波利亚计数定理 在线阅读 萧文强 大连理工大学出版社

大家也许见过一种类似积木的玩具，元件是一些不同颜色的球和不同长短的棒，球的表面有很多洞，利用这些洞可以就着不同的角度把球和棒相接，由此砌成各种模型，如风车、房子、桥梁、桌子、椅子、动物……也可以砌成各式各样的美术构形.现在问：把一个黑球、一个红球、四个白球用棒连成一个正六边形，球在端点，共有多少个不同的构形呢？（图$1.1$）

如果那个正六边形是固定的，答案容易算出来.先放黑球，有$6$种不同的摆法；其次放红球，只有$5$种不同的摆法；余下的端点自然要放白球了，合起来共有$6\times 5=30$种不同的构形.细心的读者会说：“这个答案跟正六边形扯不上关系！换了是别的形状，只要球是放在六个可区别的位置上，不管那是正六边形的六个端点，或是一字长蛇上的六个点，答案仍然是$30$种.”对的，把一个黑球、一个红球、四个白球用棒连成一个正八面体，球在端点，如果那个正八面体是固定的，答案同样是$30$种不同的构形（图$1.2(a)$）.又把一个一个黑球、一个红球、四个白球用棒连成一个三棱柱体，球在端点，如果那个三棱柱体是固定的，答案同样是$30$种不同的构形（图$1.2(b)$）.不过，只要你动手砌一砌，你便知道实际情况可不一样，因为没有规定人家不准转动或者翻转那些构形呀！容许转动或者翻转构形，便没有$30$种不同的构形了.对六边形而言，只有$3$种（图$1.3(a)$）；对八面体而言，只有$2$种（图$1.3(b)$）；对三棱柱体而言，只有$5$种（图$1.3(c)$）.

为什么同样是摆放一个黑球、一个红球、四个白球，三道问题的答案却互不相同呢？一般而言，怎样计算有多少个真正不同的构形呢？