第一，指出变元$x$的变动区域$\mathcal{X} $（它称为函数的定义域）.第二，确定$x$与$y$的数值之间的对应法则或规律（函数$y$的变动区域$\mathcal{Y} $通常并不指出，因为对应的规律本身就已经确定函数值的集合了.）
我们还要指出与前述函数定义等价的一个通行的函数定义.对集$\mathcal{X} $的每一个元素，有且仅有集$\mathcal{Y} $中的一个元素和它对应的任何一个规则，称为在集$\mathcal{X} $上定义在集$\mathcal{Y} $内取值的函数.这与正文中所述定义的区别仅仅是术语上的.后一定义在现今更为通行.
函数概念的定义也可以建立在更普遍的观点上，就是假设对应于$\mathcal{X} $内的$x$的每一数值，$y$的数值不止一个，而是几个（甚至是无穷多个）.在这种场合函数称为多值的，以区别于前面所定义的单值函数.然而，在分析教程内，站在实变数的观点上，大都避免讨论多值函数，以后说到函数，若没有特别的声明，我们就理解为单值函数.
要指出$y$是$x$的函数这件事实：就写成
$$y=f(x),y=\varphi (x),y=F(x)等等.$$
这记法读成：“$y$等于$fx$”，“$y$等于$\varphi x$”等等.
字母$f,\varphi ,F,\cdots $就表示那种法则，根据它就可以由给定的$x$值得出对应的$y$值.因此，若同时考察同一变元$x$的几个不同的函数，各具不同的对应规律，那么它们就不能用同一字母来表示.
虽然只有字母“$f$”（小写及大写）是原来与“函数”这字有关的，但函数关系自然也可以改用旁的字母来记；有时，甚至就重复用着字母$y$，记成$y=y(x)$.
通常为了表示函数，除了记法$y=f(x)$之外，还使用记号$f\colon \mathcal{X} \to \mathcal{Y} $，其中$\mathcal{X} $是所考虑函数的定义域，而$\mathcal{Y} $是函数的变动区域；例如，记号$x\colon \mathcal{N} \to \mathcal{R} $表示$x$是整序变量.应当把函数$f$的变动区域$\mathcal{Y} $与函数的值的集合区分开来.后者是$\mathcal{Y} $中实际上与自变量某个值$x$对应的那个数$y$[具有$y=f(x)$的形式].例如，$f$是恒等于常数零的一个函数，那么它的值的集合由唯一的零组成（即是一个单元素集），其变动区域则可以随心所欲地认为是任意一个含有零的集合.
在有些场合把变元写成函数的附标的形状，例如，$y_x$.我们所熟悉的整序变量$x_n$的记法就是这种类型，它是（我们现在可以说）自变量$n$的函数，$n$是依自然数列$\mathcal{N} =\lbrace n\rbrace $而递变的.类似地$N_{\varepsilon }$的记法（在整序变量的极限定义内，[整序变量及其极限-整序变量的极限]）表示序号$N$依赖着$\varepsilon $，等等.
若在考察函数$y=f(x)$时我们希望指出，对应于某一$x$的特别数值$x_0 $的函数的特别数值，就使用记号$f(x_0 )$，例如，若
$$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2} ,g(t)=\dfrac{10}{t} ,h(u)=\sqrt{1-u^2} ,\cdots $$
则$f(1)$表示$f(x)$在$x=1$时的函数值，即化简后的数$\dfrac12 $，仿此，$g(5)=2,h(\dfrac35 )=\dfrac45 $等等.
今转而讨论变量的数值之间的对应法则或规律，它是函数关系这概念的要素.这法则可以有各种各样的表现方式，如果对它不加丝毫限制的话.
最简单也最自然的是把这法则表示为解析式或公式的形状，它指示出，对$x$的数值及一些常数必须进行哪些演算，才可以得出$y$的对应数值.这种函数的解析表示法是数学分析中最重要的方法（我们在下一目内还要讨论它）.读者最好在中学的数学教程内去熟习它.最后，我们在[变量间的函数关系]的例题内应用的也是解析方法.
然而，假如以为这是表示函数的唯一方法，那是错误的.就在数学内也有不少场合是不用公式来定义函数的.例如，有这样的函数$E(x)$——“数$x$的整数部分”.很易了解
$$E(1)=1,E(2.5)=2,E(\sqrt{13} )=3,E(-\pi )=-4等等,$$
可是表示$E(x)$的公式却并不曾有.
同样还有很多的“算术函数”，即变元是自然数而函数值也是自然数的函数，例如，“数$n$的阶乘”：
$$n!=1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n.$$
以及表示$n$的除数个数的函数$\tau (n)$，或表示在$1,2,\cdots ,n$内所有与$n$互素的数字个数的函数$\varphi (n)$.不管给定这些函数的法则有什么独特的性质，我们还是可以由此算出确定的函数值.好像用公式算出来的一样.例如
$$\tau (10)=4,\tau (12)=6,\tau (16)=5,\cdots $$
$$\varphi (10)=4,\varphi (12)=4,\varphi (16)=8,\cdots $$
在自然科学及工程学内，变量之间的关系经常由实验或观察而得.例如，使水受任意选定的压力$p$（大气压力），则由实验可以确定与它对应着的沸点的温度$\theta (\,^{\circ} \mathrm{C} )$：$\theta $是$p$的函数.然而这一函数关系，并非由任何公式来表示，而只是由实验所得的数据的简单对应来表示.用列表法给定函数的实例在任何工程手册上都很容易找到.
最后，再要讲到，在某种场合——用自动记录器——物理量之间的函数关系直接用图像表示着.例如，用指示器画成的“指示图表”给出正在工作着的蒸汽机的汽缸内的汽压$p$与体积$V$之间的关系；由气压指示器所获得的“气压图”表示大气压力在一昼夜内的变化过程，等等.
关于确定函数关系的列表法或图示法，我们不再详细讲它，因为在数学分析内并不是必须应用它们的.
函数的解析表示法
函数的解析式或公式的表示法在数学分析内担任着极端重要的角色，我们将作出一系列的附注来说明它们.
$1^{\circ} $首先.在这些公式内可以进行怎样的演算？第一步，在这里自然可以有初等代数及三角学内研究过的一切演算：算术运算，乘幂（开方），取对数，由角度求三角函数值及其反运算[参阅下面].但是，须着重指出，由于我们在分析知识上的发展，还需要再加入其他的演算.而首要的就是极限步骤，读者在第一章内已熟悉它了.
这样，术语“解析式”或“公式”的完全的内容只能逐步地去揭露它了.
$2^{\circ }$其次，须注意借解析式或公式所表示的函数的定义域.
每一个包含变元$x$的解析式具有所谓自然的适用区域：就是使这解析式子有意义的一切$x$所成的集合.我们说解析式子有意义，即是指它有着完全确定的有限实数值的意思.用最简单的例题说明这事.
例如，表达式$\dfrac{1}{1+x^2} $的定义域是全体实数集.表达式$\sqrt{1-x^2} $的定义域则为闭区间$[-1,1]$，在这界限以外它的数值就不再是实数了.相反的，对于表达式$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2} } $就必须取开区间$(-1,1)$作为自然适用区域，因为在两端点上它的分母等于$0$.有时函数值保持有意义的区域由隔开的区间所组成：$\sqrt{x^2-1} $的定义域是区间$(-\infty ,-1]$及$[1,+\infty )$.$\dfrac{1}{x^2-1} $的定义域是区间$(-\infty ,-1)$，$(-1,1)$及$(1,\infty )$，等等.
自然，对$x$的任何数值都没有意义的那种函数，我们是并不感兴趣的.
今考察无穷几何序列的和
$$1+x+x^2+\cdots +x^{n-1} +\cdots =\lim \left( 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1} \right) $$
作为最后一个例题.若$\mid x\mid < 1$，则我们知道[整序变量及其极限-例题]，有极限存在且其数值是$\dfrac{1}{1-x} $.在$\mid x\mid > 1$时或者有极限等于$+\infty $，或者根本没有极限.因此，所引入的解析式的自然适用区域是开区间$(-1,1)$.
在下面的叙述内我们将需考察更复杂更普遍的解析式，并且我们将不止一次地研究由这类表达式在它保持有意义的全部区域内所确定的函数的性质，即研究解析工具的本身.
然而，我们认为必须预先引起读者去注意另一种可能的情况.设在任何具体问题内，变量$x$由于事物的本质被限制在其变动区域$\chi $内，而此问题引导我们去考察一个具有解析表达式的函数$f(x)$.虽然这个表达式可能在区域$\chi$以外也有意义，但欲越出界限来研究我们的具体问题却是全然不可能的.在这里，解析式便只担任着附属的辅助角色了.
例如，如果研究质点从地面上高$h$处的自由降落，我们用公式
$$s=\dfrac{gt^2}{2} $$
[函数概念-变量间的函数关系]，则考察$t$的负值，或$t$的大于$T=\sqrt{\dfrac{2h}{g} } $的数值将是荒谬可笑的.因为，很易看出，在$t=T$时质点已落到地上了，虽然表达式$\dfrac{gt^2}{2} $本身对于全部$t$的实数值都有意义.
$3^{\circ } $可能遇到这种情形，即对于变元的一切数值函数并非由同一公式所确定，而是对于变元的某一部分数值用某一公式，对于另一部分数值用另一公式，例如，在区间$(-\infty ,+\infty )$内用下面的三个公式来定义的函数就是一个例子：
$$f(x)=1,若\mid x\mid > 1(即若x > 1或 x < -1),$$
$$f(x)=-1,若\mid x\mid < 1(即若-1 < x < 1).$$
最后，$f(x)=0$，若$x=\pm 1$.
再讲到狄利克雷$(\text{P.G.Lejeune-Dirichlet})$函数.它是这样定义的：
$$\chi (x)=1,若x是有理数,$$
$$\chi (x)=0,若x是无理数.$$
最后，考察克罗内克$(\text{L.Kronecker})$函数，称它为“$x$的符号”并记成$\text{sgn} x$：
根据拉丁文$\text{signum} =$符号.
$$\text{sgn} x=1 ,若x > 0;$$
$$\text{sgn} x=-1 ,若x < 0;$$
$$\text{sgn} 0=0.$$
并且，不必以为对于全部$x$的数值用一个公式给定的函数与用几个公式来定义的函数之间有着原则上的差别.通常，用几个公式给定的函数也可以改用一个公式给定它（当然，需用比较复杂的表达式）.
例如，若运用求极限的演算，则上面引入的第一个函数$f(x)$就可以改用一个公式来给定它（适用于全部$x$）：
$$f(x)=\lim \dfrac{x^{2n} -1}{x^{2n} +1} .$$
事实上，在$\vert x\vert > 1$时幂$x^{2n} \to \infty $，而它的倒数趋于$0$[整序变量及其极限-无穷大量]，因此
$$\lim \dfrac{x^{2n} -1}{x^{2n}+1} =\lim \dfrac{1-\dfrac{1}{x^{2n}} }{1+\dfrac{1}{x^{2n}} } =1.$$
在$\vert x\vert < 1$时幂$x^{2n} \to 0$[整序变量及其极限-例题]，在这情形
$$\lim \dfrac{x^{2n} -1}{x^{2n}+1} =-1.$$
最后，在$x=\pm 1$时，显然$x^{2n} =1$，由此
$$\dfrac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1} =0.$$
在取极限时亦得$0$.一切这些都完全符号于原来的定义.
函数的图像
虽然在数学分析内并不用图像给出函数，但却经常要依靠图像来说明函数的性质.图像的直观而且明了的特性使它成为研究函数性质不可缺少的辅助工具.
设在某一区间$\mathcal{X} $内给定函数$y=f(x)$.想象在平面上有两根互相垂直的坐标轴——$x$轴及$y$轴.考察对应的一对$x$及$y$的数值，此外的$x$取自区间$\mathcal{X} $，而$y=f(x)$；有横标$x$及纵标$y$的点$M(x,y)$就是这一对数值在平面上的图形.当变量$x$在区间$\mathcal{X} $内变动时，这点画出某一曲线$AB$（图$5$），它就是这函数的几何图形，并称它为图像.在这些条件下方程$y=f(x)$本身称为曲线$AB$的方程.
例如，在图$6$及图$7$内画着函数
$$y=\underset{(\vert x\vert \leq 1)}{\pm \sqrt{1-x^2} } \quad 及\quad y=\underset{(\vert x\vert \geq 1)}{\pm \sqrt{x^2-1} }$$
的图像，读者将能认出它们是圆及等轴双曲线.其他许多函数的图示法的例子读者将在最近的几目内遇到它们.
图像通常总是逐点地画出.
在区间$\mathcal{X} $内取出一系列互相接近的$x$的数值，依公式$y=f(x)$算出各对应的$y$的数值：
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
x= & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\
\hline
y= & y_1 & y_2 & y_3 & \cdots & y_n \\
\end{array} $$
并把点
$$(x_1 ,y_1 ),(x_2 ,y_2 ),\cdots ,(x_n ,y_n )$$
画在图上.通过这些点用手或用曲线板作出曲线，它（当然，只是近似的）就是所求的图像.若图像画得愈滑溜及所取的点愈稠密，则画出的曲线愈能准确地代表这图像.
必须注意，虽然函数常可借几何图形来“表示”它自己，但是这图形并不一定就是通常直观意义下的曲线.
例如，作出函数$y=E(x)$的图像.因为在区间$\cdots ,[-2,-1),[-1,0),[0,1),[1,2),[2,3),\cdots $内函数保持着常数$\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots $，所以图像将由一系列分离的缺少右端点的平行线段所组成（图$8$）.
我们用许多箭头来表示这一事实，箭头的尖端指出不属于图像的诸点.
1 | Plot[Floor[x], {x, -3, 3}] |
狄利克雷函数$\chi (x)$的图像由$x$轴上横标是无理数的点集及直线$y=1$上横标是有理数的点集所组成，可是它却不能画出来.
几类最重要的函数
在这里将列举几类函数，通常称之为初等函数.
$1^{\circ} \quad $有理整函数及分式函数
表示为$x$的多项式的函数
$$y=a_0 x^n +a_1 x^{n-1} +\cdots +a_{n-1} x+a_n (a_0 ,a_1 ,a_2 ,\cdots 是常数),$$
称为有理整函数.
两个这样的多项式之比：
$$y=\dfrac{a_0 x^n +a_1 x^{n-1} +\cdots +a_{n-1} x+a_n }{b_0 x^m +b_1 x^{m-1} +\cdots +b_{m-1} x+b_m } $$
称之为有理分式函数.它对于$x$的一切数值除了使分母为零者以外都是有意义的.
例如，在图$9$内给出函数$y=ax^2$在系数$a$取各种不同数值时的图像（抛物线），在图$10$内同样地给出函数$y=\dfrac{a}{x}$在$a$取各种不同数值时的图像（等轴双曲线）.
1 | Show[Plot[x^2, {x, -10, 10}], Plot[2*x^2, {x, -10, 10}], Plot[4*x^2, {x, -10, 10}], Plot[8*x^2, {x, -10, 10}], Plot[1/2 x^2, {x, -10, 10}], Plot[1/4 x^2, {x, -10, 10}], Plot[1/8 x^2, {x, -10, 10}], Plot[-1/8 x^2, {x, -10, 10}], Plot[-1/4 x^2, {x, -10, 10}], Plot[-1/2 x^2, {x, -10, 10}], Plot[-x^2, {x, -10, 10}], Plot[-2 x^2, {x, -10, 10}], Plot[-4 x^2, {x, -10, 10}], Plot[-8 x^2, {x, -10, 10}]] |
1 | Show[Plot[1/{2 x}, {x, -10, 10}], Plot[1/x, {x, -10, 10}], Plot[2/x, {x, -10, 10}], Plot[3/x, {x, -10, 10}], Plot[4/x, {x, -10, 10}], Plot[-1/{2 x}, {x, -10, 10}], Plot[-1/x, {x, -10, 10}], Plot[-2/ x, {x, -10, 10}], Plot[-3/x, {x, -10, 10}], Plot[-4/ x, {x, -10, 10}]] |
$2^{\circ} \quad $幂函数
形如
$$y=x^{\mu }$$
的函数称为幂函数，式中$\mu $是任何实常数.当$\mu $是整数时便得有理函数.当$\mu $是分数时便得根数.例如，设$m$是自然数.则
$$y=x^{\frac{1}{m}} =\sqrt[m]{x} ;$$
若$m$是奇数.则这函数对于$x$的一切数值都是有意义的，当$m$是偶数时（在这种场合，我们只考虑根数的算术值）只对于$x$的非负值才有意义.最后，若$\mu $是无理数，我们就须预设$x > 0$（仅在$\mu > 0$时准许$x=0$）.
在图$11$及图$12$内给出幂函数在$\mu $取各种不同数值时的图像.
1 | Show[Plot[x, {x, 0, 2}], Plot[x^{3/2}, {x, 0, 2}], Plot[x^2, {x, 0, 2}], Plot[x^3, {x, 0, 2}], Plot[x^4, {x, 0, 2}], Plot[x^{10}, {x, 0, 2}], Plot[x^{2/3}, {x, 0, 2}], Plot[x^{1/2}, {x, 0, 2}], Plot[x^{1/3}, {x, 0, 2}], Plot[x^{1/4}, {x, 0, 2}], Plot[x^{0.1}, {x, 0, 2}]] |
1 | Show[Plot[x^{-1/3}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-1/2}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-1}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-2}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-3}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-10}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-1}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-1/2}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-1/3}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-2}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-0.1}, {x, 0, 2}], Plot[x^{-3}, {x, 0, 2}]] |
$3^{\circ } \quad $指数函数
即形如
$$y=a^x$$
的函数，式中$a$是正数（异于$1$）；$x$可取任何实数值.
在图$13$内给出指数函数在$a$取各种不同数值时的图像.
1 | Show[Plot[{1/2}^x, {x, -3, 3}], Plot[{1/3}^x, {x, -3, 3}], Plot[{0.1}^x, {x, -3, 3}], Plot[{10}^x, {x, -3, 3}], Plot[3^x, {x, -3, 3}], Plot[2^x, {x, -3, 3}], AxesLabel -> {HoldForm[x], HoldForm[y]}, PlotLabel -> None, LabelStyle -> {GrayLevel[0]}] |
1 | Show[Plot[Log[2, x], {x, 0, 8}], Plot[Log[3, x], {x, 0, 8}], Plot[Log[10, x], {x, 0, 8}], Plot[Log[0.1, x], {x, 0, 8}], Plot[Log[1/3, x], {x, 0, 8}], Plot[Log[1/2, x], {x, 0, 8}], AxesLabel -> {HoldForm[x], HoldForm[y]}, PlotLabel -> None, LabelStyle -> {GrayLevel[0]}] |
$4^{\circ } \quad $对数函数
即形如
$$y=\log_ax $$
的函数，如前，式中$a$是正数（异于$1$），$x$只能取正的数值.
在图$14$内给出这函数在$a$取各种不同数值时的图像.
$5^{\circ} \quad $三角函数
$$y=\sin{x} \quad y=\cos{x} ,$$
$$y=\tan{x} \quad y=\cot{x} ,$$
$$y=\sec{x} \quad y=\csc{x} ,$$
最重要的是要牢牢记住当三角函数的变元作为角度来看时，恒表示为弧度（在没有预先声明相反的情形时）.对于$\tan{x} $及$\sec{x} $要除去形如
$$(2k+1)\dfrac{\pi }{2} $$
的数值，而对于$\cot{x} $及$\csc{x} $要除去形如
$$k\pi (k是整数)$$
的数值.
在图$15$及图$16$内给出函数$y=\sin{x} (\cos{x} )$及$y=\tan{x} (\cot{x} )$的图像.正弦的图像通常称为正弦曲线.
1 | Show[Plot[Sin[x], {x, -Pi/2, 3 Pi/2}], |
1 | Show[Plot[Tan[x], {x, -Pi/2, 5 Pi/2}], |
另外，特别是工程问题上，很有用的函数为：
$6^{\circ} \quad $双曲函数
函数
$$\sinh{x} =\dfrac{e^x -e^{-x}}{2} \quad \cosh{x} =\dfrac{e^x +e^{-x}}{2} ,$$
$$\tanh{x} =\dfrac{\sinh{x} }{\cosh{x} }=\dfrac{e^x -e^{-x}}{e^x +e^{-x}} \quad \coth{x} =\dfrac{\cosh{x} }{\sinh{x} }=\dfrac{e^x +e^{-x}}{e^x -e^{-x}} ,\cdots $$
就是所谓双曲函数（双曲正弦，余弦，正切，余切，$\cdots \cdots $）；它们对于$x$的一切数值都有意义，但$\coth{x} $在$x=0$时并无意义，须除外.这些函数显得与三角函数非常地相似.
例如，对于它们成立公式（注意符号！）：
$$\cosh{(x\pm y)} =\cosh{x} \cdot \cosh{y} \pm \sinh{x} \cdot \sinh{y} ,$$
$$\sinh{(x\pm y)} =\sinh{x} \cdot \cosh{y} \pm \cosh{x} \cdot \sinh{y} ,$$
由此，在$y=x$时推得：
$$\cosh{}^2 x-\sinh{}^2 x=1,\cosh{2x} =\cosh{}^2 x+\sinh{}^2 x ,\sinh{2x} =2\sinh{x} \cdot \cosh{x} .$$
例如，这些公式中的第一个实际上就是很易验证的恒等式
$$\dfrac{e^{x+y} +e^{-x-y}}{2} =\dfrac{e^{x} +e^{-x}}{2} \cdot \dfrac{e^{y} +e^{-y}}{2} +\dfrac{e^{x} -e^{-x}}{2} \cdot \dfrac{e^{y} -e^{-y}}{2} .$$
其余的也可以同样地验证.
在图$17$及图$18$内画着双曲线函数的图像.
1 | Show[Plot[Sinh[x], {x, -4, 4}], Plot[Cosh[x], {x, -4, 4}], |
1 | Show[Plot[Tanh[x], {x, -4, 4}], Plot[Coth[x], {x, -4, 4}], |
反函数的概念
在论及反三角函数之前，先对反函数作一总的说明.
假定在某一区域$\mathcal{X} $内给定函数$y=f(x)$，并设当$x$在区域$\mathcal{X} $内变动时，一切函数值所成的集是$\mathcal{Y} $（在实用上$\mathcal{X} $及$\mathcal{Y} $通常都是区间）.
由区域$\mathcal{Y} $内选取一数值$y=y_0 $；则在区域$\mathcal{X} $内必能求出数值$x=x_0 $，使得函数在$x_0 $所取的数值刚好就是$y_0 $，即
$$f(x_0 )=y_0 ;$$
像这样的数值$x_0 $可能出现好多个.因此，$\mathcal{Y} $内的任一数值$y$将与一个或几个$x$的数值相对应；由此对应地确定在区域$\mathcal{Y} $内的单值或多值函数$x=g(y)$，它就称为函数$y=f(x)$的反函数.
如果函数$f$的反函数是单值的，那么函数本身称为可逆的.通常谈到反函数时，无条件地假定它是单值的.
考察命题：
$1)$设$y=a^x(a > 1)$，式中$x$在区间$\mathcal{X} =(-\infty ,+\infty )$内变动着.$y$的数值充满区间$y=(0,+\infty )$，并且与这区间内的每一$y$对应着的，我们已知道[实数的其他性质及应用-对数]，在$\mathcal{X}$内只有一个确定的$x=\log_ay$.在这种场合，反函数是单值的.
$2)$反之，对于函数$y=x^2$.若$x$在区间$\mathcal{X} =(-\infty ,+\infty )$内变动，反函数就是双值的：对应于区间$\mathcal{Y} =[0,+\infty )$内的每一数值$y$有$\mathcal{X} $内的两个数值$x=\pm \sqrt{y} $.代替这种双值函数通常分别地考察两个单值函数$x=+\sqrt{y} $及$x=-\sqrt{y} $（双值函数的两“支”）.仅需假设$x$的变动区域各限于$[0,+\infty )$及$(-\infty ,0]$，则它们都可以当作函数$y=x^2$的反函数.
$3)$仿此，若取$y=\cosh{x} $，其中$x$的变动区域仍是区间$(-\infty ,+\infty )$，则就$e^x$解方程
$$\dfrac{e^x +e^{-x}}{2} =y \; 或\; e^{2x} -2y\cdot e^x +1 =0$$
求出（在$y\geq 1$时）两数值
$$e^x =y\pm \sqrt{y^2-1} ,$$
由此
$$x=\ln{(y\pm \sqrt{y^2-1} )} .$$
这仍是双值函数，它分开成两个单值的支，各对应于$x$从$0$改变至$+\infty $以及从$-\infty $改变至$0$.
$4)$又若$y=\sinh{x} $，则在任何$y$时，由方程
$$\dfrac{e^x -e^{-x}}{2} =y \; 或\; e^{2x} -2y\cdot e^x -1 =0,$$
仅求出$e^x$的一个数值：
$$e^x =y+\sqrt{y^2+1} ,$$
因为在根号前带有负号的第二数值将是负值，这是不可能的，因此应该弃去.由此
$$x=\ln{y+\sqrt{y^2+1}} ,$$
即在这里反函数是单值的.
注意到，按照函数$y=f(x)$的图像很易判断它的反函数$x=g(y)$是单值的或不是单值.若任何平行于$x$轴的直线与这图像最多相交于一个点，就出现第一种情形.反之，若这种直线中的某几条可与图像相交于几个点，则反函数就是多值的.在这种情形也很易按照图像划分$x$的变动区间成为几部分，使得每一部分都对应了这函数的一个单值“支”.例如，只要一瞥图$4$的抛物线（它是函数$y=x^2$的图像），就清楚地看出它的反函数是双值的，如要得出单值“支”，只要个别地考察这抛物线的右部及左部（分别对应于$x$的正值及负值）就够了.
若函数$x=g(y)$是函数$y=f(x)$的反函数，则显然，两函数的图像重合着.然而，也可以仍旧用字母$x$表示反函数的变元，即代替函数$x=g(y)$而考察$y=g(x)$.若在这时$x$轴仍为水平，而$y$轴仍为铅直，则图形必须重作.因为问题只在交换$x$轴和$y$所担任的角色，所以最简单的办法是使图内的平面$Oxy$绕第一象限角的分角线旋转$180^{\circ } $（图$19$）.
这样，$y=g(x)$的图像就可作为$y=f(x)$的图像关于分角线的镜面反射而得到.例如，根据图$13$及$14$立刻看出，它们就是这样的一种由另一种经过反射而得出的图像.同样，由于上述的理由，很易解释在图$11$及$12$内的任一图像（关于第一象限角的平分线）的对称性.
反三角函数
作为在[几类最重要的函数]内已讲述的初等函数的种类的补充，今再考察
$7^{\circ} \quad $ 反三角函数
$$y=\arcsin{x} ,y=\arccos{x} ,y=\arctan{x} ,$$
$$y=\text{arccot} \;x \;(y=\text{arcsec} \;x ,y=\text{arccsc} \;x).$$
首先考察第一个函数.函数$y=\sin{x} $在区间$\mathcal{X} =(-\infty ,+\infty )$内定义着，并且它的函数值充满区间$\mathcal{Y} =[-1,1]$的全部.平行于$x$轴的直线与正弦曲线，即函数$y=\sin{x} $的图像（图$15$）相交，交点必有无限多个；换言之，与区间$[-1,1]$内的$y$的任一数值对应着的有无限多个$x$的数值.因此其反函数，记为
$$x=\text{Arcsin} \;y,$$
我们在当初已着重指出，三角函数的变元$x$表示角的弧度；自然而然地，在这里反三角函数的值（若作为角或弧的度量来考察它）也都表示为弧度.
是（无穷）多值的.
通常仅考察这函数对应于$x$在$-\dfrac{\pi }{2} $及$\dfrac{\pi }{2} $之间变动的一“支”.与$[-1,1]$内的任一$y$对应着的只有在这范围内的一个$x$值；它记成
$$x=\arcsin{y} .$$
并称为反正弦函数的主值.
把正弦曲线绕第一象限的分角线翻转（图$20$），则得多值函数$y=\text{Arcsin} \;x$的图像；其主支$y=\arcsin{x} $的图像用实线标出.在$x$的区间$[-1,1]$内它是单值地被确定着的，且满足不等式
$$-\dfrac{\pi}{2} \leq \arcsin{x} \leq \dfrac{\pi }{2} ,$$
这是主支在其他各支中间的特征.
回想在初等三角学内，当正弦的数值已知时，怎样用角的一个数值表达出角的全部数值，就很易写出给定反正弦函数的全部数值的公式：
$$\text{Arcsin} \;x =\arcsin{x} +2k\pi \;(k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ).$$
或
$$\text{Arcsin} \;x =(2k+1)\pi -\arcsin{x} .$$
由正弦的加法定理
$$\sin{(\alpha +\beta )} =\sin{\alpha } \cdot \cos{\beta } +\cos{\alpha } \cdot \sin{\beta } ,$$
可得出反正弦函数的加法定理.就是，设$\alpha =\arcsin{x} ,\beta =\arcsin{y} $（其中$x$及$y$都在$-1$及$+1$之间）；则
$$\sin{\alpha } =x,\sin{\beta } =y;$$
$$\cos{\alpha } =\sqrt{1-x^2} ,\cos{\beta } =\sqrt{1-y^2 } .$$
并且根号之前都取$+$号，因为根据反正弦函数的主值的特性，$\alpha $角及$\beta $角都在$-\dfrac{\pi }{2} $及$\dfrac{\pi }{2} $之间，故它们的余弦必为正值.因此，
$$\sin{\alpha +\beta } =x\sqrt{1-y^2} +y\sqrt{1-x^2} ,$$
由此
$$\alpha +\beta =\arcsin{x} +\arcsin{y} =\text{Arcsin} (x\sqrt{1-y^2} +y\sqrt{1-x^2} ),$$
这公式可以更简单地写成
$$\arcsin{x} +\arcsin{y} =\arcsin{(x\sqrt{1-y^2} +y\sqrt{1-x^2} )} ,$$
但只能在$\alpha +\beta $不超出区间$[-\dfrac{\pi }{2} ,\dfrac{\pi }{2} ]$的场合.
若变元$x$与$y$（从而$\alpha $与$\beta $）异号，这条件将自动地满足.又在同号的场合，很易看出上述条件相当于
$$x^2+y^2 \leq 1$$
在同号的场合，不妨设$0 \leq \alpha \leq \dfrac{\pi }{2} $，于是$0\leq \beta \leq \dfrac{\pi }{2} -\alpha $，这时
$$\begin{align} & x^2+y^2 \\
= & \sin{}^2 \alpha +\sin{}^2 \beta \\
\leq & \sin{}^2 \alpha +\sin{}^2 \left( \dfrac{\pi }{2} -\alpha \right) =1 \\
\end{align} $$同理，$\alpha ,\beta $取负值的情形也有同样结论.
类似于此的讨论亦可应用于函数$y=\cos{x} (-\infty < x < +\infty )$.在这里反函数
$$y=\text{Arccos} \;x(-1\leq x\leq 1)$$
也是（无穷）多值的（参阅图$15$）.要分出它的单值支，可附以条件
$$0\leq \arccos{x} \leq \pi ;$$
这是反余弦函数的主支.
函数$\arccos{x} $与$\arcsin{x} $由显明的关系式
$$\arccos{x} =\dfrac{\pi }{2} -\arcsin{x} $$
联系着；实际上，不仅角$\left( \dfrac{\pi }{2} -\arcsin{x} \right) $的余弦等于$\sin{(\arcsin{x} )} =x$，且这角本身，也包含在$0$与$\pi $之间.$\text{Arccos} \;x$的其余的数值可以借其主值按照下面的公式表示出来：
$$\text{Arccos} \;x =2k\pi \pm \arccos{x} (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$$
函数$y=\tan{x} $对于全部$x$值，除去$x=(2k+1)\dfrac{\pi }{2} (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots )$的数值以外都有意义.在这里$y$的数值充满区间$(-\infty ,+\infty )$，并且对应于任一$y$仍有无穷多个$x$值（参阅图$16$）.因此，在区间$(-\infty ,+\infty )$内给定的反函数$x=\text{Arctan} \;y$是（无穷）多值的.在图$21$内画着函数$y=\text{Arctan} \;x$的图像，就是把函数$y=\tan{x} $的图像绕第一象限角的分角线旋转$180^{\circ }$而得出的.反正切函数的主值$\arctan{x} $采用这多值函数的能满足不等式
$$-\dfrac{\pi }{2} < \arctan{x} < \dfrac{\pi }{2}$$
的数值.
这样就确定了一个对于所有的$x$都有意义的单值函数，即反正切函数的主支.很易证明，反正切函数的其余的数值，可由下式求得：
$$\text{Arctan} \;x=\arctan{x} +k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ).$$
正切的加法定理：
$$\tan{(\alpha +\beta )} =\dfrac{\tan{\alpha } +\tan{\beta} }{1-\tan{\alpha } \cdot \tan{\beta } } ,$$
如果设$\alpha =\arctan{x} ,\beta =\arctan{y} $，便得出（在$xy\neq 1$时）
$$\tan{(\alpha +\beta )} =\dfrac{x+y}{1-xy} ,$$
因此
$$\alpha +\beta =\arctan{x} +\arctan{y} =\text{Arctan} \;\dfrac{x+y}{1-xy} .$$
此时等式可化成更简单的形状
$$\arctan{x} +\arctan{y} =\arctan{\dfrac{x+y}{1-xy} } ,$$
仅需$-\dfrac{\pi }{2} < \alpha +\beta < \dfrac{\pi }{2} $，即$xy < 1$.
因为$-\dfrac{\pi }{2} < \alpha +\beta < \dfrac{\pi }{2} $，故$-\dfrac{\pi }{2} -\alpha < \beta < \dfrac{\pi }{2} -\alpha $，所以
$$xy=\tan{\alpha } \cdot \tan{\beta } < \tan{\alpha } \cdot \tan{\left( \dfrac{\pi }{2} -\alpha \right) } =\tan{\alpha } \cdot \cot{\alpha } =1.$$
在函数$\arctan{x} $与$\arcsin{x} $之间亦不难建立直接的关系
$$\underset{(-\infty < x < +\infty )}{\arctan{x} =\arcsin{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2} } } } \quad 或\quad \underset{(-1 < x < +1 )}{\arcsin{x} =\arctan{\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2} } } } .$$
例如，若设$\alpha =\arctan{x} $，便有$\tan{\alpha } =x$，则
$$\begin{align}
& \sin{\alpha } \\
= & \dfrac{\sin{\alpha } }{\cos{\alpha} } \cdot \cos{\alpha } \\
= & \dfrac{\sin{\alpha } }{\cos{\alpha} } \cdot \dfrac{1}{\dfrac{1}{\cos{\alpha } } } \\
= & \tan{\alpha } \cdot \dfrac{1}{\sec{\alpha } } \\
= & \dfrac{\tan{\alpha } }{\sqrt{1+\tan{}^2 \alpha } } \\
= & \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2} } ,\\
\end{align} $$
并且因为$-\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \dfrac{\pi }{2} $,根号前必带有正号；由此，自然地推得$\alpha =\arcsin{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2} } } $.
若设$\beta =\arcsin{x} $，便有$\sin{\beta } =x$，则
$$\begin{align}
& \tan{\beta } \\
= & \dfrac{\sin{\beta } }{\cos{\beta } } \\
= & \dfrac{\sin{\beta } }{\sqrt{1-\sin{}^2 \beta } } \\
= & \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2 } } ,\\
\end{align} $$并且因为$-\dfrac{\pi }{2} < \beta < \dfrac{\pi }{2} $,根号前必带有正号；由此，自然地推得$\beta =\arctan{\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2} } } $.
再讲到函数$\text{Arccot} \;x(-\infty < x < +\infty )$；它的主值，由不等式
$$0 < \text{arccot} \;x < \pi $$
所确定，这主值与$\arctan{x} $之间存在下面的关系：
$$\text{arccot} \;x=\dfrac{\pi }{2} -\arctan{x} $$
表示反余切函数的其余数值的公式，形如
$$\text{Arccot} \;x=\text{arccot} \;x +k\pi (k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots ).$$
我们不再讨论函数$\text{arcsec} \;x(-\infty < x \leq 1$及$1\leq x < +\infty )$及$\text{arccsc} \;x$（同是那两个变动区间）.让读者自己分析了解罢.
函数的叠置、总结
今将介绍函数叠置的概念.以另一变元的函数作为已给函数的变元，便形成函数叠置.例如，叠置函数$\sin{x} $及$\lg y$就得出函数$\lg \sin{x} $；仿此，又能得出函数
$$\sqrt{1-x^2} ,\arctan{\dfrac{1}{x} } $$
等等.
一般，假设函数$y=f(x)$对于区域$\mathcal{X} =\lbrace x\rbrace $内的$x$是有意义的，并且它的数值全部包含在区域$\mathcal{Y} =\lbrace y\rbrace $内.再设函数$z=\varphi (y)$刚好在区域$\mathcal{Y} $内是有意义的，则常说，变量$z$借$y$做媒介而成为$x$的函数：
$$z=\varphi (f(x)).$$
依$\mathcal{X}$内已给的$x$，先（按照记号$f$所表示的规律）求出对应于它的$\mathcal{Y} $内的$y$值，再（按照记号$\varphi $所表示的规律）求出对应于这$y$值的$z$值；那么它就是对应于所选的$x$而求出的$z$的数值.所得的函数之函数或复合函数，就是叠置函数$f(x)$及$\varphi (y)$的结果.
函数$f(x)$的数值不越出函数函数$\varphi (y)$的定义域$\mathcal{Y} $的范围之外这个假定是非常要紧的，若忽略了它，就会得出谬论.例如，假设$z=\lg y$，而$y=\sin{x} $，我们仅能考虑使$\sin{x} > 0$的那些值，因为否则的话，表达式没有意义.
我们认为是有益处的，在这里再着重指出：一种函数关系须借复合函数来表出的这一特性，并不依赖于这函数关系的本身，而只依赖于表示这关系的方法.例如，设$z=\sqrt{1-y^2} $当$y$在$[-1,1]$内，而$y=\sin{x} $当$x$在$[-\dfrac{\pi }{2} ,\dfrac{\pi }{2} ]$内，则
$$z=\sqrt{1-\sin{}^2 x} =\cos{x} .$$
此处$\cos{x}$是以复合函数的形式出现的.
当完全弄清楚函数叠置的概念以后，我们现在可以准确地说明在分析学内所研究的那些函数中的最简单的种类：首先，是前列所列举的初等函数$1^{\circ} \sim 7^{\circ }$，其次，便是由它们用算术四则运算及有限次数地应用叠置所得的函数.它们可用初等函数的有限形式来表示；有时它们也一起称为初等函数.
以后，掌握了更复杂的分析工具（无穷级数，积分），我们将介绍另一些函数，它们在分析内同样担任着重要角色，但是已越出了初等函数的范围.
