对于科学史家来说，上古时代最重要的要算亚述人、巴比伦人、埃及人和腓尼基人了.其中只有巴比伦人和埃及人对数学进展有某些显著影响，他们单独提供了经得起科学分析的知识核心.随着我们的古文化知识的增加，我们越来越清楚地看到，我们子孙后代应当对这些好几千年前就居住在底格里斯-幼发拉底河以及尼罗河广阔河岸上的民族给予多大的感激啊！

大约在公元前$5000$年，中亚细亚有一个爱好和平的、有艺术修养的并且有才干的民族，离开了他们的家园，落户在底格里斯-幼发拉底河谷（美索不达米亚）.他们和当地居民混合起来产生了一个新民族，叫做苏美尔族.在他们手里，文化达到了比往日更高的水平.他们居住在波斯湾尽头，是旅行商队路线的必经之地，所以养成了从事商业的兴趣，这迟早要导致数学方面知识的形成.从他们发明的灌溉系统可以明显看出，他们已经具有相当可观的工程技能.甚至在今天，仍可看到巨大运河网的遗迹，有些运河的规模相当大，不仅可以灌溉土地，而且还可以提供适当的排水系统.从他们留下的珍贵美术品来看，他们已经有不小的艺术才能.在外来者当中，有些人定居在美索不达米亚，另一些人则在尼罗河谷找到了新居，他们把苏美尔人的影响和知识带到了埃及.这里的文化曾达到很高的水平，数学和医学尤为突出.

由于研究了这些原始人类遗留下来的工具和武器，考古学家已能想象出他们的一些生活习惯.目前的证据还比较零碎，尽管如此，仍有确凿的证据说明初等数学已在他们的生活中起了不小的作用.从实物交易中产生了计数和加法以及度量衡方面的基本运算；在装饰品的粗略制作中逐渐发展起对简单几何图形的了解，这些装饰品现在还可以在他们的庙宇和岩洞的墙壁上看到；土地测量显然用到了一些几何图形，这无疑要导致一定的几何知识的获得；此外，依靠农作物生存的人需要有某种形式的历法来提示季节循环.尽管如此，数学的进展还是缓慢的.原始人只是注意生存斗争，除了猎取食物和本身安全之外，什么都考虑不到.

在上面提到的肥沃原野上，有两个强大的王国分外繁荣.每个王国的人们都逐渐发展出了一套技巧，经过几千年，至今仍使人感到惊奇和钦佩.但他们的成就都是经验知识的结果.无论是巴比伦人还是埃及人，我们都没有证据说明他们对自然现象曾作过耐心的仔细观察，有过概括推理的能力，而缺少它，科学甚至不能开始.

埃及

我们首先转向埃及.如前所述，在数学和医学领域里，埃及有着显著成就.这里我们关心的是前者.商业上和政府中的日常事务导致普通算术运算知识的产生，这些知识很早就成了普通常识，特别是对有闲暇研究它们的祭司阶级来说.埃及的计数制度是十进制，其原理始终是加法.一划表示$1$，两划表示$2$，依此类推；数字$10$是用一个形如反写的大写字母$U$的符号来表示，两个这样的符号表示$20$，如此直到$90$；$100$是用新的记号来表示，像一根卷起来的绳子；还有一个记号像一朵莲花，表示$1\;000$；再一个记号像一根竖着的弯曲手指，表示$10\;000$，如此直到$1\;000\;000$.每个记号都可重复使用$9$次.只要查查俘虏的数目（这些数目无疑是被大大夸大了的），就可以弄清楚埃及人在表示大数方面是毫无困难的.

根据目前保存在牛津Ashmolean博物馆的第一王朝时期（公元前$3400$年以前）的正式王室权标上的记载，当时曾俘获过$120\;000$名俘虏，$400\;000$头牛，$1\;422\;000$只羊.

但是，在他们的符号缺乏位置上的意义时，这种记法很麻烦，为了表示大数，必须用相应多个符号.例如为了表示数字$986$，至少要用$23$个符号.乘法和除法的运算可以化为一系列需要每次倍乘的运算，例如$71$乘以$19$要用如下方法得到结果：

$$\begin{array}{l}
2\times 71 =142 \\
2\times 142=284=4\times 71 \\
2\times 284=568=8\times 71 \\
2\times 568 =1\;136=16\times 71 \\
2\times 71=142=2\times 71 \\
1\times 71 =71=1\times 71
\end{array}$$

最后$3$个数的和就是所求的乘积.除法可通过把上述步骤反过来而得到结果.如果乘以$10$，只需把单位符号改写为$10$倍的符号，依此类推.在乘以$2,5$和$10$的时候，用这种方法不失为一种捷径，这对日常需要来说已经够用了.食物分配和土地分派都要使用分数，而这些事是经常遇到的.但是，他们的做法要求有相当的才能.埃及人表示分数的方法是把分母写出来，再在上面点一点或者画一个卵形线.这种记法有一个明显缺点，就是只有形如$\dfrac{1}{n} $的分数（$n$是整数）才能这样表示.分数$\dfrac23 $或（$1-\dfrac13 $）的写法是例外，这个分数有它自己的特殊符号；除此之外，凡是分子不等于$1$的分数都要分解成若干以$1$为分子的分数之和.例如$\dfrac{2}{13} $都要写成$\dfrac18 ,\dfrac{1}{52} ,\dfrac{1}{104} $.那时没有加法符号，所以就用几个数并列的方法表示加法运算.由于有这些限制，当时不得不编制出一些表来说明如何把分子不等于$1$的分数分解成分子等于$1$的分数之和.分解的实际情形可在莱因德纸草书上的一张表中看出，在这张表上，所有形如$\dfrac{2}{2p+1} $的分数均被分解成以$1$为分子的分数之和，此外$p$表示$1$到$48$的任一整数.例如：

$$\begin{array}{c}
\dfrac25 =\dfrac13 +\dfrac{1}{15} \\
\dfrac27 =\dfrac14 +\dfrac{1}{28} \\
\dfrac29 =\dfrac16 +\dfrac{1}{18} \\
\cdots \\
\end{array}$$

直到$\dfrac{2}{99} =\dfrac{1}{66} +\dfrac{1}{198} $

如果分数的分子不是$2$，则采取如下程序：假定这分数是$\dfrac{7}{29} $，先把它分解成

$$\dfrac{1}{29} ,\dfrac{2}{29} ,\dfrac{2}{29} ,\dfrac{2}{29} $$

这些分数都可通过查表化简.将结果整理后，最后的答案取下列形式：

$$\dfrac{7}{29} =\dfrac16 ,\dfrac{1}{24} ,\dfrac{1}{58} ,\dfrac{1}{87} ,\dfrac{1}{232} $$

这种处理分数的方法是很麻烦的.例如莱因德纸草上说，如果将$9$个面包平分给$10$个人，则每人所得一份是$\dfrac{1}{5} ,\dfrac23 ,\dfrac{1}{30} $.虽然如此，这种方法似乎已能适当满足记录者的需要.现在还没有线索说明这些表是怎样或是由谁编出来的.也许它们是几个书吏共同努力，通过试验而得到的结果.

莱因德纸草书的发现以及$1877$年艾森劳尔对它所作的解释，对我们了解埃及的数学有相当大的帮助.这个文件上标有许多标题，例如：《渗入事物的准确计算》、《生活知识》、《玄机释义》、《秘密大全》等，发表日期大约是在公元前$1650$年，但它是许多世纪以前编写的一部作品的手抄本，由一个叫做阿梅斯的高级祭司完成.这个文件表明埃及人已经发明了解决初等代数问题的方法.“有一堆，其$\dfrac23 $，其$\dfrac12 $，其$\dfrac17 $及其全部，共为$33$，这个堆是多少”，用现代的记法写出来就是：

$$x+\dfrac23 x+\dfrac{x}{2} +\dfrac{x}{7} =33$$

这个问题被正确解出了，答案是$x=14\dfrac{28}{97} $.但其分数部分被分成了几个分子等于$1$的分数之和，写成：

$$\dfrac14 ,\dfrac{1}{97} ,\dfrac{1}{56} ,\dfrac{1}{679} ,\dfrac{1}{776} ,\dfrac{1}{194} ,\dfrac{1}{388} $$

纸草书中有一个问题说明当时已有算术级数的知识.用现代的话来说，这个问题是：要把$100$个面包分给$5$个人，各人所得的份数构成一个算术级数，并且前$3$人所得总数的$\dfrac17 $等于后$2$人所得之和.这个问题的解法早在中世纪就已成为很变通的方法，当时称为试位法（regula falsi）.阿梅斯令第一项最大，这使得公差是负数.他把首项和公差分别称为$a$和$d$，写出了

$$\dfrac{a+(a-d)+(a-2d)}{7} =(a-3d)+(a-4d)$$

由此便得$d=\dfrac{11}{2} (a-4d)$.因此公差是最后一项的$5\dfrac12 $.现在，让我们接着阿梅斯，令最后一项为$1$，于是此级数是

$$23 ,17\dfrac12 ,12 ,6\dfrac12 ,1$$

但其和仅为$60$，而它应当是$100$.所以每一项应当乘以$\dfrac{100}{60} $，因此我们得到下列结果：

$$38\dfrac13 ,29\dfrac16 ,20,10\dfrac56 ,1\dfrac23 $$

另一个问题是：$10$袋大麦分配给$10$个人，要从第一个起，每人所得份数依次增加$\dfrac18 $.问第一个人所得份数是多少？依照上述推理可以证明，答案是$\dfrac{7}{16} $，即$\dfrac14 ,\dfrac18 ,\dfrac{1}{16} $.

在希克索斯纸草书中，有一个问题涉及几何级数的知识.一位妇人的家里有$7$间贮藏室，每间贮藏室里有$7$只猫，每只猫捉了$7$只老鼠，每只老鼠吃了$7$棵麦穗，每棵麦穗可以长出$7$升麦粒.在表示贮藏室、猫等的图画旁边，写有数字$7,49,343,2\; 401 ,16\;807$.贮藏室、猫、老鼠等的总数是给出了，即$19\;607$，但没有指出是用什么方法得到这个数的.毫无疑问，这个问题的作者是用逐项相加这一简单方法得到解答的.没有证据说明作者使用了求和公式，抑或确实是用到几何级数的什么性质.其他问题都是纯实用方面的，例如根据给定的谷物数量确定面包的数量，家畜头数的计算等.

参看$\mathrm{Flinders\; Petrie}$，$The\;Wisdom\;of\;the\;Egyptians$，$89$页.

这些纸草书表明，埃及人在几何方面也能解决某些有实用价值的问题.他们提出了计算土地面积、仓库容积、粮食堆的体积、石料和其他建筑材料多寡等的法则.他们没有给出理论结果，也没有给出计算程序的一般法则.埃及人从未发现过一个实用公式，也没有证据说明他们对日常生活以外的问题感到过什么兴趣.埃及人只要自己的数学知识能应付日常生活中的问题，就已感到满足了.建筑师和测量员的需要，要求有初步的几何知识，但没有证据说明，埃及人曾对几何图形的性质有过什么兴趣，更不用说有什么东西促使他们去证明自己的作图方法正确与否了.虽然如此，他们在建筑活动中达到的精确度还是非常高.在基奥普斯王朝（公元前$2900$年左右）时代建筑起来的金字塔，是由许多巨大的石灰石块组成.这些石块雕刻的精密度是惊人的.金字塔本身建筑在一个非常接近于正方形的基座上，基座每边的平均长度是$755.79$英尺，任何一边与此数值相差不超过$4\dfrac12 $英寸，正方程度和水平程度的平均误差微乎其微.塔基各边的取向是一个明显的证据，说明埃及占星家曾作过非常仔细的观测，其中有两边差不多是指向正北和正南，另两边的设计与垂直线的偏差至多为$3$厘米，这应当说是非常惊人的成就.塔高$481.4$英尺，塔基周长$3\;023.16$英尺，后者与高度之比非常近似于圆的周长与其半径之比.和上古时代的许多其他民族一样，埃及人似乎也已熟悉这样的事实：如果三角形三边的边长与$3,4,5$三个数成正比，则此三角形 是直角三角形.但是，没有可靠的证据说明他们在建筑活动中曾用过这个事实.德谟克利特（公元前$460-$前$370$）曾经骄傲地自夸说：“在不加证明的平面图形作图方面，还没有谁能胜过我，甚至边埃及的测量员也不能.”但这并不意味着能胜任测定神殿方位的测量员曾经用过上述定理，也没有迹象说明它们在工作中曾用过力学原理，甚至建造这样一个伟大建筑物所用的工具也是极为简单的.杠杆和斜面是用到了，但是其他简单的机械，甚至轮轴和滑轮，他们可能都不知道.当时没有使用这些机械的任何实际需要.奴隶劳动力已经够多了，对于这些工程的监工者说来，时间和劳动力的浪费是无足轻重的.

另一方面，驾驭和供养这一大群人会产生一些极为复杂的问题，这些问题迄今尚未得到令人满意的解答.

在连小小一块良田国民都不能忽视其耕种的国家里，在一个土地所有权的观念大大关系到所有者切身利益的国家里，测量技术会显得越来越重要.基于这一事实，埃及人在这个数学分支中必然会得到某些显著成果.尼罗河周期性泛滥后，为了重划地界，需要有高度发达的土地测量技术.希罗多德叙述道，为了使征收赋税公平合理，塞索斯特里斯（拉美西斯二世，公元前$1400$年左右）曾将埃及的土地划分为相等的矩形（或正方形）小块.然而，尼罗河涨水引起的每年一度的洪水，扫除了这些小块的界限，因此不得不派测量员去重新校对征税额.莱因德纸草书上载有$19$个关于土地面积和谷仓容积的问题，这些问题都以惊人的准确性被算了出来.纸草书的第三片，讲到如何去确定正方形和矩形、三角形和梯形以及能分割成这些形状的土地的面积.前二者的面积计算结果是正确的，至于三角形和梯形，则有一些疑点.有一个图形画的是一个底边长度为$4$的三角形，另外两边之一量出来是$10$，而面积注明是$20$.这就发生一个问题：这三角形是否是等腰的？如果是的话，上述答案就是不正确的.抑或是直角三角形？在此情形下，答案就是正确的了.虽然一般认为这个三角形是要画成等腰的，但无法理解的是，已经具有相当丰富数学知识的埃及人竟会产生这样的错误.很可能是因为这个图画得太拙劣，只是一个粗略的草图，所以看起来像一个等腰的三角形，而实际上是直角三角形.同样，有一个显然为等腰的梯形，面积注明是$100$，而预期应为$99.875$.这也许同样可以归咎于作图方法的拙劣，在两条看来是相等的边当中，有一条也许是垂直于两条平行边的.

关于圆面积的计算，埃及人的结果比上古时代任何其他民族的结果都更准确.这从莱因德纸草书中的一个例子可以看出.例子是要求算出一块圆形土地的面积.“有一块$9$凯特（即直径为$9$）的圆形土地，其面积多大？今取去直径的$\dfrac19 $，亦即$1$”，作者直接写道，“则余$8$.作乘法，$8$乘以$8$，得$64$.这个大小就是面积.”

$\mathrm{Chace} ,The\; Rhind\; Mathematical\; Papryrus.$

纸草书在同样方针的指导下，确定了一个直径为$9$，高度为$10$的圆柱形谷仓的容积.“首先给定谷仓的周围是$9$，高度是$10$.今从$9$中除去$\dfrac19 $，剩下$8$；将此数乘以$8$，得$64$；再将此数乘以$10$，便得$640$.”

$\mathrm{Flinders\;Petrie} ,The\; Wisdom\; of\; the\; Egyptians,35$页.

由此可见，他们认为面的面积等于一个连长为此圆直径的$\dfrac89$的正方形的面积，这个结果导致圆周长与其直径之比是$3.16$.

上一结果可能是用如下方法得到的.埃及人已经直棱柱的体积等于底面积乘以高，并且知道这一结果对于圆柱形仍然成立.所以他们就取一个底面直径为$d$的圆筒，注水于其中，直到一定的高度，譬如说$h$.再将水倒进另一立方体容器内，此立方体的连长也是$d$，并调整水量直至其高度也达到$h$.现在比较两个容器里的水量，也许是用称重量的方法，显然，它们与容器的底面积成正比，即成比$(kd)^2\colon d^2 $，此处$(kd)^2$是圆的底面积.这个比值被求出为$\dfrac{61}{84} $，据此便可得出上述结果.

在另一问题中，一个直径为$8$的半球形碗的体积被求出是$136.53$.这导致圆周与其直径之比的一个不太准确的数值$3.2$.

我们说过，埃及人已经知道如何计算圆柱体和直棱柱的体积.在许多问题中计算了这些形状的仓库的容积.但是，他们最惊人的成就却在于两端是正方形的棱台体积的计算.莫斯科纸草书上清楚地说过这个问题：“你这样说：一个棱台$6$腕尺高，底面每边$4$腕尺，顶面每边$2$腕尺.你这样做：将$4$自乘，得$16$（底边的平方$=16$）.再将$4$乘以$2$，得$8$，它就是底边乘以顶边.再将$2$自乘，得$4$（顶边$2$的平方$=4$）.将$16$加$8$再加$4$（底面、中截面与顶面的面积之和），得$28$.再取$6$的$\dfrac13 $（高的$\dfrac13 $）得$2$.再取$28$的两倍，得$56$（三个面积之和乘以高的$\dfrac13 $）.看，这个$56$正好就是你要求的体积.”

$\mathrm{Flinders\;Petrie} ,The\; Wisdom\; of\; the\; Egyptians,39$页.

这个惊人的结果表明，埃及人早在公元前$1850$年就已熟悉确定两端为正方形的棱台体积的方法了.它也就是我们今天用公式$V=\dfrac{h}{3} (A^2 +AB+B^2) $所表示的方法.

土地面积的问题明白地指出这样一个事实：埃及人已经熟悉二次方程.有一个这样的问题说明怎样把一个面积为$100$的正方形分成两个较小的正方形，使得其中一个正方形的连长是另一个的$\dfrac34 $.用现在的记号表示起来，就是要解方程组$x^2+y^2 =100$，$x\colon y=1\colon \dfrac34 $.解这个问题的人是这样进行的.作一个边长为$1$的矩形（正方形），并取其$\dfrac34 $为另一正方形的边.将这个数自乘得$\dfrac{9}{16} $.因此总面积为$1+\dfrac{9}{16} $或$\dfrac{25}{16} $.再取这个数的平方根得$\dfrac{5}{4} $.取$100$的平方根，得$10$.将$10$除以$\dfrac54 $，这便得出$8$.这就是一个正方形的边长，另一正方形的边长是其$\dfrac34 $.在别的纸草书中也可以找到其他这类例子.

在谈埃及人的数学知识时，参考一下埃及的天文学是恰当的.和所有上古时代的民族一样，埃及人很早就感到有必要建立度量时间的方法了.巴比伦人和亚述人奠定了现代时间度量制度的基础.虽然埃及天文学几乎毫无疑问是以巴比伦的天文学为基础，但是建立在天体运动基础上的实用历法的引用，则应看成是埃及人的杰出成就之一.太阳年的长短取决于人们对儿狼星（即现在的天狼星）和太阳同升（即在日出之前最先看到狼星的升起）现象的观测，这个现象正好与尼罗河的周期性涨落有着密切的对应关系.所以早在公元前$4241$年，祭司们就建立了每年$12$个月，每月$30$天，另外再加$5$天节日的制度.后来的观测说明一年共有$365\dfrac14 $天.由于那时没有每四年中闰一天，所以月份逐渐同季节脱节，因此，如果某年狼星与太阳同升正逢第一个月的第一天，则相隔$730$年之后，这个现象就会发生在一年的正当中.再经过$731$年会重新一致起来，因此每隔$1461$年，首先看到狼星出现的时刻会回到它原来的时刻.这段时间称之为狼星周期.

看来，埃及人对数学的主要贡献是：

$1$.他们完成了基本的算术四则运算，并且把它们推广到分数上；他们已经有了求近似平方根的方法.

$2$.他们已经有了算术级数和几何级数的知识.

$3$.他们已能处理包括一次方程和某些类型的二次方程的问题.

$4$.他们的几何知识主要是关于平面图形和立体图形的求积法.

$5$.他们在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题上，已经有了正确的知识.

$6$.他们已经熟悉比例的基本原理，某些人还从中看到了我们今天应称之为三角函数的那种观念的萌芽.

巴比伦

巴比伦人的贡献的重要性并不亚于埃及人，但和埃及人一样，他们也没能建成一门系统的科学.关于巴比伦人的记载不如埃及人的多.埃及人会用笔和纸（纸草书），巴比伦人则用针在粘土泥版上刻写.这些泥版经常是靠太阳烘干的.但是，保存这些记录的原样显然是困难的，而且这种书写方式也会阻碍长篇论著的编写，因此在巴比伦人的文献中没有像莱因德纸草书那样的东西，甚至像莫斯科纸草书的东西也没有.现在留下的一些记载包括公元前$2000$年左右的一段时期，这些记载清楚地指出了巴比伦人在数学和天文学方面的某些显著成就.

巴比伦人曾和埃及人长期保持着商业上的密切接触，他们和埃及人一样，也很熟悉十进制.然而他们还补充了一种以$60$为基数的进位制.关于这一点的证据来源于地质学家$\mathrm{W.K}$劳夫特斯$1854$年于赛凯莱（现在的拉山或拉莎）发掘出来的两块泥版.这两块泥版表明巴比伦人已是高度熟练的计算者.其中有一块大概是汉谟拉比（约公元前$2000$年）时代的，上面载有一串数字，前$7$个是$1,4,9,16,25,36,49$.由此显然可知，巴比伦人已经知道自然数平方的数列.但在$49$或$7^2$之后，发现这个数列中断了.在我们预期要发现$64$的地方，看到的却是$1.4$，其后跟着$1.21$，再后是$2.24$，直到最后是$58.1$.这个数列是无法理解的，除非假定有一个基数$60$，亦即

$$1.4=60+4=64=8^2$$

$$1.21=60+21=81=9^2$$

直到$58.1=58\times 60+1=3\;481=59^2 $

因此，巴比伦人显然已经有了记数的位置观念，这使我们想起埃及人对这点还是完全不知道的.然而，这个重要原则不久就被遗忘了，没有证据说明它曾在希腊或罗马使用过.但是，要把公元前$2000$年以前预见到现代的记数制度这一点归功于巴比伦人，那会是过分的.他们的记数制模糊而不明确，容许有多种多样甚至矛盾的解释.他们用来表示单位的符号也同样用来表示$60^2 ,60^3 ,\cdots \cdots $甚至用来表示$\dfrac{1}{60} ,\dfrac{1}{60^2} $等.同样，代表$7$的符号同时可以表示$7,420(7\times 60)$，$25\;200(7\times 60^2)$或$7\times \dfrac{1}{60} $，更不用说可以表示一大堆其他的数.那时没有表示零的符号，根据与上述泥版不同的来源可以看出，巴比伦人是用留空隙的方法表示数字中间的零.遇到不明确的时候，数字的真正数值就要靠上下文的语气来确定.的确，在这么多的可能性里进行选择是困难的，因此文句往往要能使读者不致把数字混淆起来，譬如把$5$和$300(5\times 60)$或$5\times \dfrac{1}{60}$混淆起来.

因此，巴比伦人虽然在书写数字方面发展了重要的位置原则，但数字的真正数值仍要靠智力来推测.赛凯莱泥版不能帮助我们解决零究竟是如何表示的问题，即使这些泥版是照原样保存下来的，也不能解决这个问题.因为在一个一直写到$59^3$或$205\;379$的立方数列中，没有发现一个例子其中第二位是空着的，所发现的全是三位数.所以问题仍然存在.在解决这个问题之前，把这个在西方直到中世纪尚未出现的发现归功于巴比伦人会是过早的.

巴比伦人似乎已是数学表的积极编纂者.在他们的泥版中，刻有乘法表、平方根表、倒数表等.他们表现出对几何级数是熟悉的.分数经常用到，不过埃及人是令分子为常数并等于$1$，而巴比伦人则是令分母为常数并等于$60$.人们提出了许多理由来解释这种选择.毫无疑问，有一个能被许多分子整除的分母是很方便的.然而，康托尔曾提出一个意见说，这样做的根源可能是以下事实：早期的巴比伦人认为，一年共有$360$天，在这段时间里太阳围绕地球转了一整圈，这便导致圆之分割为$360$度，每一度代表一天中太阳所走过的距离.巴比伦人似乎已经知道这样的事实：等于圆半径的弦能够绕圆周截$6$次，因此圆可分成$6$个扇形，每个扇形的中心角为$60$度》

像埃及人一样，巴比伦人已经具有相当高的解题技巧.有证据说明，他们已能解决一些系数为整数的极简单的三次以下方程问题.他们的几何学已经发展到大致和埃及人相同的水平.在阿拉伯的特罗发掘出来的、目前保存在君士坦丁堡奥陶曼博物馆里的一块泥版表明，巴比伦人已经有了确定许多平面图形面积的正确法则.这块泥版可以回溯到公元前$2200$年左右.其中载有一幅被分成$15$部分的大片土地的平面图，有$7$个部分为直角三角形，$4$个非常近似于矩形，还有$4$个梯形，其一边垂直于两平行边.每个图形的面积都被正确地算出了，计算法则很可能是靠经验发现的.巴比伦人早在公元前$2000$年就有经毕达哥拉斯定理的知识.在那个时期，曾有一个问题解出了一个边长为$40$和$10$的矩形门的对角线，是$41.25$，即$41\dfrac{15}{60} $，这个数值接近于准确值$41.231$.他们把圆的面积取为圆周平方的$\dfrac{1}{12} $，由此似乎可以看出，他们认为圆周是直径的$3$倍.他们也知道怎样计算许多立体图形的体积，包括圆柱体和平行六面体的体积.

可以认为，巴比伦人已经知道如何去解含两个未知数的二次方程.这个知识的产生是由于他们企图解决如下的问题：给定矩形的周长和面积，试求边长，即解方程组$x+y=a,xy=b$.这个问题在上古时代是很普通的，它也许是由于想反驳这样一种普遍流行的看法引起的，即认为平面图形的面积唯一依赖于它的边长，因而具有同样边长的图形就有相同的面积，就像圆和正方形的情形那样.只要这种看法继续存在，它就会给投机商人提供无限的活动范围.这个问题曾遭到希腊人的系统驳斥.巴比伦人的办法是靠经验，他们曾定出，边长保持为常数的图形可以有不同的面积值.例如对一个周长为$40$的矩形，所得的结果可列表如下：

$$a+b=20$$

$$\begin{array}{lll}
a & b & 面积ab \\
10 & 10 & 100 \\
8 & 12 & 96 \\
6 & 14 & 84 \\
4 & 16 & 64
\end{array}$$

等等.

巴比伦人的天文知识是渊博的，它附属于占星学.虽然如此，他们对星体运动的耐心观测，却为我们以后在喜帕恰斯和托勒密的工作中所遇到的问题的科学解决办法，提供了必要的轮廓.巴比伦人的记录是精确而连续的，他们根据对天体运动的观测非常准确地写出了天文学周期.例如关于太阴月，他们写出的值与真实值之差约为$1$秒.早在$3\;000$年前，巴比伦的占星家就记下了金星与太阳同升同落的现象，到了公元前$4$世纪，他们的记录已能使他们预先计算出太阳和月亮的位置，从而预测到日月食现象.

在巴比伦的历法里，一年有$12$个月，每月有$30$天，每$6$年末加上第$13$个月作为闰月.但和埃及人一样，对于一个天体事件和另一天体事件之间的联系，他们的了解发展得很慢，大约在公元前$3$世纪才开始有这种了解的萌芽.作为一门科学来说，天文学本质上乃是希腊人的创造.

我们可以把巴比伦人的贡献总结如下：

$1$.在数学方面，巴比伦人已经知道如何度量矩形、直角三角形和等腰三角形的面积，以及圆柱体和平行六面体这类正多面体的体积.

$2$.他们对圆面积的度量比不上埃及人.

$3$.他们在计数上已经有了位置值的概念，但似乎没有表示零的办法.

$4$.在天文学方面，他们已有一系列长期进行研究的记录，并且已经发现许多准确性很高的天文学周期.他们的贡献是一般性的，而绝不是科学的.