习题

$1$.找出使$z^2+(1+i)z$为纯虚数的所有模为$1$的复数$z$.在复平面$\mathbb{C} $上画出这些点的轨迹.

$2$.设复数$\delta $满足方程$\delta ^4 =-1$，域$\mathbb{R} (\delta )$由$\mathbb{R} $添加$\delta $得到.关于$\mathbb{R} (\delta )$我们能说些什么？

$3$.设$A,B\in M_n (\mathbb{R} )$.根据定理$1$证明$\det (A+iB)=\det (A-iB)$（加横线表示复共轭）.

$4$.设$A,B\in M_n (\mathbb{R} )$，

$$C=\begin{pmatrix} A & B \\ -B & A \end{pmatrix} \in M_{2n} (\mathbb{R} ).$$

对实矩阵$C$施行复数域$\mathbb{C} $上的$I$型和$II$型初等变换证明

$$\det C=\vert \det(A+iB)\vert ^2 .$$

$5$.（波利亚和塞格）.利用习题$3$和$4$给出下述“奇怪”现象的解释.带有复系数$d_{kl} =a_{kl} +ib_{kl} $和未知数$z_i =x_i +iy_i $的方形齐次线性方程组

$$\begin{align}
d_{11} z_1 +\cdots +d_{1n} z_n =0,\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
d_{n1} z_1 +\cdots +d_{nn} z_n =0
\end{align} \label{1} \tag{*} $$

有非平凡解$(z_1 ,\cdots ,z_n )$，当且仅当$\det (d_{kl} )=a+ib=0$（关于这一点见第$4$章$\S 3$第$6$段 说明）.这个条件引出了两个方程$a=0,b=0$，它们联系到$2n^2 $个实数值$a_{kl} ,b_{kl} $.另一方面，方程组$\eqref{1} $可以写成带有$2n$个实未知数$x_i ,y_i$的$2n$个齐次线性方程组.现在非平凡解存在的条件是，单独一个$2n$阶实行列式等于零，它仅由关于$a_{kl} ,b_{kl} $的一个方程给出.这两个结果是怎样相容的？

$6$.找出二次域$\mathbb{Q} (\sqrt{d} )$的自同构，它应该保持有理数不变.

提示：恒等映射和映射$a+b\sqrt{d} \mapsto a-b\sqrt{d} $.

$7$.当$n > 1$时，$1$的所有$n$次方根的和等于什么？求$1$的$12$次本原根的和，以及$15$次本原根的和.

$8$.证明$\zeta =(2+i)/(2-i)$不是$1$的根，尽管$\vert \zeta \vert =1$.

提示：$\zeta ^n =1\Rightarrow (2-i)^n =(2+i)^n=(2-i+2i)^n=(2-i)^n +\cdots +(2i)^n \Rightarrow (2-i)(a+bi)=(2i)^n\Rightarrow 5(a^2+b^2)=2^{2n} \Rightarrow 5\vert 2^{2n }$，得到矛盾.

$9$.集合$S^1 =\lbrace e^{i\varphi } \vert \varphi \in \mathbb{R} \rbrace $（以$1$为半径的圆）组成$\mathbb{C}$的乘法群$(\mathbb{C} ^{\ast } ,\cdot )$的一个子群.任意$\mathbb{R} -$线性映射$f\colon \mathbb{C} \to \mathbb{C} $叫作正交的，若$(f(z)\vert f(z’))=(z\vert z’)$，即若$f$保存向量的长度（两点间的距离）.证明如果$f(z)=cz$或$f(z)=c\overline{z} $，其中$c\in S^1 $，则$f\colon \mathbb{C} \to \mathbb{C} $是正交的.

$10$.证明

$$\begin{vmatrix} x_0 & x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} \\ x_{n-1} & x_0 & x_1 & \cdots & x_{n-2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_0 \end{vmatrix} =\prod_{k=0}^{n-1} (x_0 +\zeta ^k x_1 +\zeta ^{2k} x_2 +\cdots +\zeta ^{(n-1)k} x_{n-1} ),$$

其中$\zeta $是$1$的一个$n$次本原根.