综合第$2.2$节和第$2.3$节的叙述，我们见到几何形体对称性质的异同，关键在于对称之间的结合关系，也就是要看那些结合关系表的模式（容许表里的元给调换或易名）.不过，我们也不要只见其异而忽略其同，近代数学的一个趋势正是要找出个别数学对象之间有没有相同的基本性质，以便建立统一的处理方法.让我们看看上一节的两个结合关系表（图$2.7$，图$2.8$），它们有没有相同的地方呢？

首先，两种结合关系都明显地满足以下一回事：任何两个元的结合，得来的总是某个元，否则那个表也就无从画起了！其次，两种结合关系都有一个“不动”的元.地位与众不同，它跟任何元结合，得出来的还是那个元.在第一个表里，那就是$I$；在第二表里，那就是$0$.这样的元，叫做单位元.再仔细看，每个元总有一个把它“复原”的元，跟它结合得出单位元.例如在第一个表里，$H$把$H$复原；在第二个表里，$3$把$1$复原.这样的元，叫做那个元的逆元.最后，还有一条规律并不容易从表中看出来，但全靠它我们才能方便地叙述一连串的结合.那条规律是这样的，如果有三个元按次结合，你可以先把头两个结合，得到的元与第三个结合；你也可以先把后两个结合，再把头一个与刚才得到的元结合，答案是相同的.例如，考虑第一个表的三个元$R$、$V$、$V$按次结合；先来$RV$，得$H$，再来$HV$，得$R$；也可以先来$VV$，得$I$，再来$RI$，也得$R$.因此，我们不妨简写为$RVV=R$，不必声明左边究竟代表$(RV)V$还是$R(VV)$.这条规律叫做结合律.好了，应该到了引入群这个术语的时候.凡是一个集合（即是某些考虑对象组成的一堆东西），它的元之间有某种结合关系，满足上述的简单条件，即是有单位元，每个元有逆元，结合律成立，我们便说它是一个群.说得更清楚一点：一个非空集$G$，在它上面定义一个二元运算，对$G$中任两元$a$、$b$、以$ab$记这运算得到的结果，$ab$仍是$G$中某个元，叫做$a$和$b$的乘积.这个运算满足以下三个性质：

$(1)$对任何$a$、$b$、$c$，有$(ab)c=a(bc)$；

$(2)$有$G$中的元$e$，使对所有$G$中元$a$，有$ae=ea=a$，$e$叫做$G$的单位元；

$(3)$对任何$G$中元$a$，有$G$中元$a’$，使$aa’=a’a=e$，$a’$叫做$a$的逆元.

这样的集合$G$叫做一个群.

上一节的两个例子都是群，各有四个元，或称四元群.但它们的结构不相同，每一个群的全部元自乘都是单位元，第二个群却只有两个元具备这个性质；第二个群拥有一个元，把它自乘$1$次、$2$次、$3$次、$4$次，依次得到全部元，第一个群却没有这样的一个元.不过，两个群都有一个性质，即是两个元的乘积与次序无关，$ab$与$ba$是相同的元，这样的群叫做可换群.很多群并不是可换群，就拿第$2.2$节里正方形的对称为例，把那$8$个对称记作

$$e=\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
A & B & C & D
\end{pmatrix} \quad
r=\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
D & A & B & C
\end{pmatrix} $$

$$s=\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
C & D & A & B
\end{pmatrix} \quad
t=\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
B & C & D & A
\end{pmatrix} $$

$$v=\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
D & C & B & A
\end{pmatrix} \quad
g=\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
C & B & A & D
\end{pmatrix} $$

$$h=\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
B & A & D & C
\end{pmatrix} \quad
f=\begin{pmatrix}
A & B & C & D\\
A & D & C & B
\end{pmatrix} .$$

它们组成一个群，结合关系表（也称作群表）如图$2.9$所示.

先实施$v$再实施$g$，得$t$；先实施$g$再实施$v$，得$r$.即是$gv=t$和$vg=r$，故$gv\neq vg$.不过，结合律还是成立的，例如$(gv)g=tg=h$，而$g(vg)=gr=h$，或简写作$gvg=h$.任何几何形体的全部对称组成一个群，结合方式是按次序的合成，以上举的例子只是特例而已.从实际几何考虑，读者不难明白这一点，你试行说服自己吧.任何几何形体的全部可以在三维空间实施的对称也组成一个群，叫做那个几何形体的旋转对称群.以后我们要讨论的主要其实只是这一类对称，不讨论没有办法在三维空间实现的对称（例如三维形体的镜像），为免啰唆，我们省略了“旋转”字眼，统称对称群.

上面举的几个例子，群只包含有限多个元，故称有限群.若有限群$G$有$N$个元，便说$G$的阶是$N$，记作$\vert G\vert =N$.（对一个集$S$来说，$\vert S\vert $表示$S$的基数，对有限的$S$，那即是$S$包含的元的个数.）很多群不是有限群，最简单的例子是整数加群$Z$，$0$是单位元，$a$的逆元是$-a$.一个圆的全部对称组成的群也是个无限群，读者能把它描述出来吗？在以后的章节里，我们要面对的都是有限群，为免啰嗦，从现在开始，如无特别声明，群即是有限群.虽然以后要叙述的定理都是针对有限群而言，但有不少定理对无限群同样也成立，不过我不一一指出了，有兴趣的读者自行找出来吧.