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  1. 1. 中国

在前面所评述的希腊文化时期之前很久,远东的民族就已经开始对数学表现出兴趣了,因此我们现在要转而谈谈东方.

在公元前$1200$年左右,印度河流域为雅利安民族所侵.在这之后,一种粗糙的文化开始慢慢在印度民族中出现了.跟古代其他民族一样,印度民族的数学知识也是由于研究星体的运动而发展起来的.毫无疑问,印度人很早就有了初步的天文知识,这是他们为了表示季节的循环而培育起来的.他们早已有了根据太阳和月亮编写出的历书.他们长期仔细观察和记录过这些星体的运动,这就使得他们逐步获得了大量的计算技巧.

习惯上都强调东方数学知识之邃古,我们不清楚为什么要这样做,因为保存下来的数学文献中没有一本可以被肯定为是纪元前写的,吠陀时期的文献也没有显示出什么数学方面的东西.因此,要准确评价印度的成就是不可能的.即便在后来作家的著作中,也没有援引外来的材料或谈到外来的影响,可是有确凿的证据说明,这种影响是不小的.

在公元前许多世纪,印度已与西方接触.亚历山大大帝在征服埃及后,曾出征到美索不达米亚和整个中亚细亚.到了公元前$327$年,印度河流域已经处在他的管辖之下了.亚历山大向东方出征的直接后果之一,便是刺激了东西方之间的交流.在他死后,作为文化中心的巴比伦就处于塞琉西王朝的统治之下了.巴比伦人、波斯人、希腊人和印度人在这里相互接触,而这种同希腊科学的接触对印度人是很有好处的.但与希腊人不同,印度人在数学上只想获得算术和代数方面的才能.他们虽然在热心地培育这两个学科,但数学对他们来说无非是一种计算技巧,他们将之简化为一套规则的技巧.他们所掌握的几何学从来没有达到过很高标准.许多世纪以来,它都没有超越过用少数几个没有经过证明的公式来进行测量的原始形式,这些公式都是从外国抄袭来的,而在抄袭中讹误屡见不鲜.在整个东方数学中,任何地方都找不到丝毫的证据可以看出有我们所称之为证明的那种东西.“印度数学家对于我们所说的数学方法是没有什么兴趣的.他们没有提出一个定义,不大坚持逻辑顺序,他们并不关心他们所用的规则制定得是否适当,而且对基本原理一般都漠然视之.他们从来没有把数学作为一个研究科目来看待,事实上,他们对学问的态度显然是非数学化的.”

$\mathrm{Sedgwick\;and\;Tyler} ,A\;Short\;History\;of\;Science $,$159$页.

虽然如此,他们的贡献并不是不重要的,特别是他们在书写数字方面所使用的位置值原理一直被说成是“他们最伟大的成就,并且在所有的数学发明中,是一个对智慧的总进展最有贡献的发明”.在处理那些导致一个以上未知数的方程的问题方面,印度人获得了大量技巧.他们解二次方程的方法,即使放在现代教科书中也未必不合适,而在他们尝试解某些简易的三次方程和四次方程的实例时,曾预见到处理这些方程的现代发展.他们没有为有理量与无理量之间的微妙区别所阻碍——这些问题一直是希腊人所感到困惑的,而毫不犹豫地接受了二次方程的无理数解,因而胜过了他们的前人.关于绝对负数这个非常重要的概念的引出,也要归功于印度人.然而,他们突出的贡献是在研究不定方程方面.在这方面,他们超过了丢番图,并且预见到现代代数中的某些发现.

如前所述,印度人研究数学的动力是由于其试图制定一种标记季节物质循环的历书,因此他们最早的著作是关于天文学的.这些著作就是所谓的《悉昙多》(Siddhantas,照字面直译就是《已经确立的结论》).然而,《悉昙多》的内容比那些仅仅记载巴比伦人流传下来的结果的编纂物丰富些.它们的内容有相当多是理论知识,其中可以清楚地看到希腊影响的痕迹.《悉昙多》共有五卷,其中《苏利耶历数全书》(Surya Siddhanta)和《包利萨历数全书》(Paulisa Siddhanta)是最重要的,可以认为其中包含有印度三角学的基础.

随着西方罗马帝国的衰微,数学活动的中心移到了东方.在公元$500-1000$年期间,印度出现了四五个有名的数学家.印度数学最繁盛的时期可能是在闻名于$6$世纪初的天文-数学家阿耶波多的著作发表前后.他的著作实质上是《悉昙多》中所载结果的系统化,他的论文《阿耶波多历书》(Aryabhativa)是特别有价值的,因为它不仅推动了这门学科的研究,而且还描绘了当时数学知识的状态.书中可以找到常用算术运算的种种规则,其中包括乘方和开方.此外还有一些关于简单的二次方程、简单的代数恒等式和等差级数的知识.但它最重要的一个特点乃是书中用连分数处理了不定方程的问题,这和今天所用的方法实质上相同.然而,正如印度关于数学的所有其他著作一样,它很难说是一本科学论著.它收集了$66$条规则,其中许多都是非常复杂并且难以遵守的,它的重点总是放在论题的计算方面.书中没有一处地方提示过证明方法,在为了得到解答而采取的一个个步骤中,进行的方法与所有古代的东方问题一样,都是巧妙地用文字解释的.如前所述,阿耶波多非常注意三角学,他引入了正经弦和正矢的概念,对于托勒密的繁拙的半弦来说是一个显著的进步.他的几何学仅限于用少数规则来确定立体的体积,并且这些规则中不少是不准确的.例如,棱锥体的体积被定为底面积和高的乘积之一半,球的体积被定为同样半径的圆面积和这面积的平方根之乘积.虽然如此,他对于圆周与其直径之比却求出了一个非常相近的近似值.他是这样说的:$100$加$4$,乘以$8$,再加$62\;000$,结果是直径为$20\;000$的圆周的近似值,这就导致所求的比值是$3.141\;6$.但由于某种原因,直到$12$世纪前后印度数学家始终没有使用过这个值.

阿耶波多以后的$6$个世纪,即公元$600$年$-1200$年,是一个灿烂辉煌的时期,同时也是一个荒芜贫瘠的时期.这个时期最不朽的贡献仍然是在不定方程的研究方面,这个问题对印度人总是具有一种强烈的吸引力.前面我们看到,丢番图在处理这种问题时显示了相当的才智,但他似乎没有得出求解的普遍法则.要把建立普遍法则的功绩归诸印度数学家是言过其实的,但是,他们的工作对于我们在丢番图那里所能找到的东西来说,则标志着明显的进步.同时,有些迹象表明这个时期人们对几何学的兴趣恢复了,开始研究直角三角形的性质,对纯粹几何学的不大彻底的处理也出现了.就在这个时期,特别在分析方面产生了许多显示出相当技巧的数学家,他们是婆罗摩笈多(生于$598$年)、摩诃吠罗(活跃于$9$世纪)、施里德哈勒和婆什迦罗(约$1114-1185$).

婆罗摩笈多是他的国家里最伟大的数学家之一.他的工作主要建立在前人的基础上,尤其是阿耶波多的基础上,但其中也有许多创造性的东西.他的著作中经常出现算术运算(包括对开方问题的处理)、利息问题、比例、等差级数以及自然数的平方和等问题.我们在这里还可以看到他对负数及零已经有了清楚的概念.他提出了解各种二次方程的规则,这些规则是用一系列问题的解答作为例证来说明的,但在各个步骤中仍然是用文字叙述的,此外别无其他方式.然而,他在不定方程方面却显示出最伟大的才能.阿耶波多简单陈述过解一次不定方程的方法.婆罗摩笈多则大大超过了这一点,他提出了方程$ax+by=c$($a,b$和$c$都是整数)的完全整数解,以及处理不定方程$ax^2+1=y^2$的巧妙方法.虽然他在这个数学分支中的工作不如我们在$5$个多世纪以后婆什迦罗的工作中所看到的那样完整,但这已足够给予他在数学史上一个不朽的地位了.他的几何学仅限于度量方面的几个基本规则以及关于直角三角形的性质.关于圆的几何学,包括圆内接四边形的性质,他已经有了初步知识,但他所求出的圆周与其直径之比的数值是$\sqrt{10} $,不如他的前人准确.

考虑一下他所提出并解出的一些例题,就能最好地了解他的工作性质和范围.在每个实例中,解答的前面都有一条专门适合于问题的法则,但是关于这种法则是如何推演出来的,我们却无法找到线索.

“以月息$5\%$借出的金额,$10$个月后总共得到$6$的$6$倍.问借出的金额是多少?”

“交给一个金匠$800$塞伐纳金子,吩咐他替祭司做几个器皿,并在$100$分中取$5$分作为赚头.试问制成金器的重量.”

“贷款总额是$500$德拉玛,利率不知.这笔贷款$4$个月后的利息又以同样利率借给了别人,$10$个月后积成$78$.试问本金的利率.”

印度人之偏爱计算以及把它简化成一些经验法则,没有比婆罗摩笈多在处理等差级数时表现得更明显了.他所提出的确定末项和确定一个给定级数之和的法则是“项数减$1$,乘以公差,加到首项,就是末项的总数”,亦即$l=a+(n-1)d$.

“末项与首项之和的一半是中项的值,它乘以项数,便是整个级数之和.”接着便是应用这些法则的问题.这些问题都是求$s,a,n,d$诸量之一,而另三个量已知.例如,已知首项、公差与级数之和而要求项数时,其法则是:把首项的$2$倍与公差之差的平方,加到级数的和与公差的$8$倍之乘积上;取其平方根,减去首项的$2$倍与公差之差,再除以公差的$2$倍,就是项数,亦即

$$n=\dfrac{\sqrt{(2a-d)^2+8ds} -(2a-d)}{2d} $$

这个公式不难从等差级数之和的基本公式中推导出来.

自然数的平方和由下面的法则确定“$1,2,3,4,5,\cdots \cdots $诸数之和乘以两倍的项数加$1$,所得结果除以$3$便给出诸数的平方和”,即$\sum n^2 =\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $.同样,要求自然数立方和时,办法是求出诸数之和再把它平方,即$\sum n^3 =[\dfrac{1}{2} n(n+1)]^2$.这些法则都是用实例来说明的,看来,它们就是在这些实例经验的基础上建立起来的.

婆罗摩笈多的几何学也是由一系列法则的叙述构成的.他已经知道三角形的面积用其三边来表示的正确公式,并且有一个求四边形面积的类似公式,这就是:写下四边之和的一半,再分别从它减去各边,然后连乘起来,所得乘积的平方根恰如就是面积,即$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$.然而,这仅当四边形是圆内接四边形时才是正确的.但他还有两个求三角形和四边形“大致”面积的法则.“边的一半与相反边(即对边)的乘积,便是三角形和四边形的大致面积.”他用这些“法则”求出了一个边为$12$单位的等边三角形的面积;以及一个边为$13$,$13$,$10$的等腰三角形的面积;还有一个边为$13$,$14$,$15$的不等边三角形的面积;所得结果分别是$72$,$65$,$98$,这与正确的数值(分别为$36\sqrt{3} $,$60$,$84$)相差很大.同样,对于圆周与其直径的比,他有两个值,一个精确等于$\sqrt{10}$,一个粗值等于$3$,他认为后者供一般之用已经足够准确了.

让我们回到婆罗摩笈多对方程的处理.在开始处理方程之前,是一些讨论负数与零的法则.这些法则大部分是正确的——负数乘以或除以负数得正数,零减去负数也得正数.但他假定“零除以零”是零,这是错误的.

解二次方程的法则是:把常数项放在未知数的平方项和一次项的另外一边.将常数项乘以平方项的系数的四倍,加上中项的系数的平方,所得结果的平方根减去中项的系数,再除以平方项的系数的二倍,就是中项的值.即若方程是$ax^2 +bx=c$,则$x$的值是

$$\dfrac{\sqrt{4ac+b^2} -b}{2a} $$

在不定方程的处理和基本算术运算方面,摩诃吠罗继续走着他前人的道路.他重述了婆罗摩笈多所提出的正负号法则,但他最有价值的贡献是对分数的处理.在这方面,我们发现有一条说明一个分数除以另一分数的法则.这个处理总的说来比前人更为详尽,虽然可能是更简单些.各种问题是经常出现的,摩诃吠罗表现出他不仅会处理等差级数,而且也会处理等比级数.他详尽地处理了各种不同类型的二次方程以及诸边是有理数的直角三角形.

$1120$年,学者施里德哈勒差不多完全按照他前人的方式编写了一本著作,叫做《计算方法概要》(Compendium of Calculation).据婆什迦罗称,他还编过一本关于二次方程的著作.他是用下列法则来解这种方程的:将方程两端乘以一个等于$4$倍平方项的系数的数,再在两端加上一个等于未知数的原系数之平方的数,然后开方.即若方程是

$$ax^2+bx=c$$

我们就有$4a^2x^2 +4abx+b^2 =4ac+b^2 $

或$2ax+b=\sqrt{4ac+b^2} $

有关零的运算法则有八条,但以零作除数的运算不在其中.

在印度数学家的行列中,只剩下一个杰出的作者了,这就是闻名于$12$世纪的婆什迦罗.他是当时最有权威和最有创造性的思想家,有两部著作,名为《嬉有章》(Lilavati)和《因数算法章》(Vija-Ganita).这两部著作直到现代还是印度数学的最完全的说明.婆什迦罗肯定是熟悉婆罗摩笈多的著作的,我们在《嬉有章》一书中看到的许多东西在婆罗摩笈多的著作中都有.书中详尽地讨论了常用的算术运算,包括乘方和开方.婆什迦罗已经了解零的真实意义,所以他的加法、减法、乘法法则说得是正确的,虽然在开始时关于用零作除数的问题还有些模糊不清.在《嬉有章》一书中,他宣称:“一个确定的数被符号$0$除是零的倒数;符号$0$的乘积是零,但要保留它作为符号$0$的倍数,如果马上要作进一步运算的话;符号$0$既然成为一个因子,如果后来零作为一个确定数的除数,则该确定数就必须理解为不变的.因此,任何数加上符号$0$或减去符号$0$后也不变.”但在《因数算法章》里,他对零的了解更接近于其真正含义.在这部著作里他说道:“一个数除以零便成为一个分母是符号$0$的分数.例如$3$除以零得$\dfrac{3}{0} $.这个分母是符号$0$的分数,称为无限大量.在这个以符号$0$作为分母的量中,可以加入或取出任何量而无任何变化发生,就像在毁灭世界或创造世界的时期,那个无穷的、不变的上帝没有发生任何变化一样,虽然有大量种类的生物被吞没或产生出来.”

《嬉有章》中有各种处理一次方程与二次方程的方法,包括不尽根的使用.书中还有几个解出$ax^2+c=y^2$类型的不定方程的例子,等一会儿我们就要讨论这种方程.关于面积与直角三角形的问题是经常出现的,但很少有系统处理的证据,对严谨性的坚持就更少了.没有讨论到角度,也丝毫没有提到与平行线有关的定理或比例理论.

在他的问题中,某些问题的解需要相当的技巧.我们随便选出其中几个问题来看看.

$1$.“有着明亮的眼睛的漂亮姑娘,假如你知道正确的反演方法,那么告诉我一个数,它乘以$3$加上乘积的$\dfrac{4}{3} $,再除以$7$,再减去商的$\dfrac{1}{3} $,然后自乘,再从乘积中减去$52$,将余数开方再加上$8$,再把和数除以$10$,得出$2$.”婆什迦罗把以上运算全部反转来进行后,得出所求的数是$28$.

$2$.“一个朝拜圣地的旅行者在泼拉耶加捐掉他的钱的一半,在卡西捐掉余数的$\dfrac{2}{9} $,余数的$\dfrac{1}{4}$在路上付了税,在加沙再用掉剩下的$\dfrac{6}{10} $,剩下的钱数是$63$涅西卡,请告诉我原来的钱数.”婆什迦罗以单位数作为原数,求出那个旅行者剩下了$\dfrac{7}{60} $,这是剩钱数的$\dfrac{1}{540} $,因此所求的原数是$540$.

有赖于解二次方程的问题,经常在他的著作中见到.“若一数与其平方根的某一倍数之和或差是给定的,把系数一半的平方加到给定的数上,取其和数的平方根,把这个平方根加上或减去系数的一半再平方起来,就是所求之数”,即已知

$$x+a\sqrt{x} =b$$

即$x+a\sqrt{x} +\dfrac{1}{4} a^2=b+\dfrac{1}{4} a^2$

$$(\sqrt{x} +\dfrac{1}{2} a)^2 =b+\dfrac{1}{4} a^2 $$

$$(\sqrt{x} +\dfrac{1}{2} a)=\sqrt{b+\dfrac{1}{4} a^2} $$

$$\sqrt{x} =\sqrt{b+\dfrac{1}{4} a^2} -\dfrac{1}{2} a$$

由此式平方即可得到$x$的值.

例如要解下列问题:

“一群鹅中有$1$对留在水中游戏,它们看到$7$倍于原来鹅数的平方根的半数的鹅厌倦了这项游戏,而向岸边游去.请告诉我,亲爱的姑娘,鹅群中有多少鹅?”这个问题今天应写作:

$$2+7\dfrac{1}{2} \sqrt{x} =x$$

用上面的方法不难解出答案是$x=16$.

关于级数的问题,比起早期的作者来,他很少有进步.我们从大量的问题中只援引两题.

$1$.“国王远征去夺取敌人的象,第一天行军二逾缮那,每天增加相同数量的行程.一星期内他行军$80$逾缮那.每天增加多少?”

$2$.“某人第一次给乞丐两个玛瑙贝壳(货币),并应允每日增加施舍物两倍,一个月他舍施多少?”

每个例子都给出了正确答案,但他始终没有提出解题的方法.也许解题的法则是通过尝试和错误发现的.

关于直角三角形的问题,则限于确定有理的边.“斜边是$85$,博学的人们,哪些直角边是有理的?”

为了解决这个问题,摩什迦罗首先指示他的读者要把斜边加倍($=170$),然后乘以一个任意选定的数,例如$2$;所得之数($340$)再除以这个任意数的平方加$1$,即除以$5$.这就给出直角边为$68$.这个数乘以那任意选定的数,得$136$;由此数减去斜边,其得数$51$就是另一边.他提出了各种法则,但都可归结为一句话,就是:有理直角三角形的诸边可以写作$a^2+1$,$2a$,$a^2 -1$.因为,若斜边为$k$,使其加倍然后乘以一任意数$a$,我们便有$2ak$.它除以这任意数的平方加$1$,使得直角边为$\dfrac{2ak}{a^2+1} $.将此数乘以那任意数再减去斜边,就得到另一边为$\dfrac{2a^2 k}{a^2+1} -k$或$\dfrac{k(a^2-1)}{a^2+1} $,因此三个边与$a^2 +1$,$2a$,$a^-1$成比例.

另外还提出了一些法则.例如,设取二数乘积的二倍为直角边,它们的平方之差为另一边,它们的平方之和就是斜边,并为一有理数.这是下列陈述的另一说法:$2mn$,$m^2-n^2$,$m^2+n^2$诸数构成一直角三角形.然而,这是摩诃吠罗和婆罗摩笈多已经知道了的.

摩什迦罗追随着前人的道路,解决了许多有关直角三角形的问题,下面是随便选出的其中的几个.

$1$.如果一根长$32$腕尺的竹竿立于平地上,由于风力而折断,其尖端于距底端$16$腕尺处触地,试问它是在距地面多少腕尺处被折断?

$2$.柱脚下有一蛇洞,柱顶上栖一孔雀.若孔雀看到一条蛇在三倍于柱高的距离处游向其洞,这时它就斜着向蛇猛扑过去.如果它们向前走了同样的距离,快说出它们在距蛇洞多少腕尺处相遇?

$3$.一只猿从一颗$100$腕尺高的树上下来,向一个$200$腕尺远的池塘走去.同时,另一只猿从树的某一高度处离开树迅速地斜着跳向同一地点.如果他们所经过的距离相等,博学的人,快告诉我这个高度是多少?

$4$.在一个群集着鹅与鹤的湖中,可以看到一棵莲花蕊的尖端露出水面约一拃之长($=$半腕尺).它由于风力所迫而逐渐向前移,并在$2$腕尺距离处浸入水中.数学家们,快算出水的深度.

这里我们说说摩什迦罗给出的第一题和最后一题的解.从根部到折断处的高度是直角边,将此记为$h$.竹竿的长($32$腕尺)是斜边与直角边之和,所以斜边是$(32-h)$.斜边的平方与直角边平方之差是$16^2$,即$(32-h)^2 -h^2=16^2$,因此$h=12$.这就是直角边,即从根部到折断处的距离.

在最后一题中,斜边与直角边之差是半腕尺.以$x$表示湖深,我们就有$x^2+2^2=(x+\dfrac{1}{2} )^2$或$x=3\dfrac{3}{4} $.

这部著作中还有许多关于三角形面积与四边形面积的问题.书中重复了三角形的面积用其三边来表示的公式,并且说这是精确的面积.但他猛烈攻击早期作家所宣布的求四边形面积的“法则”.他说:“既然四边形的对角线是不确定的,在这种情况下面积怎么会是确定的呢?古人认为已经求出了的那些对角线,并不适用于其他问题.同样的边可以有不同的对角线,因此图形的面积也各有不同.一个既不详细指明垂直线之一,也不详细指明对角线之一的人,怎能要求其他东西呢?或者说,怎能在对角线不确定的情况下要求面积是确定的呢?这个问题是大错特错了.回答这个问题的人更是有过之而无不及.”

婆什迦罗有几个关于圆的问题.他给圆周与其直径之比提出了两个值.“当圆的直径乘以$3\;927$再除以$1\;250$时,商就接近于圆周.”要么乘以$22$再除以$7$,便是大致的圆周.

球的体积是用这样几句话来表示的:“法则:对于一个圆,直径的$\dfrac{1}{4} $乘以圆周便是面积.该数乘以$4$便是圆旋转而成的整个球的面积;以直径乘这个球的周积或面积,再除以$6$,就是球的精确体积或容积.”很容易看出,以上就是通常关于球面面积与球体体积的公式.

《因数算法章》一书继续走着与《嬉有章》相同的路线,但在解释上更有系统些.书中重复了关于负数与零的那些法则,此外还补充了一段话:虽然一个正数或负数的平方是正数,但正数的平方根却是二重性的,一正一负;负数的平方根是不存在的,因为负数不是一个平方数.

二次方程是用完全平方的办法来解的.两个根都给出了,但其中之一被抛弃不用.例如:

$1$.“一根$12$指高的指时针,它的影子减去斜边的$\dfrac{1}{3} $后变成$14$指长.快把那影子的长度告诉我.”这个问题应写为:

$$x-\dfrac{\sqrt{x^2+144} }{3} =14$$

它导致两个答案,即$x=9$和$x=\dfrac{45}{2} $,前者被抛弃了,可能是根据试验而弃去了.

$2$.“一队人的$\dfrac{1}{5} $减去$3$,再平方起来,向洞中走去,还看到有一人正在爬上树.这队人有多少人?”用现代的记法就是:

$$(\dfrac{x}{5} -3)^2+1=x$$

因此$x=50$或$5$.但是第二个答案没有采用.

和他的前辈一样,婆什迦罗最大的长处就是能处理那些导致不定方程的问题,上面提到的两部著作充满了这类问题.其中许多无疑是从早期作者那里抄来的,但要确定其抄袭的范围是不可能的.下文中将看到问题是很多的,而且各有不同.每一题的解答本身都颇见功力.但要是断言说,在那里可以发现什么诸如解题的普遍方法这类东西,那就言过其实了,因为这是完全不合乎东方思想的.而且,书中对于把同样性质的问题归类起来的工作做得很少.这里我们试把各种问题按照它们在现代文献中应有的顺序排列起来.

$1.ax+c=by$.“试确定一数,使得一给定数乘以该数,并将乘积加于一给定数上时,其和(或其差,如果加数是负的话)可为一已知数整除.”例如:“数学家们,快说出一个乘数是多少,它乘以$221$,再加上$65$于其积上时,其和可被$195$整除,即无余数.”以现代的记号写起来,就是求如下方程的整数解:

$$221x+65=195y$$

婆什迦罗求得$x$和$y$的值分别为$5$和$6$,他已认识到不仅存在唯一的解.他补充说,这个方程事实上也可为$x=50$,$y=57$等所满足.

$2.ax+by+cz=d$.这是含有三个未知数的一次不定方程.它出现在下列问题中:

“四个人拥有的马匹数各为$5,3,6,8$,他们所拥有的骆驼数为$2,7,4,1$,属于他们的驴子数是$8,2,1,3$,牛数是$7,1,2,1$.所有四人同样富有,请告诉我每匹马和其他牲畜的价格.”婆什迦罗通过复杂的推理过程得出下面所列的各种牲畜的相对价值,并指出可以有各种不同的答案.

$$\begin{matrix}
马 & 骆驼 & 驴 & 牛 \\
85 & 76 & 31 & 4 \end{matrix}$$

有个问题曾以这种或那种方式在所有著名的东方作者的著作中出现过,婆什迦罗把它解了出来.这个问题是:“买$5$只鸽子需要$3$德拉玛,买$7$只鹤需要$5$德拉玛,买$9$只鹅需要$7$德拉玛,$3$只孔雀需要$9$德拉玛.现在,这些禽鸟共有$100$只,价值$100$德拉玛.需要求出每种鸟的价格.”婆什迦罗得出了几组解答,即:

$$\begin{matrix}
价格(德拉玛): & 3,30,21,36; & 6,30,28,36; & 9,20,35,36. \\
禽鸟(只): & 5,56,27,12; & 10,42,36,12; & 15,28,45,12. \end{matrix}$$

$3.ax+by+d=xy$.“请告诉我,你是否知道这样两个数,它们分别乘以$4$与$3$再加上$2$时,其总和等于这两个数的乘积.”这就是要求方程$4x+3y+2=xy$的整数解.婆什迦罗给这个方程提出了几组不同的解,即$17$与$5$,$10$与$6$,等等.

上述类型的方程在早期数学著作中是十分普通的.但是婆什迦罗研究二次不定方程的方法要比他的前人先进得多.$ax^2+1=y^2$这种方程曾经吸引了各个时期的数学家.在婆什迦罗的著作中可以找到五个这种类型的方程以及它们的解答.这就是:

$1$.什么数的平方乘以$8$再加$1$后是一平方数?

$2$.什么数的平方乘以$11$再加$1$后是一平方数?

$3$.什么数的平方乘以$32$再加$1$后是一平方数?

$4$.什么数的平方乘以$67$再加$1$后是一平方数?

$5$.什么数的平方乘以$61$再加$1$后是一平方数?

其中第$1$题$8x^2+1=y^2$的解是$x=6,y=17$.

第$2$题$11x^2+1=y^2$的解是$x=3,y=10$.

第$3$题$32x^2+1=y^2$的解是$x=3,y=17$.

第$4$题$67x^2+1=y^2$的解是$x=5\;967,y=48\;842$.

第$5$题$61x^2+1=y^2$的解是$x=22\;615\;390,y=1\;776\;319\;049$.

一个类似的问题是:“什么数的平方乘以$13$,再从乘积中减去$1$后是一平方数?”即当$13x^2-1=y^2$时,试求$x$与$y$.婆什迦罗求出的答案是$x=5,y=18$.与此没有多大不同的一个问题是“什么数的平方乘以$13$,再加上此数后是一平方数?”求出的数是$18^2$,即$324$.属于这类的问题还有:“什么数加倍后,再加上其平方的$6$倍就能开出平方根?”“请告诉我一个数,它的平方的平方乘以$5$,并减去其平方的$100$倍后,可以开出平方根”.婆什迦罗求出第一题$(6x^2+2x=y^2$)的答案是$x=8$,第二题$(5x^4-100x^2=y^2)$的答案是$x=10$或$170$.

下面是新类型的问题:“假若你在分析方面是一位去除中项的能手.那么请告诉我一个数,它分别乘以$3$与$5$,再在两个乘积上各加上$1$以后,得到的都是平方数?”即若$3x+1=s^2 $,$5x+1=t^2$,则$x$可能的整数值是什么?他给出了两个答案,即$x=16$与$x=1\;008$.下一题也有些相似:“快说出两个数,比如$5$与$6$,它们的平方之差分别乘以$3$与$2$,再在两个乘积上各加上$3$后,两者都是平方数?”即要求出两个数,使得

$$2(x^2-y^2)+3=s^2$$

$$3(x^2-y^2)+3=t^2$$

除了$5$与$6$以外,满足所给条件的还有两对数$599$与$600$,$49$与$60$.

“请告诉我两个数,它们的平方分别乘以$7$与$8$后,相加起来得一平方数,相减再加$1$也得一平方数.”即$7x^2+8y^2 =s^2 $,$7x^2-8y^2+1=t^2$.这些方程被$x=2$,$y=2$以及$x=34$,$y=38$所满足.

我们从大量的各种各样的问题中选出下面几个问题:

$1$.“什么数乘以$3$,再将乘积加上$1$后就变成一立方数,其立方根平方起来再乘以$3$,并加上$1$后就成为一平方数?”这个数被求出为$21$.

$2$.“什么数除以$6$后余$5$,除以$5$后余$4$,除以$4$后余$3$,除以$3$后余$2$?”所求的数为$59$.

$3$.“哪些数分别乘以$5$,$7$,$9$再除以$20$后,其余数以公差$1$递增成级数,而其商与其余数相等?”婆什迦罗得出$42$,$33$,$28$三个数,认为它们符合全部所要求的条件.

$4$.“如果你知道两个数,它们的立方之和是一平方数,而平方之和是一立方数,我就承认你是一位卓越的数学家.”所求的数为$625$与$1\;250$.

$5$.“最博学的代数学家,请告诉我这样一些整数对,它们之差是一平方数,而它们的平方之和是一立方数.”婆什迦罗得出这些整数对是$75$与$100$,$16\;821$与$17\;661$,等等.

$6$.“有一对数,把它们的和、积以及它们的平方加在一起,其总数的平方根与这对数加起来,一共可得$23$,这对数是什么?”“要是共得$53$,这对数是什么?”“请分别用整数告诉我.若是你知道答案的话,你就是一个举世无双的优秀的数学家.”所求的整数对在第一问中是$7$与$5$,在第二问中是$11$与$17$.

最后有一题是:“求四个数,使得它们的乘积是它们之和的$20$倍.有几组数满足这些条件?”婆什迦罗得出这些数组是:

$$11,5,4,2$$

$$55,6,4,1$$

$$60,8,3,1$$

$$28,10,3,1$$

在婆什迦罗之后就没有什么进展了.当时正在积聚力量的西方复兴气象还没有传布到东方,所以印度数学开始经历一段持续了几个世纪之久的衰微时期.从婆什迦罗以后直到近现代,印度都没有出现过著名的数学家.

这里来谈谈印度人在提出这些问题时所使用的记号是合适的.印度代数学家曾用编写字和大写字母来作符号,这差不多等于是发行量了一种代数系统.负数是用一点来表示的(就像牛顿使用“加点”字母那样),但是在区别正数时,除了不用这种负数符号以外没有再用其他符号.加法、减法、乘法等运算都没有用什么记号或符号来表示,也没有任何符号表示相等或相对大小(大于或小于).这些运算都是用文字写出来的,一般是写在所要运算的数的后面.分数的写法是把分母写在分子下面,但没有一条线把它们分开来.在他们的代数中,方程两端排列的方式相同,一端写在另一端的下面,这种把一项放在另一项下面的方法便于详细叙述各个步骤,这些步骤总是伴随着运算的.

未知数的符号不限于一种,而是遍及各种各样的名称.他们所用的记号是各种颜色名称的第一个音节,其中第一个是例外,用的是ya(=tanto)这个名称.“这许许多多,以及黑色、蓝色、黄色与红色,此外还有其他颜色,都被可尊敬的教师们选用来代表未知数的数值,以便进行计算.”他们不仅用符号来表示那些要求出其数值的未知数,而且也用符号来表示其数值可以任意假定的变量.平方(square)、立方(solid)这些名字的起始字母,就分别表示这些幂次,它们合并起来则表示更高的幂次.不尽根类似地用第一个音节来表示.一个复合量的各项是按幂次来排列的,常数项总是排在最后.数字系数也使用了,其中包括单位数,它们都是写在表示未知数的符号的后面.方程的排列并不是使得所有的量都成为正数,也不是把复合量中的正项排在前面.

我们可将印度数学家的成就总结如下:

$1$.在常用算术运算方面,包括不尽根的使用与零的意义,以及由于被零除而得出的无穷大量方面,他们显示出相当的技巧.

$2$.他们已经熟悉一次方程与二次方程的一般解,并已接触过高次方程的解,能在简单情况下解出高次方程.

$3$.他们获得了一次不定方程的一般解.

$4$.他们已能通过尝试求出二次不定方程的一个答案,而获得它的多种答案.这种方法最接近于拉格朗日所提出求这种方程的一般解的办法了.拉格朗日首先证明了:任何导致二次不定方程的问题,总可以用整数解出.

中国

当我们试图追溯中国的数学发展时,我们发现现有的记载都是不太可靠的,再加上缺乏令人满意的译本,这就使得确定纪年史的工作(特别是希腊以前的时期)极端困难了.

数学在它整个漫长的历史中是离不开天文学的.农业与航海的需要要求知道一些天体的运动,哪怕只是为了标记季节的循环.中国也不例外.我们发现早在公元前$3000$年,中国人已经知道一些天文知识了,这又转过来要求一定程度的计算技巧.和其他古代民族一样,原始形式的土地测量导致某些几何方面的知识.据说中国人早在希腊人之前就已经知道了直角三角形的性质,但是没有什么证据说明他们曾把它付诸实际应用,也没有什么证据说明他们曾有任何三角学的知识,无论是平面的还是球面的.直到从波斯天文学家那里,他们才获得了这种知识,那已是公元$3$世纪的事了.

某些中国皇帝是鼓励学术的.塞琉西王朝为了同东方保持持久联系所作的努力并不是没有效果的,有证据说明希腊文化曾传入中国,特别是在汉朝期间.甚至在汉朝之前,从公元前$1122$年持续到公元前$255$年的时期,就已经历过著名的文化发展,尤其是在孔子生活的时代(公元前$550-$前$478$),就为整个帝国开创了一个学术时期.但周代末年为内战所苦,这个时期的进步很小,而且这微小的进步也受到了阻碍.当时,大约在公元前$3$世纪末,在位的皇帝秦始皇(公元前$246-$前$210$)对于不断发展的学术活动感到惊慌,于是就下令将所有的书籍毁掉,违者给以最严厉的惩处.这道敕令最初是针对伦理与道德方面的著作的,但是天文学和数学方面的著作也在这次大破坏中毁掉了.事实上,唯一幸免的乃是那些被认为“有用的”论著,它们包括医药、农业和占星学方面的著作.

公元前$202$年建立起来的汉朝,开始了一个复兴时期.在清洗中幸免的那些著作复原了,这就在远东开始了一个学术时期.希腊文化当时已开始传入中国,并且在东西方的交流中,产生了对知识的真正兴趣,数学则分享了其中的一份.这种复兴气象由于《九章算术》的发表而达到了最高峰.我们不知这部伟大名著的作者是谁,就连它开始编写的时间也不知道.相传它的依据是一部公元前$1000$年的著作,但我们能有这部著作应归功于张苍(逝世于公元前$152$年).《九章算术》所谈的是平面图形的求积法和分数,以及有关比例、分配算法、开平方根与立方根、立体求积法、混合法、用虚设法解决“盈亏”的问题,还有含有一个以上未知数的线性方程(这里我们首次看到关于负数的文字记载)以及毕达哥拉斯定理.圆周与其直径之比被定为$3$,球的直径被定为它的体积的$\sqrt[3]{\dfrac{16}{9} } $倍,弓形面积被定为$\dfrac{1}{2} a(a+c)$,这里$c$为弦长,$a$为垂线长.书中可以找到以正方形为底的棱台的体积公式,前面我们曾看到,这个公式已为埃及人所知,婆罗摩笈多和摩诃吠罗也知道它.前面援引过一个问题(“如果一根长$32$腕尺的竹竿$\cdots \cdots $”)也可以在书中找到,这意味着他们已经知道处理二次方程的方法.这部著作的内容是极为广泛的,而且远远超过了印度人所发表的任何著作,虽然印度人的著作出现得晚得多.

汉朝之后是几个世纪的分裂,使得帝国长期处于不断的骚乱之中,这就导致了一个停滞的时期.直到$1$世纪过开始出现一些复兴的迹象,这是中国与西方商业往来的刺激所致.特别是计算方法,在这个时期前后大大进步了.印度对中国的影响可能是相当大的,这可从下一事实看出:隋朝($6$世纪)出现了一些解释印度数学的著作.早在$67$年佛教就已传入中国,从那时起,就有一些靠布施为生的佛教传教士移居到中国,他们带来了许多印度文化,其中包括一些数学知识.当时在实用技术方面已有相当大的发展,特别是在几世纪后指南针的发明促进了天文学这门基础科学的发展,这就推动了计算方法的研究.活跃于$1$世纪的《孙子算经》的作者是一位有着很大功绩的数学著作家.他编写过一部精湛的论著,共三卷,虽然是仿效早期作者的,但其内容仍有许多独创性.书中已能熟练地运用大数,并且普遍采用了十进制,对平方根也有清楚的解释.书中可以找到导致一次不定方程的例题,例如:“今有物不知其数,三三之数剩二,五五之数剩三,七七之数剩二,问物几何?”可以看出,它属于印度数学家著作中常见的一类问题.

$3$世纪时出现了天文学家王蕃.他的主要贡献似乎是他算出了圆周与其直径之比,他把这个比值表为$\dfrac{142}{45} $,或$3.1555$.$\sqrt{10}$的数值也大约是在这个时候出现的.《海岛算经》一书也是属于这个时期的著作.书中有这样一个问题,“试确定从海岸到一海岛的距离”,这个问题是在两世纪后曾出现在阿耶波多的著作中.

张丘建($5$世纪)的《算经》是一部精湛的论著,人们认为它对后来的印度数学著作家可能有很大的启发.据说后来的印度著作与张丘建的《算经》极其相似.例如,我们在这部论著中曾看到张丘建所说的$100$只家禽的问题:“鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?”这个问题曾出现在摩诃吠罗与婆什迦罗的著作中,但在婆罗摩笈多的著作中没有提到.这证明印度数学与中国数学是有密切联系的.至于居先的问题,曾经有过热烈争论,根据三上义夫的意见,应予中国人以居先之权.然而必须承认,在中国数学中没有什么东西是接近婆什迦罗关于不定方程的著作的.

$11$世纪与$12$世纪是贫瘠的,$13$世纪略有活动,此后直到晚近,中国人在数学上只有很小的进展.张丘建以后的一个世纪曾出现过一部著作,其中对分数的处理相当精细,并给出了圆周与直径之比的一个确切的近似值,即$\dfrac{355}{113}$.书中还有一些由立方体积的问题产生的简单三次方程.

虽然中国人的贡献是有价值的,特别是在数学进展缓慢的那段时期中更是这样,但在中国人手中,也和在印度人手中一样,这门学科并不是那么抽象.

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  1. 1. 中国