插值法的最简单问题$\cdot $拉格朗日公式

设有定义在区间$[a,b]$上的某函数$f(x)$，已算出它在区间内点$x_0 ,x_1 ,\cdots ,x_m $处的$m+1$个值.

$$f(x_0 ) ,f(x_1 ),\cdots ,f(x_m ),\label{1} \tag{1} $$

而要从这些值来算出$x$为任一新值处的函数值$f(x)$.

这就是插值法的最简单问题.这样来提问题，有许多地方是不确定的.平常，我们来这样来理解这一问题：求一次数最小的多项式$L(x)$，使它在所给点$x_i (i=0,1,\cdots ,m)$（所谓插值法的结点）与$f(x)$取相同的数值$f(x_i )$而在$[a,b]$的任何$x$，近似地设

$$f(x)=L(x).\label{2} \tag{2}$$

这一类的近似等叫做插值公式.因此，第一步是要找出近似公式，然后在对函数$f(x)$的一定假设下估计近似公式$\eqref{2}$的误差.

为求满足条件

$$L(x_i )=f(x_i )\quad (i=0,1,\cdots,m)\label{3} \tag{3}$$

的多项式$L(x)$，可引用$m$次多项式

$$l_k (x)=\dfrac{(x-x_0 )\cdots (x-x_{k-1}) (x-x_{k+1}) \cdots (x-x_m )}{(x_k -x_0 )\cdots (x_k -x_{k-1}) (x_k -x_{k+1}) \cdots (x_k -x_m )} ,(k=0,1,\cdots ,m)$$

相应于下标为$k$的每一这种多项式，在$x=x_k $时取值$1$，而在$x=x_i (i\neq k)$时取值$0$.这样，显然可知多项式

$$L(x)=\sum_{k=0}^m f(x_k )l_k (x) \label{4} \tag{4}$$

满足$\eqref{3}$中的一切条件.这多项式的次数不高于$m$，因此它可为条件$\eqref{3}$所唯一确定；它叫做拉格朗日插值多项式，而近似等式$\eqref{2}$叫做拉格朗日插值公式.

注意，若引用如在插值结点$x_0 ,x_1 ,\cdots ,x_m $处等于$0$的下面表达式

$$\omega (x)=(x-x_0 )(x-x_1 )\cdots (x-x_m ),$$

则多项式$l_k (x)$可以写得更加紧凑些.即，我们显然有

$$(x-x_0 )\cdots (x-x_{k-1} )(x-x_{k+1} )\cdots (x-x_m )=\dfrac{\omega (x)}{x-x_k } \quad (x\neq x_k ),$$

而

$$\begin{align}
& (x_k -x_0 )\cdots (x_k -x_{k-1} )(x_k -x_{k+1} )\cdots (x_k -x_m ) \\
= & \lim_{x\to x_k } \dfrac{\omega (x)}{x-x_k } \\
= & \lim_{x\to x_k } \dfrac{\omega (x)-\omega (x_k )}{x-x_k } \\
= & \omega’ (x_k ).
\end{align}$$

于是

$$l_k (x)=\dfrac{\omega (x)}{\omega’ (x_k ) (x-x_k )} ,L(x)=\sum_{k=0}^m \dfrac{\omega (x)}{\omega’ (x_k ) (x-x_k )} \cdot f(x_k ).$$

拉格朗日公式的余项

现在来估计差式$f(x)-L(x)$，其中$x$是区间$[a,b]$上任何固定的值，但异于插值结点.设$f(z)$在这区间上具有到$(m+1)$阶的导数.

不管$K$是什么样的常数，函数

$$\varphi (z)=f(z)-L(z)-K\cdot \omega (z)$$

也有$m+1$阶导数而且也在结点$x_i (i=0,1,\cdots ,m)$等于$0$.现在我们这样选择常数$K$，使$z=x$时还有$\varphi (x)=0$，即设

$$K=\dfrac{f(x)-L(x)}{\omega (x)} $$

（因$x\neq x_i $，故$\omega (x)\neq 0$）.依罗尔定理$[111]$，在函数$\varphi (z)$的$m+2$个根$x,x_0 ,x_1 ,\cdots ,x_m $之间的$m+1$个区间上，可有其导数$\varphi’ (z)$的$m+1$个不同的根.对函数$\varphi’ (z)$及其$m+1$个根之间的$m$个区间上再应用罗尔定理，便可知二阶导数$\varphi’’ (z)$有$m$个不同的根，等等.这样推下去，到第$m+1$步，便推得第$m+1$阶导数$\varphi^{(m+1)} (z)$有根$\xi$，因而

$$\varphi^{(m+1)} (\xi )=0\quad (a < \xi < b),\label{6} \tag{6}$$

但$L^{(m+1)} (z)\equiv 0$，因为多项式$L(z)$是不高于$m$次的，而$\omega^{(m+1)} \equiv (m+1)!$依辅助函数$\varphi (z)$的定义，有

$$\varphi^{(m+1)} (z)=f^{(m+1)} (z)-K\cdot (m+1)!,$$

故自$\eqref{6}$可得

$$K=\dfrac{f^{(m+1)} (\xi )}{(m+1)!} .$$

最后，自$\eqref{5}$求得

$$f(x)=L(x)+\dfrac{f^{(m+1)} (\xi )}{(m+1)!} \omega (x) \quad (a < \xi < b).\label{7} \tag{7}$$

这便是带余项的拉格朗日插值公式.它与$\eqref{2}$不同，是准确等式！

附注$\quad $若在区间$[a,b]$上

$$\max{\vert f^{(m+1)} (z)\vert } =M_{m+1} < \infty ,$$

则由于在这区间上$\vert \omega (z)\vert \leqslant (b-a)^{m+1} $，便得公式$\eqref{2}$的误差的下列估计式

$$\vert f(x)-L(x)\vert \leqslant \dfrac{M_{m+1}}{(m+1)!} (b-a)^{m+1} .$$

右边只对很窄的一类函数$f(x)$才在$m\to \infty $时趋于$0$；例如，对于在$[a,b]$上可微分任意次的，且所有导数都以同一常数$M$为上界的那种函数，便有这种情形.这时，随着插值结点个数的增多，而不管这些结点是依什么规律的，公式$\eqref{2}$的误差将均匀趋近于零.据马尔钦凯维奇（J.Marcinkiewicz）证明，对任取的连续函数，可适当选择一序列结点组，达到上述目标.但根据法贝尔（G.Faber）定理，并没有这样一种选取结点的规律，使其能在上述意义下同时适用于所有的连续函数.关于这一类问题以及有关问题的详情，我们这里不可能细讲了.

有重结点的插值法$\cdot$埃尔米特公式

我们可以提出更一般的插值法问题，即在结点$x_0 ,x_1 ,\cdots ,x_m $处不仅给定函数$f(x)$本身的值，而且还给定其各阶导数的值：

$$\left. \begin{array}{l}
f(x_0 ),f’(x_0 ),\cdots ,f^{((n_0 )} (x_0 ) ,\\
f(x_1 ),f’(x_1 ),\cdots ,f^{((n_1 )} (x_1 ) ,\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
f(x_m ),f’(x_m ),\cdots ,f^{((n_m )} (x_m ) ,\end{array} \right\rbrace \label{8} \tag{8}$$

其中$n_0 ,n_1 ,\cdots ,n_m $是非负的整数.这些条件的总数是

$$(n_0 +1)+(n_1 +1)+\cdots +(n_m +1)=N.$$

利用$\eqref{8}$中所有条件，来计算函数$f(x)$在$[a,b]$中异于任何结点的$x$处的值，这一问题，也像以前一样，应这样来理解：求次数最低的多项式$H(x)$，它以及它的直到$n_i $阶的导数；在每一结点$x_i $处，与函数$f(x)$本身及其相应各阶导数，取同样的一些数值，然后近似地设

$$f(x)=H(x)\label{9} \tag{9}$$

基点$x_i $分别叫做$n_i +1$重的插值结点.

可以证明，不高于$N-1$次的，且满足一切所设条件的多项式$H(x)$是存在的而且是唯一的.这叫埃尔米特插值公式，而公式$\eqref{9}$叫做埃尔米特（Ch.Hermite）插值公式.

若设所有的$n_i $等于零，我们就又回到拉格朗日公式$\eqref{2}$，但埃尔米特公式还有别的特殊情形：只取一个结点$x_0 $，然而是$n+1$重的；就是说，要求不高于$n$次的多项式$T(x)$，使它以及它的$n$个导数在点$x_0 $的值，各与函数$f(x)$及其各阶导数的值相同.我们知道，满足这些条件的是泰勒多项式$[124(6)]$.

$$T(x)=f(x_0 )+\dfrac{f’(x_0 )}{1!} (x-x_0 )+\cdots +\dfrac{f^{(n)} (x)}{n!} (x-x_0 )^n ,$$

所以近似公式

$$f(x)=T(x)$$

[比较$127$]也是埃尔米特插值公式的特例.

使公式$\eqref{9}$成为准确等式的余项，也可用相似于上段中的步骤推导出来.试考察$N$次多项式

$$\Omega (z)=(z-x_0 )^{n_0 +1} (z-x_1 )^{n_1 +1} \cdots (z-x_m )^{n_m +1} ,$$

并在$a\leqslant z\leqslant b$上设

$$\Phi (z)=f(z)-H(z)-K\cdot \Omega (z),$$

而$K=$常数.

若设函数$f(x)$在$[a,b]$上有相继的$n$阶导数，则$\Phi (z)$也是这样的.固定异于结点的$z=x$，而取常数$K$为：

$$K=\dfrac{f(x)-H(x)}{\Omega (x)} \quad (\Omega (x)\neq 0!);\label{10} \tag{10}$$

这样选取$K$之后，函数$\Phi (z)$在$z=x$也等于$0$.如果每个几重根算几个，那么$\Phi (z)$总共就有$N+1$个极好.像以前一样依次应用罗尔定理（只不过函数$\Phi (z)$的每一重根在做了几步之后就要固定下来而作为其相继各阶导数的根），最后便可断定导数$\Phi^{(N)} (z)$在某点$\xi $等于零.由此得

$$K=\dfrac{f^{(N)} (\xi )}{N!} ,$$

依$\eqref{10}$

$$f(x)=H(x)+\dfrac{f^{(N)}(\xi )}{N!} \Omega (x) .\label{11} \tag{11}$$

这就是带余项的埃尔米特公式.

带余项的拉格朗日公式$[\eqref{7} ]$是上式的特殊情形.同样，若只取一个$n+1$重的结点$x_0 $，便得到公式$\eqref{11}$的一个特例，即带拉格朗日余项的泰勒公式$[126(13)]$.