无理数的定义

有理数集及其在第一节内列举的一切性质，作为是已给的.

我们仿效戴德金($\text{R.Dedekind}$)来叙述无理数的理论.有理数域内的分划的概念是这理论的基础.若将有理数全体所成的集合分拆为两个非空集合(即至少包含一个数的)$A,A’$.我们把这样的分拆叫做分划，只要满足条件：

$1°$ 任一有理数，必在且仅在$A$及$A’$二集之一中出现；

$2°$ 集$A$内的任一数$a$，必小于集$A’$内的任一数$a’$.

集$A$称为分划的下组，集$A’$称为分划的上组.分划记成$A\mid A’$.

由分划的定义推得，小于下组内的数$a$的一切有理数也都属于下组.仿此，大于上组内的数$a’$的一切有理数亦都属于上组.

例$1$ 一切满足不等式$a < 1$的有理数$a$，定为集$A$，一切满足$a’\geq 1$的$a’$，都算入集$A’$.

很易验证，这样，我们实际上已得出分划了.数$1$属于$A’$组，且显然成为其中最小的数.由另一方面看，在$A$组内并无最大数，因不论我们在$A$内取怎样的数$a$，怛能在$a$与$1$之间指出有理数$a_1$来，因而它必大于$a$并且属于$A$组.

例$2$ 取小于或等于$1$的一切有理数$a$，$a\leq 1$，归入下组$A$；取大于$1$的一切有理数$a’$.$a’ > 1$.归入上组.则亦得一分划，且其中在上组无最小数，而在下组有最大数(即$1$).

例$3$ 取使$a^2 < 2$的一切正有理数$a$，数$0$及一切负有理数归入$A$组，使${a’}^2 >2$的一切正有理数$a’$归入$A$组.

很易证明，我们亦已得出分划.此处，在$A$组内既无最大数，在$A’$组内亦无最小数.我们将证明，例如，这论断的第一点(第二点同样可以证明).设$a$为$A$组内的任意正数，则$a^2 < 2$.再证，必能得这样的正整数$n$，使

$$(a+\dfrac{1}{n})^2 < 2,$$

于是$a+\dfrac{1}{n}$亦属于$A$.

这不等式相当于：

$$a^2+\dfrac{2a}{n}+\dfrac{1}{n^2} < 2,\dfrac{2a}{n}+\dfrac{1}{n^2} < 2-a^2,$$

若$n$满足不等式$\dfrac{2a+1}{n} < 2-a^2$，则上面第二个不等式也自然能满足了.为此，只需取

$$n > \dfrac{2a+1}{2-a^2},$$

而这是恒为可能的[依阿基米德公理，Ⅳ$1°$].因此，不论$a$为$A$组内的怎样的正数，在这$A$组内终能求得大于它的数；又因为当$a\leq 0$时这论证显也成立，故在$A$组内没有任何数能成为最大的.

很易明了，不可能有这样的分划存在，在它的下组内有最大数$a_0$，同时在上组内又有最小数$a_0’$.实际上，假设这样的分划存在着，则应用有理数域的稠密性[Ⅰ$3°$]，必能取得一个位于$a_0$与$a_0’$之间的有理数$c$：$a_0 < c < a_0’$.数$c$不能属于$A$组；因否则，$a_0$就不是此组的最大数.仿此，$c$亦不通属于$A’$组，但这是与定义分划的概念的性质$1°$相矛盾的.

这样，分划仅能有三种类型，如刚才例$1,2,3$所表明的：

$1)$在下组$A$内无最大数，而在上组$A’$内有最小数$r$；

$2)$在下组$A$内有最大数$r$，而在上组$A’$内无最小数；

$3)$在下组内既无最大数，在上组内亦无最小数.

在前两种情形，我们说，分划由有理数$r$所产生($r$成为$A$与$A’$之间的界数)，或说分划定义有理数$r$.在例$1,2$中，$1$便是这样的数.在第三种情形界数并不存在，分划并不定义任何有理数.今引入新的对象——无理数.让我们约定，任一$3)$型的分划定义某一无理数$\alpha$.这个数$\alpha$便代替缺少的界数，我们好像把它插入在$A$组的一切数$a$与$A’$组的一切数$a’$之间.在例$3$中，这新创的数，很易推想而知，即是$\sqrt{2}$.

我们并不引入无理数的任何同一式样的记法，我们总是把无理数$\alpha$理解为有理数域中确定它的分划$A\mid A’$.

为了一致起见，同样来理解有理数$r$也常是很方便的.但对于任一有理数$r$存在着确定它的两种分划：在两种情形中，数$a < r$总是属于下组，数$a’ > r$总是属于上组，而数$r$本身可以任意包含在下组(这时$r$为下组的最大数)，或包含在上组($r$为上组的最小数).为了确定起见，我们约定：凡说到确定有理数$r$的分划时，常把这数放在上组内.

有理数及无理数总称为实数.实数的概念，为数学分析的基本概念之一.

实数域的序

由分划$A\mid A’$及$B\mid B’$所确定的二无理数$\alpha$及$\beta$，当且仅当二分划为恒等时，始认为相等.实际上只要下组$A$及$B$互相重合就够了，因为这时$A’$与$B’$亦必互相重合.这定义在数$\alpha$及$\beta$为有理数时，仍可保持不变.换言之，若二有理数$\alpha$与$\beta$相等，则确定它们的分划相重合，反之，由分划的重合推得数$\alpha$与$\beta$相等.在这里，自然仍须注意到，以分划来确定有理数时的上述约定.

现在转而建立关于实数“大于”的概念.关于有理数这概念早已建立了.对于有理数$r$与无理数$\alpha$之间，“大于”的概念实际在[无理数的定义]中已建立了：即，若$\alpha$由分划$A\mid A’$所确定，我们便算作$\alpha$大于$A$组中的一切有理数，同时$A’$组中的一切有理数大于$\alpha$.

现在设有二无理数$\alpha$及$\beta$，$\alpha $由分划$A\mid A’$，$\beta$由分划$B\mid B’$所确定.我们将称有较大下组的那个数为较大数.更准确些说，若$A$组整个包含着$B$组，并且不与它重合，则算作$\alpha > \beta$(这条件，显然相当于：$B’$组整个包含着$A’$组，并且不与它重合).很易验证，当$\alpha ,\beta$之一是或甚至二者都是有理数时，这定义仍可保持.

现在证明实数均能满足性质Ⅰ$1°$及Ⅰ$2°$.

Ⅰ$1°$ 任一对(实)数$\alpha $与$\beta$之间必有且仅有下列三种关系之一：

$$\alpha =\beta ,\alpha > \beta ,\beta > \alpha .$$

若确定$\alpha$的分划$A\mid A’$与确定$\beta$的分划$B\mid B’$相重合，则$\alpha =\beta$.若这二分划不相重合，则或$A$整个包含$B$(这时$\alpha > \beta$)，或不是这样.在后一情形，$B$组内有元素$b_0$落在$A’$内，则对于$A$组内的任何元素$a$，必有$a < b_0$.因此$B$组整个包含$A$组，且不与它重合，于是我们有$\beta > \alpha$.

Ⅰ$2°$ 由$\alpha > \beta$，$\beta > \gamma$推得$\alpha > \gamma$.

设数$\alpha ,\beta ,\gamma$(它们中间可能有有理数)是由分划$A\mid A’,B\mid B’,C\mid C’$来确定的.若$\alpha > \beta$，则依“大于”的定义，$A$组包含$B$组，且并不与它重合.但因$\beta > \gamma$，故$B$组包含$C$组，且不与它重合.因此，$A$组亦包含$C$组，并且不与它重合，即$\alpha > \gamma$.

如在$2$有理数域的序中一样，现在可以建立“小于”的概念：若$\beta > \alpha$，则我们说$\alpha < \beta$.$<$号亦与$>$号一样具有传递性.

辅助命题

现在我们来建立实数域的稠密性(比较Ⅰ$3°$)；准确些说，我们将证明下列论断：

引理$1$ 对于不论怎样的两个实数$\alpha$及$\beta$，其中$\alpha > \beta$，恒有一个位于它们中间的有理数$r$：$\alpha > r > \beta$(因此，这种有理数有无穷个).

因$\alpha > \beta$，故确定数$\alpha$的分划的下组$A$整个包含确定$\beta$的下组$B$，且不与$B$重合.因此在$A$内必有有理数$r$，它不包含在$B$内，于是必属于$B’$；对于它

$$\alpha > r \geq \beta$$

(只有在$\beta$为有理数时始能成立等式).但因为在$A$内无最大数，故在必要时，把$r$取得大一些就可以取消等式.

附注 我们事实上已证明了比实数域的稠密性还要强的性质：即在实数$\alpha$与$\beta$(若$\alpha > \beta$)之间必定存在着有理数(不仅是实数).以后我们就将引用这个更强的稠密性.

由此直接推得

引理$2$ 设给定两个实数$\alpha$和$\beta$.如果任取一个数$e > 0$，数$\alpha$及$\beta$都能位于一对有理数$s$与$s’$之间：

$$s’ > \alpha > s,s’ > \beta > s,$$

这对数的差小于$e$：

$$s’-s < e,$$

则数$\alpha$与$\beta$必须相等.

证明 我们用反证法来证明.例如，设$\alpha > \beta$，依引理$1$，在$\alpha$与$\beta$间可以插入两个有理数$r$及$r’ > r$：

$$\alpha > r’ > r > \beta .$$

于是对于任何二数$s$及$s’$，当$\alpha$及$\beta$都在它们之间时，显然成立如下不等式

$$s’ > r’ > r > s,$$

由此

$$s’-s > r’-r > 0,$$

因此差$s’-s$不通小于数$e=r’-r$，违背引理的条件.这矛盾即证明了引理.

用无限小数来表示实数

现在我们考虑这样的表示实数的方法，即其分数部分(尾数)是正的，而同时，其整数部分可以为正的、负的或零.

首先假定被考察的实数$\alpha$并非整数，亦非有限十进小数.现在要来求它的十进小数近似值.若$\alpha$由分划$A\mid A’$所确定，则首先易见在$A$组内必有整数$M$，又在$A’$组内亦必有整数$N > M$.在$M$上依次加$1$，必能得出这样两个相邻的整数$C_0$及$C_0 +1$，使

$$C_0 < \alpha < C_0 +1.$$

这里的数$C_0$可以为正的、负的或零.

若再用数

$$C_0.1;C_0.2;\cdots ;C_0.9,$$

分$C_0$与$C_0+1$间的区间为十等份，则$\alpha$必(且仅)落在其中之一个部分区间内，因此我们又求得相差为$\dfrac{1}{10}$的两数：$C_0.c_1$及$C_0.c_1 +\dfrac{1}{10}$，且有

$$ C_0.c_1 < \alpha < C_0.c_1 +\dfrac{1}{10}.$$

继续这样分下去，在确定数码$c_1 ,c_2 ,\cdots ,c_{n-1}$后，我们就用不等式

$$ C_0.c_1c_2 \cdots c_n < \alpha < C_0.c_1c_2 \cdots c_n +\dfrac{1}{10^n}.\tag{1}$$

定义第$n$位数码$c_n$.

这样，在求数$\alpha$的十进小数近似值的过程中，我们求得整数$C_0$及数码$c_1 ,C_2 ,\cdots ,c_n ,\cdots$的无限序列.由此组成的无限小数，即记号

$$C_0.c_1c_2 \cdots c_n \cdots \tag{2}$$

可以看成是实数$\alpha$的一种表示.

在例外的情形，当$\alpha$本身就是整数或有限小数，亦可以用相似的方法由比$(1)$更普遍的关系式

$$ C_0.c_1c_2 \cdots c_n \leq \alpha \leq C_0.c_1c_2 \cdots c_n +\dfrac{1}{10^n} \tag{1a}$$

来相继地确定数$C_0$及数码$c_1 ,C_2 ,\cdots ,c_n ,\cdots$.事情是这样的，到某时，数$\alpha$会重合于包含它的区间的一端，重合于左端或右端都行；从这时开始，相应地，在$(1a)$中左端或右端就将经常不变地成立等式.按照成立等式的是左端还是右端，这以后的各数码就将全是$0$或全是$9$.因此，这时$\alpha$就有了双重的表示，一种是用零循环的，一种是用$9$循环的.例如，

$$3.826=3.826000\cdots =3.825999\cdots ,$$

$$-3.826=\overline{4}.174000\cdots =\overline{4}.173999\cdots .$$

记法$x=\overline{4}.174000$表示$x=-4+0.174000$.

反之，今设任给一无限十进小数$(2)$；我们要证明总可以找到一实数$\alpha$，刚好是被这小数所表示的.为此，我们来考察小数$(2)$的一段：

$$C_n=C_0.c_1c_2 \cdots c_n ,\tag{3}$$

把它作为所求数的“亏(不足的)近似值”，同样把

$$C_n’=C_0.c_1c_2 \cdots c_n +\dfrac{1}{10^n} \tag{4}$$

作为其“盈(过剩的)近似值”.不难看出，每一$C_n$小于每一$C_n’$.现在我们用如下法来定有理数域的一个分划：把大于一切$C_n$的有理数$a’$(例如，一切数$C_n’$)放在上组$A’$内，而把一切余下的数(例如，数$C_n$本身)放在$A$组内.很易验证，这就是我们所要的分划，它确定了所求的实数$\alpha$.

实则，因$\alpha$就是在两组之间的界数，因此，当然成立

$$C_n \leq \alpha \leq C_n’ ,$$

即数$\alpha$满足于一切$(1a)$型的不等式.这就证明了小数$(2)$就是所求实数的表示式.

盈十进近似值$(4)$和亏十进近似值$(3)$的差等于$\dfrac{1}{10^n}$，随着$n$的增大，这差可小于任何有理数$e > 0$.事实上，因不超出数$\dfrac{1}{e}$的自然数仅能是有限多个，故不等式$10^n \leq \dfrac{1}{e}$，或相当的不等式$\dfrac{1}{10^n} \geq e$仅能对有限个$n$的值满足；对于其余一切$n$的值，将有

$$\dfrac{1}{10^n} < e.$$

由这附注，依引理$2$，可得结论：任一异于$\alpha$的数$\beta$，既不能像$\alpha$那样满足一切不等式$(1)$或$(1a)$，故其无限十进小数表示式必与$\alpha$的表示式不同.

特别是由此推得：不等于有限小数的数，其表示式不能以$0$或$9$来循环，因为任一以$0$或$9$来循环的小数显然表示有限小数.

今后读者就可以将实数想象为无限十进小数.由中学课本内，人们知道，无限循环小数表示有理数，反之，任一有理数总可化成循环小数.这样，不循环的无限小数，就用来表示我们新引入的无理数(这一概念也可作为建立无理数的理论的出发点).

附注 下面我们将常应用有理近似值$a$及$a’$以接近实数$\alpha$，这时，

$$a < \alpha < a’.$$

其差$a’-a$可为任意小.对于有理数$\alpha$，显然存在着这种数$a$及$a’$；对于无理数$\alpha$也可以有这样的$a$及$a’$，例如，当$n$充分大时应用十进近似值$C_n$及$C_n’$.

实数域的连续性

今转而考察一切实数所成之域的一个极重要的性质.这种性质使实数域在本质上异于有理数域.在考察有理数域的分划时，我们已看到，有时有这样的分划存在，使在有理数域内并无产生此分划的界数.正是由于有理数域有这种不完备性，即在它们中间存在着这些空隙，所以我们才要引入新数——无理数.今开始考察实数域的分划.在这种分划之下我们把这数域分拆成两个均非空集$\bf A$及$\bf A’$，使能满足：

$1°$ 每一实数必落在集$\bf A,\bf A’$中一个且仅一个之内；

$2°$ 集$\bf A$的每一数$\alpha$小于集$\bf A’$的每一数$\alpha’$.

现在发生了问题：对于这样的分划$\bf A\mid \bf A’$，是否永远能找到——在实数域内——一个产生这分划的界数，或在这数域内还存在着空隙(这种空隙可作为再引入新数的理由)？

要指出，事实上并没有这种空隙：

基本定理(戴德金) 对于实数域内的任一分划$\bf A\mid \bf A’$必有产生这分划的实数$\beta$存在.这数$\beta$，$1)$或是下组$\bf A$内的最大数，$2)$或是上组$\bf A’$内的最小数.

注：如果不加证明地承认实数的基本性质，而不从有理数的性质引入这些基本性质，那么本定理同样看作是公理.把它称为戴德金公理或完备性公理.

实数域的这一性质常称为它的完备性，也称为它的连续性(或密接性).

证明 将属于$\bf A$的一切有理数集记成$A$，属于$\bf A’$的一切有理数集记成$A’$.容易证明，集$A$及$A’$形成有理数域内的一个分划.

这分划$A\mid A’$确定出某一实数$\beta$.它应该落在$\bf A$组或$\bf A’$组之一内.假定$\beta$落在下组$\bf A$内，则情形$1)$便实现了，就是$\beta$成为$\bf A$组的最大数.实际上，如果不是这样，便可在这组内找出大于$\beta$的另一数$\alpha _0$来.今在$\alpha _0$与$\beta$之间(依引理$1$)插入有理数$r$：

$$\alpha _0 > r > \beta .$$

$r$亦属于$\bf A$，故必属于$\bf A$的一部分$A$.我们便得出谬论：有理数$r$属于确定$\beta$的分划的下组，却又大于这数！这便证明了我们的论断.

我们还可以证明类似的论断，如果$\beta$落在上组$\bf A’$内，则情形$2)$就实现了.

附注 同时在$\bf A$组内存在最大数，在$A’$组内存在最小数是不可能的；这可如同对有理数集合的分划一样地来验证(应用引理$1$).

数集的界

我们应用基本定理[实数域的连续性]，在这里建立一些在现代分析中担任重要角色的概念.(在考察实数的算术运算时就已需要它们了.)

设有实数的任一无限集；它可用任何方法给出.这种数集的例子是：自然数集，一切真分数集，在$0$与$1$间的一切实数集，方程$\sin{x}=\dfrac{1}{2}$的根的集，等等.

集内的任一数记成$x$，因此$x$所代表的是集内一般的数，诸数$x$所成的集，便记成$\chi =\lbrace x\rbrace $.

若对所考察的集$\lbrace x\rbrace $，有这样的数$M$存在，使一切$x\leq M$，就说，这集(被数$M$)上有界；这$M$就是$\lbrace x\rbrace $的上界.例如，真分数集被数$1$或任何大于$1$的数上有界；自然数序列不上有界.

仿此，若能求出数$m$，使一切$x\geq m$，就说，集$\lbrace x\rbrace $(被数$m$)下有界，且数$m$称为集$\lbrace x\rbrace $的下界.例如，自然数序列被$1$或任何$< 1$的数下有界；真分数集被$0$或$< 0$的数下有界.

上(下)有界的集，可以又下(上)有界，也可以不是下(上)有界.如，真分数集上有界也下有界，而自然数序列下有界，却不上有界.

若数集不上(下)有界，则称“广义的数”$+\infty$($-\infty$)为它的上(下)界.关于这些“广义的数”或“无穷的数”，我们有

$$-\infty < +\infty 及 -\infty < \alpha < +\infty ,$$

不论$\alpha$是怎样的(“有限的”)实数.

符号$+\infty$和$-\infty$读作“正无穷”和“负无穷”.

若数集上有界，即有有限的上界$M$，则同时可知这种上界必有无数个之多(例如，任何$> M$的数，显然亦是上界).在一切上界内，最小的上界特别有用，它称为上确界.仿此，若数集下有界，则一切下界中的最大者，便称为下确界.如对于一切真分数集，$0$及$1$就各为下确界及上确界.

成为问题的是：上(下)有界的数集是否永远有上(下)确界存在？实际上，由于上(下)界既是一无限数集，而在无限数集中并非恒能找出最小者或最大者，故在所考察的数集的一切上(下)界中有这种最小(大)数存在还需要加以证明.

定理 若集$\chi =\lbrace x\rbrace $上(下)有界，则它必有上(下)确界.

证明 在进行关于上界的讨论前，先考察两种情形：

$1°$ 在集$\chi$的诸数$x$中有一最大数$\overline{x}$.那时，集内的一切数将满足不等式$x \leq \overline{x}$，即$\overline{x}$为$\chi$的上界.另一方面，$\overline{x}$属于$\chi$；因此，对于任何的上界$M$成立不等式$\overline{x}\leq M$.由此得结论，$\overline{x}$是$\chi$集的上确界.

$2°$ 在集$\chi$的诸数$x$中无最大数.用下列方法产生实数域内的一个分划.取集$\chi$的一切上界$\alpha’$归入上组$\bf A’$内，一切余下的实数归入下组$\bf A$内.在这样分拆时，集$\chi$的一切数$x$将全部落在$\bf A$组内，因依照假定，其中没有最大数.这样，$\bf A$组及$\bf A’$组均非空集.这种分拆实际上就是一个分划，因一切实数均已分入两组，且$\bf A’$组内的任一数必大于$\bf A$组内的任何数.依戴德金基本定理，必有产生分划的实数$\beta$存在.一切数$x$，因属于$\bf A$组，均不能超过这“界数”$\beta$，即$\beta$可以用来作为$x$的上界，故$\beta$本身属于$A’$组，且成为该组的最小数.这样$\beta$就成为一切上界中的最小数，即是所求的集$\chi =\lbrace x\rbrace $的上确界.

定理的下半部(关于下确界的存在)的证法完全与此相同.

若$M^{\ast}$是数集$\chi =\lbrace x\rbrace $的上确界，则对于一切$x$恒有

$$x \leq M^{\ast}.$$

今取小于$M^{\ast}$的任意数$\alpha$，因$M^{\ast}$是上界中的最小者，则$\alpha$一定不会是集$\chi$的上界，即必能在$\chi$中求出数$x’$，使

$$x’ > \alpha .$$

用这两个不等式就能完全表明集$\chi$的上确界的特征.

仿此，集$\chi$的下确界$m^{\ast}$的特征可以用下面的话来表明：即对于$\chi$中的一切$x$有

$$x \geq m^{\ast} ,$$

但对于任一大于$m^{\ast}$的数$\beta$，必能在$\chi$中求出数$x’’$，使

$$x’’ < \beta .$$

数集$\chi$的上确界是$M^{\ast}$及下确界是$m^{\ast}$常用下列符号来记：

$$M^{\ast}=\text{sup} \chi =\text{sup} \lbrace x\rbrace ,m^{\ast}=\text{inf} \chi =\text{inf} \lbrace x\rbrace $$

(依拉丁文：$\text{supremum} =$最高的，$\text{infimum}=$最低的).

请注意一个明显的，以后常会遇到的推论：

若某数集的一切数$x$满足不等式$x \leq M$，则必有$\text{sup} \lbrace x\rbrace \leq M$.

实际上，数$M$显然是数集的上界之一，因此，一切上界中的最小者总不能超过它.

仿此，由不等式$x \geq m$，则必有$\text{inf} \lbrace x\rbrace \geq m$.

最后我们约定，若数集$\chi =\lbrace x\rbrace $不上有界，便说，它的上确界是$+\infty $：$\text{sup} \lbrace x\rbrace = +\infty$.仿此，若数集$\chi =\lbrace x\rbrace $不下有界，便说，它的下确界是$-\infty $：$\text{inf} \lbrace x\rbrace = -\infty$.