当你听到“对称”这个名词的时候，你最先想到什么呢？大多数人会想到几何形体的对称，因为我们生活在一个充满对称事物的世界里，每个人从他周围的事物中总会形成某种关于对称的直觉观念.人体是左右对称的，各种花朵有各种不同的对称，各种化学结晶体有各种不同的对称.海星有一个五次对称心，放大了的雪花有一个六次对称心.蜜蜂建造的蜂房有对称，人类建造的楼房也有对称.装饰的窗花、铺地的阶砖、衣物的带饰都有对称，而且，正是由于它们的对称性质这些美术图案予人视觉上的悦目感觉.但究竟什么叫做几何形体的对称呢？为什么你会觉得一个任意三角形不对称，但一个正三角形却对称？但一个正三角形又不及一个正方形对称，一个正方形又不及一个圆形对称呢？有些读者会说：“一个几何体经某些移动后与它自身重合，它便是对称了.”对的，这些移动有时是旋转，有时是翻转，有时是镜像反影，有时是它们的混杂.更一般地，我们可以这样描述.考虑平面或空间的保距移动，即是说经这移动后，若点$P$移往点$P’$，点$Q$移往点$Q’$，则$P’$与$Q’$的距离等于$P$与$Q$的距离.对一个几何形体$S$来说，有些保距移动把$S$的点移动后，得到的点正好又组成$S$，这样的保距移动叫做$S$的对称.$S$的全部对称，反映了那个几何形体的对称性质.

让我们看一个正三角形的对称.可以证明，如果$\triangle ABC$（边点加内点）经对称后与它自身重合，则它的边界（通常我们会说这个才是$\triangle ABC$!）经该对称后亦与自身重合.由于这类证明用了连续变换的性质，为避免引入过多的概念和术语，我不在这儿解释了，未学过这一点的读者不妨把三角形的对称看成是三角形的边界的对称.所以，$A$、$B$、$C$只能移往$A$、$B$、$C$，但次序可以调换.三个点的调换方式共有$3\times 2=6$个，可以写成

$$\begin{pmatrix}
A & B & C \\
A & B & C
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
A & C & B
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & A & C
\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & C & A
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
C & A & B
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
C & B & A
\end{pmatrix} .$$

数学上的术语，将这些叫休息集合$\lbrace A,B,C\rbrace $上的置换，比方最后一个，是指$A$换作$C$、$B$换作$B$（即是不换）、$C$换作$A$.在第$2.7$节里我们将会更详细地探讨一般置换的性质，暂时请读者实验一下，通过某些对称实现全部这个置换，比如最后一个是绕着穿过$B$的中线作轴翻转$180^{\circ }$得到.因此，正三角形共有$6$个对称.

让我们看一个正方形的对称.像上面说的，正方形的四个端点$A$、$B$、$C$、$D$只能移往$A$、$B$、$C$、$D$，但次序可以调换，于是至多有$4\times 3\times 2=24$个置换.不过，并非每个置换都可以通过某个对称实现，比方$\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\ B & D & C & A \end{pmatrix}$便不能实现，因为$A$换作$B$、$C$换作$C$，但$A$与$C$的距离可不等于$B$与$C$的距离.经过这样的筛选后，只剩下$8$个置换，即是

$$\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
A & B & C & D
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
D & A & B & C
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
C & D & A & B
\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
B & C & D & A
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
D & C & B & A
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
C & B & A & D
\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
B & A & D & C
\end{pmatrix} \quad
\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
A & D & C & B
\end{pmatrix} .$$

读者不妨又实验一下，通过某些对称实现全部这八个置换.因此，正方形共有$8$个对称.比起正三角形，正方形的对称较多，这也是为什么我们说正方形比较正三角形更加对称了.读者可试想想，一个圆形有多少个对称呢？