微积分学教程(第一卷) 在线阅读 Г.М.菲赫金哥尔茨 杨弢亮 叶彦谦 高等教育出版社 第8版

前言

读者对于有理数及其性质，从中学的教材内便很熟悉了.在那时，初等数学的要求，已趋向于必须扩大数的领域.的确，在有理数中即使是正整数(自然数)的根，例如$\sqrt{2}$，也常常并不存在.就是说，并没有这样的有理数$\dfrac{p}{q}$(式中$p$及$q$——自然数)，其平方能等于$2$.

为了证明，试假定其反面：设有分数$\dfrac{p}{q}$，其平方为$(\dfrac{p}{q})^2=2$.我们可以假设$\dfrac{p}{q}$是既约分数，即$p$和$q$是没有公约数的.因$p^2=2q^2$，故$p$为偶数：$p=2r$($r$——整数)，于是$q$为奇数.用$p$的式子代入，得：$q^2=2r^2$，由此推得$q$为偶数.所得的矛盾便证明了我们的命题.

同时，若我们仅停留在有理数的范围内，那么在几何学上便已显然知道，并非一切的线段都能有一个长度.例如考察边长为单位长度的正方形，其对角线就不可能有有理长度$\dfrac{p}{q}$，因若不然，依毕达哥拉斯定理，这长度的平方应等于$2$，而我们已看到这是不可能的.

在本绪论内，我们要做这样一件工作：在有理数域中添上新的数——无理数，以扩大有理数域的范围.同时，我们要证明，对有理数施行算术运算及用等号、不等号结合它们等变通性质，在扩大的领域内仍然是真实的.为了对扩大后的数域验证上述性质，需选出为数最少的基本性质，使其余的一切性质都能作为形式逻辑的结果而从之推出：所要验证的便仅限于这些基本性质了.

因此，我们列举有理数域的下列一些基本性质.同时我们将用一些例子来证明，它们的另一些众所周知的性质是怎样从基本性质推导出来的.我们这里所说的“数”，总是指的有理数，用字母$a,b\cdots $等来表示它们.

有理数域的序

首先让我们约定：所谓相等的数就是同一数的各种不同形式.换言之，“相等”($=$)的概念即指“恒等”.因此，我们不再列举相等的数的性质.

有理数域的序得自“大于”($>$)的概念，与之有关的是第一组性质.

Ⅰ$1°$每一对数$a$与$b$之间必有且仅有下列关系之一

$$a=b,a > b,a < b;$$

Ⅰ$2°$由$a > b$及$b > c$推得$a > c$($>$的传递性)；

Ⅰ$3°$若$a > b$，则必能求得一数$c$，使

$$a > c,且c > b $$

(稠密性).在这条件下也说成：数$c$位于数$a$与$b$之间；显然，这样的数有无限个之多.

“小于”($<$)的概念作为派生的而引入.说$a < b$，当且仅当$b > a$时.显而易见，由$a < b$及$b < c$，即得$a < c$($<$的传递性).实则，由假设，不等式$a < b$及$b < c$，相当于不等式$b > a$及$c > b$；由此推得$c > a$(Ⅰ$2°$)，或即$a < c$.

在对有理数施行算术运算时所要牵涉到的“大于”这一概念的其他性质，将在以后随时指出之.

有理数的加法及减法

第二组性质是关于加法的，即关于求两数之和的运算的.对于每一对数$a$及$b$，存在着一个(唯一的)数，被称为$a$和$b$的和(记成$a+b$).这概念具有下列的性质：

Ⅱ$1°$ $a+b=b+a$(加法的交换性)；

Ⅱ$2°$ $(a+b)+c=a+(b+c)$(加法的结合性).

零这个数比较特殊，它具有下列特性：

Ⅱ$3°$ $a+0=a$；

此外，

Ⅱ$4°$ 对每一数$a$存在着(与它对称的)数$-a$，使$a+(-a)=0$.

在这些性质的基础上，首先解决加法的逆运算即减法的问题.通常称使$c+b=a$的数$c$为$a$及$b$的差，定义差的这个等式可写成：$b+c=a$.假若如此，便发生这样的数的存在及唯一性的问题.

设$c=a+(-b)$，则得[Ⅱ$2°,1°,4°,3°$]

$$c+b=[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a+[b+(-b)]=a+0=a,$$

反之，令$c’$为数$a$及$b$的差，即有$c’+b=a$.在这等式两边各加$(-b)$，并交换其左边[Ⅱ$2°,4°,3°$]：

$$(c’+b)+(-b)=c’+[b+(-b)]=c’+0=c’.$$

结果得$c’=a+(-b)=c$.

这样，就证明了数$a$及$b$的差的存在及单值性；把它记成$a-b$.

由差的单值性可以推得一系列的推论.首先，由Ⅱ$3°$推得$0=a-a$，因而得出结论：除去数$0$以外，具有相似于Ⅱ$3°$的性质的数不存在.其次，由此推得与所给数对称的数的唯一性：$-a=0-a$.

因为由$a+(-a)=0$可推得$(-a)+a=0$[Ⅱ$1°$]，所以$a=-(-a)$，即数$a$及$-a$为互相对称的数.我们再来证明对称数满足下述性质：

$$-(a+b)=(-a)+(-b).$$

为此，只需证明

$$(a+b)+[(-a)+(-b)]=0,$$

而这由Ⅱ$1°,2°,4°,3°$，便可推得.

最后，再引进联系$>$与加号的一个性质.

Ⅱ$5°$ 由$a > b$推得$a+c > b+c$.

它使我们得以在不等式的两边各加上一个等量；用它又可证明两不等式

$$a > b和a-b > 0$$

是相当的.其次，由$a > b$推得$-a < -b$.实则，由$a > b$引致$a-b > 0$；但$a-b=a+(-b)=(-b)+a=(-b)+[-(-a)]=(-b)-(-a)$，因此这不等式可改写成：$(-b)-(-a) > 0$，由此$-b > -a$或$-a < -b$.

特别是，由$a > 0$推得$-a < 0$，由$a < 0$推得$-a > 0$.若$a\neq 0$，则在两个互相对称的数$a$及$-a$中，必有一个(且仅一个)将大于$0$；它即称为数$a$或数$-a$的绝对值，记成

$$\mid a\mid =\mid -a\mid .$$

零的绝对值就定为零：$\mid 0\mid =0$.

根据性质Ⅱ$5°$，可以逐项地合并不等式：由$a > b$及$c > d$推得$a+c > b+d$.实际上，由$a > b$推得$a+c > b+c$；仿此，由$c+d$推得$c+b > d+b$，或[Ⅱ$1°$]$b+c > b+d$，然后由Ⅰ$2°$，最后即得$a+c > b+d$.

有理数的乘法及除法

第三组性质是关于乘法的，即关于求两数之乘积的运算的.对于每一对数$a$及$b$存在着一个(唯一的)数，被称为$a$及$b$的乘积(记成$a\cdot b$或$ab$).这概念具有下列性质：

Ⅲ$1°$ $ab=ba$(乘法的交换性)；

Ⅲ$2°$ $(ab)c=a(bc)$(乘法的结合性).

“$1$”这个数比较特殊，它具有下列特性：

Ⅲ$3°$ $a\cdot 1=a$；

此外，

Ⅲ$4°$ 对于每一异于$0$的数$a$，必有数$\dfrac{1}{a}$(其倒数)，使$a\cdot \dfrac{1}{a}=1$.

关于除法的问题，作为乘法的逆运算，亦可根据乘法的性质来解决，正如前面根据加法的性质来解决关于减法的问题一样.倒数在这里的作用正如对称数在那里的作用一样.

如果一数$c$满足关系

$$c\cdot b=a$$

依Ⅲ$1°$，定义商的这个等式也可写成：$b\cdot c=a$.

(其中$b$常预先假定异于$0$)，则$c$称为$a$及$b$的商.

令$c=a\cdot \dfrac{1}{b}$，就可以满足这定义.因[Ⅲ$2°,1°,4°,3°$]

$$c\cdot b=(a\cdot \dfrac{1}{b})\cdot b=a\cdot (\dfrac{1}{b} \cdot b)=a\cdot (b\cdot \dfrac{1}{b})=a\cdot 1=a.$$

反之，若数$c’$满足数$a$及$b$的商的定义，于是$c’\cdot b=a$，则在这等式两边乘以$\dfrac{1}{b}$，并变换左边[Ⅲ$2°,4°,3°$]：

$$(c’\cdot b)\cdot \dfrac{1}{b}=c’\cdot (b\cdot \dfrac{1}{b})=c’\cdot 1=c’,$$

就得到了$c’=a\cdot \dfrac{1}{b}=c$.

这样，就证明了数$a$及$b$(设$b\neq 0$)的商的存在及单值性；把它记成$a:b$或$\dfrac{a}{b}$.

由商的单值性可知，除了$1$以外，再没有什么数能具有类似于Ⅲ$3°$的性质.由此，如前所述.推得倒数(看成$1$及$a$的商)的唯一性；此外，容易证明数$a$及$\dfrac{1}{a}$是互为倒数.

下列性质与算术的基本运算——加法及乘法双方都有关系：

Ⅲ$5°$ $(a+b)c=a\cdot c+b\cdot c$(乘法关于和的分配性).

由此很易导出关于乘法关于差的分配性：

$$(a-b)\cdot c=a\cdot c-b\cdot c.$$

依差的定义，这可以直接由下式推出

$$(a-b)\cdot c+b\cdot c=[(a-b)+b]\cdot c=a\cdot c.$$

再应用性质Ⅲ$5°$，可证

$$b\cdot 0=0\cdot b=0.$$

实际上[Ⅱ$3°$]

$$a+0=a,(a+0)\cdot b=a\cdot b+0\cdot b=a\cdot b,$$

由此推得$0\cdot b=0$，再由Ⅲ$1°$得$b\cdot 0=0$.

反之，若$a\cdot b=0$又$b\neq 0$，则必须$a=0$.实际上，$a=\dfrac{0}{b}$，但同时又有$0=\dfrac{0}{b}$(因$b\cdot 0=0$)，因为商是唯一的，故$a=0$.

最后，我们指出联系符号$>$与乘号的一个性质：

Ⅲ$6°$ 由$a > b$及$c >0$推得$a\cdot c > b\cdot c$.

据此可以用正数乘不等式的两边.由此可知，当$a > 0$及$b > 0$时，亦必有$a\cdot b > 0$.

注意，$(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$；这由下面推得

$$a\cdot b+(-a)\cdot b=[a+(-a)]\cdot b=0\cdot b=0.$$

现在不难看出，若$a < 0,b > 0$，于是$a=-\mid a\mid,b=\mid b\mid$，则

$$a\cdot b=(-\mid a\mid)\cdot \mid b\mid=-(\mid a\mid \cdot \mid b\mid) < 0;$$

当$a > 0,b < 0$时亦如此，又若$a < 0,b < 0$，则

$$a\cdot b=(-\mid a\mid)(-\mid b\mid)=-[\mid a\mid \cdot (-\mid b\mid)]=-[-(\mid a\mid \cdot \mid b\mid]=\mid a\mid \cdot \mid b\mid > 0.$$

这样，我们已完全重新建立了关于乘法的符号规则，这些符号规则现在已成为有理数的上述性质的逻辑推论了.换言之，如果有理数满足上述诸性质，就必定要遵守这些符号规则.关于乘以$0$的规则，也可以这样说(如上所述).

在处理了加法和乘法的性质以后，我们现在能够证明在前面数的基本性质[Ⅰ$3°$]中已述及的有理数域的稠密性了.就是，可以用它们证明，例如，由$a > b$推得$a > \dfrac{a+b}{2} > b$.

阿基米德公理

我们用下列的简单而重要的论证，来结束我们的有理数基本性质一览表.这一性质是不能由上述的诸性质里推得的.

Ⅳ$1°$ 不论$c > 0$是怎样的数，总有大于$c$的自然数$n$存在着(阿基米德公理).

实际上，阿基米德曾说明一个几何的命题，即为众所周知的阿基米德公理：

若在直线上给定做任意两线段$A$及$B$，则$A$重复相加若干次后，其和总可以大于$B$：

$$\underbrace{A+A+\cdots +A}_{n~次}=A\cdot n > B.$$

若将这论证转而对正数$a$及$b$来叙述，它便肯定有这样的自然数$n$存在使

$$\underbrace{a+a+\cdots +a}_{n~次}=a\cdot n > B.$$

若应用已研究过的有理数的性质，则这不等式相当于$n > \dfrac{b}{a}$；把商$\dfrac{b}{a}$记成$c$，我们便得出上面所叙述的Ⅳ$1°$.