环的定义和一般性质

代数结构$(\mathbb{Z} ,+),(\mathbb{Z} ,\cdot )$是最先进入我们视线的幺半群的例子.后来看到$(\mathbb{Z} ,+)$是阿贝尔群（事实上是循环群）.但人们经常把这两个结构合并在一起，得到一个在数学上称之为环的代数结构.初等算术最重要的两种运算的关系依赖于分配律$(a+b)c=ac+bc$，表面看来它很平凡，那是因为我们已经习惯于它的存在.如果我们试图，例如，将代数结构$(\mathbb{Z} ,+),(\mathbb{Z} ,\circ )$联系在一起，其中$n\circ m=n+m+nm$，就会发现找不到两个二元运算之间如此之好的协调性.在列举更多的例子之前，先给出环的精确定义.

定义$\quad $设$R$是一个非空集合，在$R$上定义了两种（二元代数）运算$+$（加法）和$\cdot $乘法，满足下述条件：

$\mathrm{R} 1)\;(R,+)$是阿贝尔群；

$\mathrm{R} 2)\;(R,\cdot )$是半群；

$\mathrm{R} 3)\;$加法和乘法运算以分配律相联系（换言之，乘法对加法的分配律），即

$$(a+b)c=ac+bc,c(a+b)=ca+cb$$

对任意的$a,b,c\in R$成立.

则称$(R,+,\cdot )$是一个环.

$(R,+)$叫作环的加法群，而$(R,\cdot )$叫作它的乘法群.如果$(R,\cdot )$是一个幺半群，则称$(R,+,\cdot )$是有单位元的环.

环的单位元通常简记作$1$.$1$的存在性有时列入环的定义中，但我们不这样做.

在应用中和广义环论中（这一理论正在蓬勃发展），人们有时研究另外的代数结构.其中条件$\mathrm{R} 2)\;$或是取消，或是视具体问题代之以其他条件.在这种情况下，称它为非结合环.但我们在这里只考虑通常的（结合）环.这就意味着我们可以根据$\S 1$的定理$1$，不必在意环中任意$k$个元素的乘积中括号的位置.

环$R$的子集$L$叫作一个子环，如果

$$\forall x,y\in L\Rightarrow x-y\in L 和xy \in L,$$

也就是说，$L$是环的加法群的子群和乘法半群的子半群.

显然，环$R$的任意一簇子环的交仍然是一个子环（证法与$\S 2 $的习题$1$同），于是谈论由子集$T\subset R$生成的子环$\langle T\rangle \subset R$是有意义的.根据定义，$\langle T\rangle $是$R$中包含有$T$的所有的子环之交.如果$T$自身已经是一个子环，则$\langle T\rangle =T$.

如果任取$x,y\in R$，有$xy=yx$，则环$R$叫作交换的（与群不同，交换环通常不称作阿贝尔的）.

环的概念是非常广泛的.不仅如此，初看起来非常特殊的交换环类是几十年来强有力的研究课题，并且交换环论目前已与代数几何交织在一起，后者是界于代数、几何和拓扑之间的一个漂亮的数学分支.

例1$\quad (\mathbb{Z} ,+,\cdot )$是带有通常的加法和乘法运算的整数环.能被$m$整除的整数集$m\mathbb{Z} $是$\mathbb{Z} $中的一个子环（当$m > 1$时没有单位元）.类似地，$\mathbb{Q} $和$\mathbb{R} $也是有单位元的环，且包含关系$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $给出了环$\mathbb{R} $中的一个子环列.

例2$\quad $我们在第$2$章中引进并详细讨论过$M_n (\mathbb{R} )$，$n$阶方阵加法和乘法的性质表明，$M_n (\mathbb{R} )$是一个有单位元$1=E$的环.称之为$\mathbb{R} $上的全矩阵环，也叫作$\mathbb{R} $上的$n$阶方阵环（或$\mathbb{R} $上$n\times n$阶的矩阵环）.因为当$n > 1$时，矩阵的乘法是不交换的，$M_n (\mathbb{R} )$是一个非交换环.元素取自$\mathbb{Q} $和$\mathbb{Z} $的同样阶数的方阵$M_n (\mathbb{Q} )$和$M_n (\mathbb{Z} )$分别是$M_n (\mathbb{R} )$的子环.一般地，$M_n (\mathbb{R} )$中饱含着各种各样的子环.它们将不断地以自然的方式出现在我们的教程中.我们进一步指出，也可考察任意交换环$R$上的$n$阶方阵环$M_n (R)$，因为任意两个矩阵$A,B\in M_n (R)$在相加和相乘后仍然是元素取自$R$的矩阵，$M_n (R)$中的分配律可由$R$的分配律得到.这些都可以从第$2$章$\S 3$的第$3$段和第$5$段所列的矩阵运算法则中直接推导出来.

例3$\quad $除矩阵环外，在各个数学领域中，函数环亦有广泛的应用.设$X$是任意集合，$R$是做任意环.进一步设$R^X =\lbrace X\to R\rbrace $是所有函数（或映射）$f\colon X\to R$组成的集合，如下定义两个二元运算——逐点相加$f+g$和逐点相乘$fg$，

$$(f+g)(x)=f(x)\oplus g(x),$$

$$(fg)(x)=f(x)\odot g(x)$$

（其中$\oplus $和$\odot $分别表示$R$当中的加法和乘法运算）.显然，这不是函数的合成，在线性映射的情况下，全成法则导致了环$M_n $.而我们在这里建立的逐点相加和逐点相乘，反映了数学分析的观点，例如当$X=\mathbb{R} ,R=\mathbb{R} $时，函数$\tan{} $和$\sin{} $的乘积为$\tan{} \cdot \sin{} \colon x\mapsto \tan{x} \cdot \sin{x} $，而不是$\tan{} \circ \sin{} \colon x\mapsto \tan{(\sin{x} )} $.

容易验证$R^X$满足环的所有条件.比如根据$R$中运算的分配律，我们有

$$[f(x)\oplus g(x)]\odot h(x)=f(x)\odot h(x)\oplus g(x)\odot h(x)$$

对任意三个函数$f,g,h\in R^X $和任意$x\in X$成立，根据逐点运算的定义，这就给出了$(f+g)h=fh+gh$.第二个分配律的正确性可类似建立.若$0,1$是$R$中的零元和单位元，则常函数

$$0_X \colon x\mapsto 0,1_X \colon x\mapsto 1$$

分别是$R^X$中的零元和单位元.如果环$R$是交换的，则函数环$R^X$也是交换的.

环$R^X$中包含各类子环，它们可以用函数的各种特殊性质来定义.例如，设$X=[0,1]$是$\mathbb{R} $中的一个闭区间，且$R=\mathbb{R} $，令$\mathbb{R} ^{[0,1]}$是定义在$[0,1]$区间上的所有实值函数环，它包含有有界函数组成的子环$\mathbb{R}_b^{[0,1]} $，连续函数的子环$\mathbb{R}_c^{[0,1]} $，连续可微函数的子环$\mathbb{R}_d^{[0,1]} $，等等，因为所列举的性质都在函数的加法（减法）和乘法下保持下来.

任取$a\in \mathbb{R} $，定义一个常函数$a_X \colon x\mapsto a,\forall x\in X$，那么嵌入映射$a\mapsto a_x $使我们可以将$\mathbb{R} $看作$\mathbb{R} ^X$的一个子环.总之，几乎每一个自然的函数类都对应于$\mathbb{R} ^X$中的一个子环.

例4$\quad $令$(A,+)$是一个加法阿贝尔群，任取$x,y\in A$，法则$xy=0$建立了$A$的一个零乘法环结构.

环的很多性质平行于群的对应的性质，更一般地说，平行于带有结合运算的集合的性质.例如对所有的非负整数$m,n$和$a\in R,a^m a^n=a^{m+n} $，$(a^m)^n=a^{mn} $（与$\S 1$的公式$(2)$相比较）.而由环的定义中的三个条件导出的环的其他更特殊的性质可以从$\mathbb{Z} $的性质得到启示.我们列举其中的几条.首先对任意$a\in R$，

$$a\cdot 0=0\cdot a=0.\label{1} \tag{1} $$

事实上，$a+0=a\Rightarrow a(a+0)=aa\Rightarrow a^2+a\cdot 0=a^2\Rightarrow a^2+a\cdot 0=a^2+0\Rightarrow a\cdot 0=0$（类似地，$0\cdot a=0$）.

现在假定$0=1$，则任取$a\in R$我们得到$a=a\cdot 1=a\cdot 0=0$，即$R$中仅有零元，因而在非平凡的环中，永远有$0\neq 1$，其次我们有

$$(-a)\cdot b=a(-b)=-(ab),\label{2} \tag{2} $$

这是因为，例如，从$\eqref{1} $和分配律推出

$$0=a\cdot 0=a(b-b)=ab+a(-b)\Rightarrow a(-b)=-(ab).\label{3} \tag{3} $$

因为$-(-a)=a$，由$\eqref{2} $得到等式$(-a)(-b)=ab$（例如$(-1)(-1)=1$），和$-a=(-1)\cdot a$.

从分配律可以得到广义分配律

$$(a_1 +\cdots +a_n )(b_1 +\cdots +b_m ) =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m a_i b_j \label{4} \tag{4} $$

证明并不困难，先令$m=1$对$n$作归纳，然后再对$m$作归纳.现在利用$\eqref{1} $，$\eqref{2} $和$\eqref{3} $式得到

$$n(ab)=(na)b=a(nb)$$

对任意$n\in \mathbb{Z} $和$a,b\in R$成立.

最后我们指出，任取$a,b\in R$，牛顿二项式公式

$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n {n\choose i} a^i b^{n-i} \label{5} \tag{5} $$

仅当$R$是交换环时成立.在$\eqref{5} $式的证明中需要用到$\eqref{4} $，类似于在第$1$章$\S 7$中对特殊情况$R=\mathbb{Z} $的处理.

同余式.剩余类环

设$m$是给定的自然数，$m > 1$.集合$m\mathbb{Z} $显然不仅在加法运算下封闭，也在乘法运算下封闭，并满足环的定义中的三个条件.

现在我们来利用子环$m\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z} $，构造一个只含有限个元素的非零环.为此引入

定义$\quad $两个整数$n,n’$称为模$m$同余，若用$m$去除它们时余数相等.记作$n\equiv n’(m)$或$n\equiv n’\pmod m$，这个式子叫作模$m$的同余式.

这样$\mathbb{Z} $就被划分为数的类，每一类中的数模$m$同余，称之为模$m$的剩余类.每个剩余类形如

$$\lbrace r\rbrace_m =r+m\mathbb{Z} =\lbrace r+mk\vert k\in \mathbb{Z} \rbrace ,$$

因而

$$\mathbb{Z} =\lbrace 0\rbrace_m \bigcup \lbrace 1\rbrace_m \bigcup \cdots \bigcup \lbrace m-1\rbrace_m .\label{6} \tag{6} $$

根据定义，$n\equiv n’(m)\Leftrightarrow n-n’$被$m$整除.将关系式$m\vert (n-n’)$写成同余式$n\equiv n’(m)$更加方便，这些同余式可以进行通常的等式运算.若$k\equiv k’(m)$，且$l\equiv l’(m)$，则$k\pm l\equiv k’\pm l’(m)$，$kl\equiv k’l’(m)$.特别地$k\equiv k’(m)\Rightarrow ks\equiv k’s(m)$对任意$s\in \mathbb{Z} $成立.

这样，可以对任意两个类$\lbrace k\rbrace_m $和$\lbrace l\rbrace_m $定义和或积，所得结果是与代表元$k,l$的选取无关的类，也就是说，在模$m$的剩余类的集合$\mathbb{Z}_m =\mathbb{Z} /m\mathbb{Z} $上诱导了唯一确定的运算$\oplus $和$\odot \colon $

$$\begin{align}
\lbrace k\rbrace_m \oplus \lbrace l\rbrace_m & =\lbrace k+l\rbrace_m ,\\
\lbrace k\rbrace_m \odot \lbrace l\rbrace_m & =\lbrace kl\rbrace_m . \\
\end{align} \label{7} \tag{7} $$

由于这些运算归结为对取自剩余类中的数的相应运算，即在$\mathbb{Z} $的元素上的运算，故$\lbrace \mathbb{Z}_m ,\oplus ,\odot \rbrace $也是一个带有单位元$\lbrace 1\rbrace_m =1+m\mathbb{Z} $的交换环.称为模$m$的剩余类环.当下标$m$固定时，习惯于用$\overline{k} $代替$\lbrace k\rbrace_m $，故

$$\begin{align}
\overline{k} \oplus \overline{l} & =\overline{k+l} ,\\
\overline{k} \odot \overline{l} & =\overline{kl} . \\
\end{align}$$

在$\mathbb{Z}_m $当中用代表元代替剩余类乍看起来是不严肃的，但它的明显的技术上的优势在于，放弃上横线和花括号，仅依赖于模$m$代表元的某个确定集合，通常取集合$\lbrace 0,1,2,\cdots ,m-1\rbrace $，称之为模$m$的剩余类的导出集.在这一约定下，我们有比如$-k=m-k$，$2(m-1)=-2=m-2$.

于是，有限环是存在的.我们给出三个简单的例子，指明它们的加法表和乘法表：

$$
\mathbb{Z}_2 \colon \quad \begin{array}{c|cc}
{+} & 0 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{array} \quad
\begin{array}{c|cc}
\cdot & 0 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{array}
$$

$$
\mathbb{Z}_3 \colon \quad \begin{array}{c|ccc}
{+} & 0 & 1 & 2\\
\hline
0 & 0 & 1 & 2\\
1 & 1 & 2 & 0\\
2 & 2 & 0 & 1\\
\end{array} \quad
\begin{array}{c|ccc}
\cdot & 0 & 1 & 2\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 2\\
2 & 0 & 2 & 1\\
\end{array}
$$

$$
\mathbb{Z}_4 \colon \quad \begin{array}{c|cccc}
{+} & 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
0 & 0 & 1 & 2 & 3\\
1 & 1 & 2 & 3 & 0\\
2 & 2 & 3 & 0 & 1\\
3 & 3 & 0 & 1 & 2\\
\end{array} \quad
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & 0 & 1 & 2 & 3\\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 2 & 3\\
2 & 0 & 2 & 0 & 2\\
3 & 0 & 3 & 2 & 1\\
\end{array}
$$

剩余类环$\mathbb{Z} $很久以来就是数论学家感兴趣的对象，而在代数中，它是各类一般概念的出发点.

环的同态

根据$\eqref{7} $，映射$f\colon n\mapsto \lbrace n\rbrace_m $有下述性质：

$$f(k+l)=f(k)\oplus f(l),f(kl)=f(k)\odot f(l).$$

这就使得我们可以在下述的一般定义下称环$\mathbb{Z} $与$\mathbb{Z}_m $为同态.

定义$\quad $设$(R,+,\cdot )$和$(R’,\oplus ,\odot )$是两个环.映射$f\colon R\to R’$称为同态，若$f$保持环的两种运算，即

$$\begin{align}
f(a+b) & =f(a)\oplus f(b) ,\\
f(ab) & =f(a)\odot f(b). \\
\end{align}$$

这时易见，$f(0)=0’$，且$f(na)=nf(a),n\in \mathbb{Z} $.

集合

$$\ker f=\lbrace a\in R\vert f(a)=0’\rbrace $$

叫作同态$f$的核.显然$\ker f$是$R$的一个子环.

与群的情况一样（见$\S 2$第$5$段的术语），同态

$$f\colon R\to R’$$

称为：

单同态，若$\ker f=0$；

满同态，若像与$R’$重合，即

$$\mathrm{Im} f=f(R)=\lbrace a’\in R’\vert a’=f(a)\rbrace =R’;$$

同构，若映射$f$既单且满.

两个环同构这一事实简短地记作$R\cong R’$.

考察前面给出的映射$f\colon n\mapsto \lbrace n\rbrace_m $，$f$显然是一个核为$\ker f=m\mathbb{Z} $的满同态$\mathbb{Z} \to m\mathbb{Z} $.

如果仅仅考察带有单位元的环，那么需要在同态$f\colon R\to R’$中合理地加入条件

$$f(1)=1’.$$

在满同态和同构的情况下，这个条件是自然满足的.

同构的环具有相同的代数性质，而数学上的真正兴趣在于环的那些在同构映射上保持不变的性质.因此环$\mathbb{Z}_m $既可看作模$m$的剩余类集，也可看作这些类的代表元集.

环的类型.域

在我们熟知的数环$\mathbb{Z} ,\mathbb{Q} $和$\mathbb{R} $中，从$ab=0$可得$a=0$或$b=0$.但在任何上述环上的方阵环中，却没有这个性质.利用矩阵$E_{ij}$（见第$2$章$\S 3$定理$4$的证明），当$j\neq k$时，我们有等式$E_{ij} E_{ki} =0$，尽管$E_{ij} \neq 0$，且$E_{ki} \neq 0$.我们指出$E_{ik} E_{kj} =E_{ij} \neq 0$.人们可能会认为，如此不正常是由于环$M_n $的非交换性，但事实并非如此.我们在第$2$段中已经看到，在交换环$\mathbb{Z}_4 $中有等式$2\odot 2=0$，与人们所共知的真理“$2$乘以$2$等于$4$”相违背.再给出两个例子.

例5$\quad $数对$(a,b)$（此处可设$a,b$取自$\mathbb{Z} ,\mathbb{Q} $或$\mathbb{R} $）,连同如下定义的加法和乘法显然构成一个环：

$$\begin{align}
(a_1 ,b_1 )+(a_2 ,b_2 ) & =(a_1 +a_2 ,b_1 +b_2 ) ,\\
(a_1 ,b_1 )\cdot (a_2 ,b_2 ) & =(a_1 a_2 ,b_1 b_2 ), \\
\end{align}$$

这个环是交换的，带有单位元$(1,1)$.我们再遇到了同样的现象：$(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)=0$.

例6$\quad $在实函数环$\mathbb{R}^{\mathbb{R} } $中（见第$1$段的例$3$），函数$f\colon x\mapsto \vert x\vert +x $和$g\colon x\mapsto \vert x\vert -x$具有这样的性质：当$x\leq 0$时，$f(x)=0$，而当$x\geq 0$时$g(x)=0$.所以它们的逐点乘积$fg$是零函数，尽管$f\neq 0$且$g\neq 0$.

定义$\quad $在环$R$中，如果$a\neq 0,b\neq 0$，但$ab=0$，则$a$叫作左零因子，而$b$叫作右零因子（在交换环$R$中简称为零因子）.在非零环$R$中，零本身叫作平凡零因子.如果环$R$除$0$外没有其他的零因子，则$R$叫作无零因子环.如果一个交换环$R$含有$1\neq 0$，并且无零因子，则称$R$为整环（整性环或具有整性）.

定理1$\quad $有单位元的非平凡交换环$R$是整环，当且仅当在$R$中消去律成立，即对任意$a,b,c\in R$，

$$ab=ac,a\neq 0\Rightarrow b=c.$$

证明$\quad $若在$R$中有消去律，那么从$ab=0=a\cdot 0$推出或者$a=0$，或者$a\neq 0$但$b=0$.反之:如果$R$是整环，则

$$ab=ac,a\neq 0\Rightarrow a(b-c)=0\Rightarrow b-c=0\Rightarrow b=c.$$

在有单位元的环$R$中自然要考察可逆元素的集合.元素$a$称为可逆的（或单位），若存在元素$a^{-1} $，使得$aa^{-1}=1=a^{-1}a$.准确地说，应该谈元素是右可逆的或左可逆的（它们分别指存在元素$b$，使$ab=1$或$ba=1$），但在交换环或无零因子环中，这两个概念是一致的.事实上，在无零因子环中从$ab=1$得到$aba=a,a(ba-1)=0$，由于$a\neq 0$，故$ba-1=0$，即$ba=1$.

我们知道，例如，在环$M_n $中，可逆元素恰为行列式不为零的矩阵.一个可逆元素$a$不可能是零因子：

$$ab=0\Rightarrow a^{-1}(ab)=0\Rightarrow (a^{-1}a)b=0\Rightarrow 1\cdot b=0\Rightarrow b=0$$

（类似地，$ba=0\Rightarrow b=0$）.所以毫不奇怪，成立如下的

定理2$\quad $设$R$是有单位元的环，则环$R$中的全体可逆元素构成一个乘法群$U(R)$.

证明$\quad $事实上，$U(R)$包含单位元，$a\in U(R)\Rightarrow a^{-1}\in U(R)$，且$R$中的乘法满足结合律，因而我们只需验证$U(R)$对于乘法封闭，即从$U(R)$中任取两个元素$a$和$b$，乘积$ab$也在$U(R)$中.但这是显然的，因为

$$(ab)^{-1} =b^{-1}a^{-1} \quad (ab\cdot b^{-1} a^{-1}=a(bb^{-1})a^{-1}=a\cdot 1\cdot a^{-1}=aa^{-1}=1),$$

表明$ab$是可逆的.

不难看到，$U(\mathbb{Z} )=\lbrace \pm 1\rbrace $是一个$2$阶循环群.

如果将环的定义中的公理$\mathrm{R} 2)$换成更强的条件，我们可以得到一类非常有趣的环称为除环或斜环.

$\mathrm{R} 2’)\;R^{\ast } =R\backslash \lbrace 0\rbrace $关于乘法运算构成一个群.

除环永远没有零因子，其中的每一个非零元素都可逆，在交换除环中，加法和乘法运算几乎是完全对称的，这种环叫作域.

我们再次强调

定义$\quad $设$P$是一个有单位元$1\neq 0$的交换环，如果$P$的每一个非零元素都可逆，则称$P$为一个域.群$P^{\ast } =U(P)$叫作域的乘法群.

域是自身的两个阿贝尔群，加法群和乘法群的混合物，它们用分配律联系在一起（现在由于交换性，只用一个分配律就够了）.

乘积$ab^{-1}$一般写成分式的形式$\dfrac{a}{b} $（或比例式，商），为了节省篇幅，有时借助斜线写成$a/b$.分式$a/b$仅当$b\neq 0$时有意义，它是方程$bx=a$的唯一解.

分式的运算遵循下述法则：

$$\begin{array}{l}
\dfrac{a}{b} =\dfrac{c}{d} \Leftrightarrow ad=bd,\quad b,d\neq 0,\\
\dfrac{a}{b} +\dfrac{c}{d} =\dfrac{ad+bc}{bd} ,\quad b,d\neq 0,\\
-\dfrac{a}{b} =\dfrac{-a}{b} =\dfrac{a}{-b} ,\quad b\neq 0,\\
\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} =\dfrac{ac}{bd} ,\quad b,d\neq 0,\\
\left( \dfrac{a}{b} \right) ^{-1} =\dfrac{b}{a} ,\quad a,b\neq 0.\\
\end{array} \label{8} \tag{8} $$

这是在中学就已经知道的通常的法则，但我们不仅需要记住它，也要从域的公理出发推导它，这样做并不困难.我们来看一下法则$\eqref{8} $中第二个式子的推导就足够了.设$x=a/b$，且$y=c/d$分别是方程$bx=a$和$dy=c$的解.从这两个方程得到

$$dbx=da,bdy=bc\Rightarrow bd(x+y)=da+bc\Rightarrow t=x+y=\dfrac{da+bc}{bd} $$

是方程$bdt=da+bc$的唯一解.

如果域$P$中的子环$F$自身也是一个域，则称$F$为$P$的子域.例如有理数域$\mathbb{Q} $是实数域$\mathbb{R} $的子域.

当域$F\subset P$时，我们也称$P$是$F$的一个扩域.由子域的定义易见，域$P$的零元和单位元属于$F$，并且也是$F$的零元和单位元.若某元素$a\in P$，但$a\notin F$，取域$P$中包含有$F$和元素$a$的所有子域的交$F_1 $，则$F_1 $是包含有集合$\lbrace F,a\rbrace $最小的子域（论证与群的情况类似，见$\S 2 $习题$1$）.

我们称$F_1 $是由域$F$添加元素$a$得到的扩域，记作$F_1 =F(a)$.类似地，域$P$的子域$F_1 =F(a_1 ,\cdots ,a_n )$是由$F$添加$n$个元素$a_1 ,\cdots ,a_n $得到的.

易见$\mathbb{Q} (\sqrt{2} )$由形如$a+b\sqrt{2} $的数组成，此处$a,b\in \mathbb{Q} $，这是因为$(\sqrt{2} )^2=2$，当$a+b\sqrt{2} \neq 0$时，$\dfrac{1}{a+b\sqrt{2} } =\dfrac{a}{a^2-2b^2} -\dfrac{b}{a^2-2b^2} \sqrt{2} $.对于域$\mathbb{Q} (\sqrt{3} ),\mathbb{Q} (\sqrt{5} )$等等有类似的结果.

域$P$与$P’$称为同构的，若它们作为环是同构的.根据定义，对于任意同构映射$f$，$f(0)=0’,f(1)=1’$.谈域的同态意义不大，因为

$$\begin{align}
\ker f\neq 0 & \Rightarrow f(a)=0,a\neq 0\Rightarrow f(1)=f(aa^{-1})=f(a)f(a^{-1})=0\cdot f(a^{-1})=0\\
& \Rightarrow \forall b,f(b)=f(1\cdot b)=f(1)f(b)=0\cdot f(b)=0\Rightarrow \ker f=P. \\
\end{align}$$

但是，域的自同构，即域$P$到自身的同构映射与域的最本质的性质紧密相联，也是在伽罗瓦理论中研究这些本质性质的强有力的工具.

域扩张的概念源自人类扩大数的范围的愿望.这一漫长的历史过程可以粗略地体现在下图中：

$$\begin{align}
\lbrace 1\rbrace \rightsquigarrow \lbrace 1+1=2\rbrace & \rightsquigarrow \mathbb{N} \rightsquigarrow \lbrace \mathbb{N} ,0\rbrace \rightsquigarrow \\
& \rightsquigarrow \mathbb{Z} \rightsquigarrow \mathbb{Q} \rightsquigarrow \mathbb{Q} (\sqrt{2} )\rightsquigarrow \mathbb{R} \\
\end{align}$$

这个过程延续至今，形成了分支众多的域系，已经远离了人们所熟悉的通常的数系.在这一过程中，并非每个阶段都是纯代数的.例如从有理数过渡到实数时，使用了连续性和完备性的概念（柯西序列极限的存在性），这件事已在数学分析课程中讲过了.用完全类似的方法可以构造$p-\mathrm{adic} $数域，我们在这里不对它展开讨论，在此基础上引出的现代$p-\mathrm{adic} $分析是数学的三个分支：数论、代数和分析的杰出产物.

域的特征

我们在第$2$段中构造了有限剩余类环$\mathbb{Z}_m $，其元素为

$$\overline{0} ,\overline{1} ,\overline{2} ,\cdots ,\overline{m-1} ,$$

加法运算是$\overline{k} +\overline{l} =\overline{k+l} $，乘法运算是$\overline{k} \cdot \overline{l} =\overline{kl} $（我们不再使用符号$\oplus $和$\odot $）.如果$m=st$，$s > 1,t > 1$，则$\overline{s} \cdot \overline{t} =\overline{m} =\overline{0} $，即$\overline{s} $和$\overline{t} $是$\mathbb{Z}_m $中的零因子.

现在设$m=p$是一个素数.我们断言，$\mathbb{Z}_p $是一个域（它包含$p$个元素）.当$p=2,3$时，从第$2$段中的乘法表可直接看出这一点.在一般情况下，只要对任意$\overline{s} \in \mathbb{Z}_p^{\ast } $，指出逆元$\overline{s}’$的存在性就可以了（整数$s$和$s’$显然不能被$p$整除）.

考察元素

$$\overline{s} ,\overline{2s} ,\cdots ,\overline{(p-1)s} .\label{9} \tag{9} $$

它们都不等于零，这是因为当$k=1,2,\cdots ,p-1$时

$${s\not\equiv 0\pmod p } \Rightarrow {ks\not\equiv 0\pmod p },$$

这里用到了$p$是素数.同理可证，$\eqref{9} $式中的元素两两不等：若$k < l$，而$\overline{ks} =\overline{ls} $，则$\overline{(l-k)s} =\overline{0} $，这是不可能的.于是除了排列的顺序，$\eqref{9} $中元素的序列与序列

$$\overline{1} ,\overline{2} ,\cdots ,\overline{p-1} $$

重合.特别地，可以找到整数$s’$，$1\leq s’\leq p-1 $，使得$\overline{s’s} =\overline{1} $.这就表明$\overline{s’} \overline{s} =\overline{1} $，即$\overline{s’} $是$\overline{s} $的逆元.这样我们就证明了下述的

定理3$\quad $剩余类环$\mathbb{Z}_m $是一个域，当且仅当$m=p$是一个素数.

推论（费马小定理）$\quad $设$p$是素数，$m$是一个不能被$p$整除的整数，则有同余式

$${m^{p-1} \equiv 1\pmod p} .$$

证明$\quad $我们已经看到，两个集合

$$\lbrace \overline{m} ,\overline{2} \overline{m} ,\cdots ,\overline{(p-1)} \overline{m} \rbrace =\lbrace \overline{1} ,\overline{2} ,\cdots ,\overline{p-1} \rbrace .$$

（在$\eqref{9} $式中将$s$换成$m$，并注意到等式$\overline{km} =\overline{k} \overline{m} ,k=1,\cdots ,p-1$）.将左右两个集合的全体元素分别连乘，我们得到

$$\left( \prod_{k=1}^{p-1} \overline{k} \right) \overline{m}^{p-1} =\prod_{k=1}^{p-1} \overline{k} .$$

因为$\mathbb{Z}_p $是无零因子环，根据定理$1$，乘积$\displaystyle \prod_{k=1}^{p-1} \overline{k} \neq 0$，故可约去，得到$\overline{m}^{p-1} \equiv \overline{1} $.换成同余的语言，即得到所需的式子.

比费马小定理更一般的欧拉定理成立，但该定理的必要性只有在$[BAII]$中给出.

尽管域$\mathbb{Z}_2 ,\mathbb{Z}_3 ,\mathbb{Z}_5 ,\cdots $与我们已知的域$\mathbb{Q} ,\mathbb{Q} (\sqrt{2} ) ,\mathbb{R} $如此不同，但它们在域论中占据的地位与我们熟知的$\mathbb{Q} $的相应地位是一致的.这件事可作如下说明.设$P$是域.我们已经知道任取子域族$\lbrace P_i \vert i\in I\rbrace $，其交集$\displaystyle \underset{i}{\bigcap} P_i $仍是$P$的子域.

定义$\quad $一个域如果不包含任意真子域，则称之为素域.

定理4$\quad $任意一个域$P$包含一个素域$P_0 $.$P_0 $同构于$\mathbb{Q} $或$\mathbb{Z}_p $，其中$p$是一个素数.

证明$\quad $假设存在两个不同的素域$P’,P’’\subset P$，则它们的交$P’\cap P’’$是不同于$P’$和$P’’$的一个域（交是非空的，因为$0$和$1$既包含在$P’$中，也包含在$P’’$中）.根据$P’$和$P’’$的素性，这是不可能的.因而素域$P_0 \subset P$如果存在，必须是唯一的.

域$P$中包含有元素$1$以及$1$的任意倍数$n\cdot 1=1+1+\cdots +1$.根据在一个环中元素的加法与乘法的运算性质（见第$1$段最后），

$$s\cdot 1+t\cdot 1=(s+t)\cdot 1,(s\cdot 1)(t\cdot 1)=(st)\cdot 1;s,t\in \mathbb{Z} .$$

我们来定义一个映射$f\colon \mathbb{Z} \to P$，由$f(n)=n\cdot 1$给出，易见$f$是一个同态，其核为$\ker f=m\mathbb{Z} $，如果$m=0$，则$f$是单同态，分式$(s\cdot 1)/(t\cdot 1),s,t\in \mathbb{Z} ,t\neq 0$，在$P$中有意义（因为$P$是域），它们组成与$\mathbb{Q} $同构的域$P_0 $.即为$P$的素子域.

如果$m > 0$，那么显然如下定义的映射

$$f^{\ast } \colon \overline{k} =\lbrace k\rbrace_m \mapsto f(k) $$

是一个嵌入$\mathbb{Z}_m \to P$.根据定理$3$，当且仅当$m=p$为素数是才有可能.这时$f^{\ast } (\mathbb{Z}_p )$是$P$的素子域.

定义$\quad $称域$P$有特征零，若$P$的素子域$P_0 $同构于$\mathbb{Q} $；称域$P$有素（或有限）特征$p$，若$P_0 \simeq \mathbb{Z}_p $.分别记作$\mathrm{char} P=0$或$\mathrm{char} P=p > 0$.

通常用$\mathbb{F}_p $或$\mathrm{GF} (p)$（伽罗瓦域）作为$p$元“抽象”域的符号代替$\mathbb{Z} $.令$p$是素数，$n$是任意正整数，$q=p^n $，存在$q$元有限域$\mathrm{GF} (q)$.我们将在$[BAII]$中回到这个有趣的问题上来，现在仅给出一个例子，描述带有$4$个元素$\lbrace 0,1,\alpha ,\beta \rbrace $的域：

$$
\mathrm{GF} (4) \colon \quad \begin{array}{c|cccc}
{+} & 0 & 1 & \alpha & \beta \\
\hline
0 & 0 & 1 & \alpha & \beta \\
1 & 1 & 0 & \beta & \alpha \\
\alpha & \alpha & \beta & 0 & 1 \\
\beta & \beta & \alpha & 1 & 0 \\
\end{array} \quad
\begin{array}{c|cccc}
\cdot & 0 & 1 & \alpha & \beta \\
\hline
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & \alpha & \beta \\
\alpha & 0 & \alpha & \beta & 1\\
\beta & 0 & \beta & 1 & \alpha \\
\end{array}
$$

$\alpha $和$\beta $是什么并不重要.读者不妨自行验证加法和乘法满足分配律.

特征零表明在域$P$的加法群中，元素$1$的阶是无限的.类似地，有限特征$p$表明，在域$P$的加法群中，任意非零元素的阶是$p$：

$$px=x+\cdots +x=1\cdot x+\cdots +1\cdot x=(1+\cdots +1)\cdot x=(p\cdot 1)x=0.$$

关于线性方程组的注记

现在将目光转向前几章的线性方程组和行列式理论.我们讨论过的线性方程组的系数和矩阵中的元素是数（有理数或实数），但并未用到这些数的特性.因而用指定域$P$中的元素代替数不会有任何障碍.这时结果应当用域$P$的术语来阐述：线性方程组解的分量和函数$\det $的值均在$P$中.解线性方程组的高斯算法，行列式理论，克拉默法则对任意域$P$仍然有效（即没有变化）.

例7$\quad $设给定一个齐次线性方程组$AX=0$，系数矩阵为

$$
A=(a_{ij} )=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
-10 & 13 & 14 & 15 \\
12 & -9 & 14 & 15 \\
12 & 13 & -8 & 15 \\
\end{pmatrix}
$$

未知数所成的列向量为$X=[x_1 ,x_2 ,x_3 ,x_4 ]$，直接计算可得$\det A=2^3 \cdot 11^3 $.从而令$P$是任意特征零或特征$p\neq 2,11$的域（这时整数$1,2,3,4,-10,\cdots ,15$可由相应的剩余类代替），$a_{ij} ,x_k \in P$，则方程组是确定的，仅有唯一的平凡解$X=0$.

如果$\mathrm{char} P=2$（例如$P=\mathbb{Z}_2 $），那么根据同余式

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
-10 & 13 & 14 & 15 \\
12 & -9 & 14 & 15 \\
12 & 13 & -8 & 15 \\
\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} \pmod 2
$$

我们得知系数矩阵的秩为$2$，方程组有两个线性无关的解$X_1 =[1,0,1,0],X_2 =[0,1,0,1]$.为避免混淆，本应写成$X_1 =[\overline{1} ,\overline{0} ,\overline{1} ,\overline{0} ],X_2 =[\overline{1} ,\overline{0} ,\overline{1} ,\overline{0} ]$，但是我们已经有充分的准备去领会简化的记法.

如果$\mathrm{char} P=11$，则同余式

$$
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
-10 & 13 & 14 & 15 \\
12 & -9 & 14 & 15 \\
12 & 13 & -8 & 15 \\
\end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
1 & 2 & 3 & 4 \\
\end{pmatrix} \pmod {11}
$$

得到，方程组有$3$个线性无关的解

$$X_1 =[9,1,0,0],X_2 =[8,0,1,0],X_3 =[7,0,0,1].$$

正如我们已经看到那样，方程组解的个数依赖于域$P$，但解方程组的过程与平常没有任何不同.从$\mathbb{Q} $和$\mathbb{R} $过渡到一般域的好处之一是避免了论述中的重复.但还有更重要的原因.

直到现在当我们谈到一般线性群时，总是指系数取自$\mathbb{Q} $或$\mathbb{R} $的全体非退化矩阵组成的群.系数取自域$P$的$n$阶方阵的全体构成矩阵环$M_n (P)$，而所有非退化矩阵$A\in M_n (P)$（$\det A\neq 0$的矩阵）构成域$P$上的一般线性群$\mathrm{GL}_n (P)$.改变域$P$，例如取$P=F_p $，就可以自然地得到一系列重要的群（见$[BAII]$）.

形如$\mathbb{R} ,\mathbb{Q} ,\mathbb{Q} (\sqrt{2} )$的域通常称为数域.域$\mathbb{F}_p $是一个非数域的例子：不正规地称其元素为数，仅仅基于这些元素可与整数集$\lbrace 0,1,\cdots ,p-1\rbrace $等同看待.

在第$1$章$\S 2$中我们提到过有限域在编码理论中的应用（问题$3$）.现在给出这个课题的一个小例子.

例8$\quad $为了传送$PEACE$一词，原则上利用四个基本信息单元

$$P=(0,0),\quad E=(1,0),\quad A=(0,1),\quad C=(1,1)$$

就够了，我们的译码可看作二元域$\mathbb{F}_2 \cong \mathbb{Z}_2 =\lbrace 0,1\rbrace $上的二维向量空间$\mathbb{F}_2^2 $的行向量.但是在传送过程中，可能发生干扰（将$0$变为$1$或$1$变为$0$），结果终端得到的可能是，例如$APACE$，根据香农（$\mathrm{Shannon} $）的基本定理，增加基本信息单元的长度（即增加传送的行向量的长度）可以清除干扰.假设根据传送条件知道，在每个长为$5$的基本信息单元中最多出现一个失真.那么在向量空间$S=\mathbb{F}_2^5 $中取子集

$$S_0 =\lbrace P=(0,0,1,1,0),E=(1,0,0,1,1),A=(0,1,1,0,1),C=(1,1,0,0,0)\rbrace ,$$

称之为编码向量.

$$
\begin{array}{c|c|c|c|c}
\hline
编码向量 & 00110 & 10011 & 01101 & 11000 \\
\hline
& 00010 & 00011 & 00101 & 01000 \\
编码向量失真后 & 00100 & 10001 & 01001 & 10000 \\
得到的向量 & 00111 & 10010 & 01100 & 11100 \\
& 01110 & 10111 & 01111 & 11001 \\
& 10110 & 11011 & 11101 & 11010 \\
\end{array}
$$

从表中可以看到，不同列中的失真向量的集合交为空，因此正确的结果是可能得到的，也就是说，可以恢复真实的信息.

我们得到了可以纠正一个错误的编码$S_0 $，对于充分大的维数$n$，利用向量空间$\mathbb{F}_2^n $，可以构造类似的编码，没有错误地传送所有的字母，从而准确地传送任何文章，为了避免过长和过于缓慢的译码，$S_0 $要经过专门的选择.有许多办法可以做到这一点，其中包括利用有限域$\mathbb{F}_q $的纯代数方法.

习题

$1$.拓展$\S 1$例$2$的想法，证明集合$\mathcal{P} (\Omega )$在运算

$$A+B=(A\cup B)\setminus (A\cap B),AB=A\cap B,A,B\in \Omega $$

之下是一个有单位元的环，其加法群的元素阶为$2$.

$2$.如果环中的任意元素$x$满足方程$x^2 =x$，证明该环是交换环.若条件改为$x^3 =x$，结论还成立吗？

$3$.域$\mathbb{Q} (\sqrt{2} )$和$\mathbb{Q} (\sqrt{5} )$同构吗？

$4$.证明交换环的满同态像仍是交换环.

$5$.证明任意有限整环$R$是一个域.

证明：设$R$是有限整环.对于任一$a\in R,a\neq 0$，由整环的乘法消去律知映射

$$\begin{align}
\varphi \colon & R\to R, \\
& x\mapsto ax \\
\end{align}$$

是单射.而$R$有限，故$\varphi $是满射.于是存在$b\in R$满足$ab=1$，即$a$可逆.所以$R$是域.

$6$.设$p$是素数，$R$是有单位元的交换环，使得任取$x\in R ,px=0$.证明

$$(x+y)^{p^m} =x^{p^m} +y^{p^m} ,m=1,2,\cdots .$$

提示：对$m$作归纳，注意到二项系数$\displaystyle {p \choose k} $当$0 < k < p$是被$p$整除.

$7$.证明含有$5$个元素的环或同构于$\mathbb{Z}_5 $，或是带有零乘法的环.

$8$.环$R$的非零元素$x$称为幂零的，若存在$n\in \mathbb{N} $，使得$x^n =0$.证明：

$1)$若$R$是任意有单位元的环，$x$是幂元，则$1-x$是可逆元；

$2)$环$\mathbb{Z}_m =\mathbb{Z} /m\mathbb{Z} $包含有幂零元，当且仅当$m$可以被一个大于$1$的整数的平方整除.

证明：$1)$由$(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1} )(1-x)=(1-x)(1+x+x^2+\cdots +x^{n-1} )=1$，可知$1-x$是可逆元.

$9$.若环$R$有单位元，且基数$\vert R\vert $是无限的，则非零不可逆元素的个数不可能是一个有限整数.

提示：用反证法.设$N=\lbrace a_1 ,\cdots ,a_n \rbrace $是环$R$中所有的非$0$不可逆元素的集合.对任意$x\in R\setminus (N\cup \lbrace 0\rbrace )$，映射$\rho_x \colon a_i \mapsto xa_i $是$N\to N$的一个双射映射$\rho \colon x\mapsto \rho_x $的核$\ker \rho $是无限的.

$10$.设$R$是任意有单位元$1$的结合环，$a,b$是$R$的元素.证明

$$(1-ab)c=1=c(1-ab)\Rightarrow (1-ba)d=1=d(1-ba),$$

其中$d=1+bca$，即$1-ab$在$R$中可逆意味着$1-ba$也可逆.元素$1+adb$等于什么？

$11$.证明矩阵$\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$，其中$a,b\in \mathbb{Z}_3 $，构成一个$9$元域，而这个域的乘法群是$8$阶循环群.

$12$.在本节最后的例$2$中构造的编码$S_0 $能否纠正两个错误？