梵文万字的对称群有个很好的特性，就是单用一个元便可以刻画整个群，其余的元都是用这个元自乘若干次得来，元之间的结合关系也就显而易见了.这样特别的元叫做群的单一个生成元，拥有单一个生成元的群叫做循环群.让我们仔细看看循环群的结构.

先弄清楚一条基本公式，设$a$是群$G$中一个元，$a^n$代表什么呢？如果$n$是正整数，$a^n$自然应代表$a$自乘$n$次.$a^{-1}$是$a$的逆元，顺理成章，$a^{-2}$应是$a^{-1}$自乘$2$次，$a^{-3}$应是$a^{-1}$自乘$3$次；一般而言，如果$n$是正整数，$a^{-n}$代表$a^{-1}$自乘$n$次.看看下面几个式子：

$$a^2a^3 =(aa)(aaa)=aaaaa=a^5,$$

$$a^5a^{-2}=(aaaaa)(a^{-1}a^{-1})=aaa=a^3,$$

$$a^2a^{-4}=(aa)(a^{-1}a^{-1}a^{-1}a^{-1})=a^{-1}a^{-1}=a^{-2},$$

读者便明白应成立$a^ma^n=a^{m+n}$，就像中学生已熟悉的指数法则.为了使公式对任何整数$m$和$n$都成立，我们须定义$a^0=e$.（现在，读者应该明白为什么我们会把$a$的逆元写作$a^{-1}$了吧？）

给定群$G$中元$a$，考虑由$a$生成的子群，它由全部$a^m$（$m$是任意整数）组成，可记作

$$\langle a\rangle =\lbrace \cdots ,a^{-3} ,a^{-2} ,a^{-1} ,e,a,a^2 ,a^3 ,\cdots \rbrace .$$

如果$G=\langle a\rangle $，$a$便是$G$的单一个生成元，$G$便是个循环群.如果$G$是个无限循环群，每个$a^m$都不同.否则某个$a^s$即是$a^t$，且$s$大于$t$，从消去律可知$a^{s-t}=a^sa^{-t} =a^s(a^t)^{-1}=a^s(a^s)^{-1}=e$.既然$a$自乘若干次是$e$，便有最小的正整数$n$使$a^n=e$.因此，$a$、$a^2$、$a^3$、$\cdots $、$a^{n-1}$、$a^n(=e)$是$n$个互相不同的元.而且，$G$由这$n$个元组成，试取$G$的任意元$a^m$，有整数$r$使$m=nq+r$，$q$是整数，$r$在$0$和$n-1$之间（或取值$0$或$n-1$）（图$2.11$）.

注意$a^r=a^{m-nq}=a^m(a^n)^{-q}=a^me^{-q}=a^me=a^m$，所以或者$a^m=e$，或者$a^m=a^r$，$r$是个小于$n$的正整数.于是，$G$是个$n$阶群，与已知条件不符！既然每个$a^m$不同，它们的结合关系又服从指数法则，$G$的结构其实与整数加群$Z$一般无异.如果$G$是个有限循环群，按照刚才的推论，$G$是个$n$阶群，而且有

$$\cdots ,a^{-2}=a^{n-2} ,a^{-1}=a^{n-1} ,e,a,a^2,\cdots ,a^{n-1} ,a^n=e,$$

$$a^{n+1}=a,a^{n+2}=a^2,\cdots ,a^{2n-1}=a^{n-1},a^{2n}=e,\cdots ,$$

循环不息，因而有循环群的称号.一个$n$阶循环群的结构，与模$n$加群$Z_n $的结构一般无异，刚才的做法，不正是考虑以$n$除$m$后取余数吗？那相当于进行模$n$加法这个运算.

循环群是结构最简单的一类群，下面接着要介绍的一类群与循环群有密切关系，可以说是由循环群和它的“镜像”合成.从几何角度看，循环群的元是绕对称心的全部旋转，将要介绍的群的元是这些旋转结合绕着对称轴的翻转.这类群可以用两个生成元刻画，一个叫$a$，一个叫$b$，$a$和$b$都不是单位元.$a$满足$a^n=e$，而且$n$是满足这个条件的最小正整数；$b$满足$b^2=e$；$a$和$b$有个联系条件，即是$ab=ba^{n-1}$.翻译成几何语言，这个联系条件是说：先翻转$180^{\circ}$再顺时针方向转$(360/n)^{\circ}$，效果等于先逆时针方向转$(360/n)^{\circ}$再翻转$180^{\circ}$.群的每个元都是一连串$a$、$b$、$a^{-1}(=a^{n-1})$、$b^{-1}(=b)$的乘积，由于每个$b$都可以从$a$的右边搬到左边，代价是在右边添加适当数目的$a$，群的每个元是形如$b^ja^i$，$i$是个在$0$与$n-1$之间的整数，$j$是$0$或$1$.元之间的结合关系是显而易见的，例如当$n=5$时，$(ba^2)(ba^3)=(ba)(ab)(a^3)=(ba)(ba^4)(a^3)=(b)(ab)(a^7)=(b)(ab)(a^2)=(b)(ba^4)$$(a^2)=(b^2)(a^6)=a$.这样的群叫做$2n$阶二面体群，通常记作$D_n$.一个正$n$边形的对称群是个这样的群，正方形的对称群就是$D_4$，它里面蕴藏了一个四元循环群$Z_4$，剩下的四个元可以说是$Z_4$的“镜像”.从几何角度看，我们通常从$n=3$起才定义$D_n$，它一定不是可换群，因为$ab$不是$ba$而是$ba^{n-1}$.当$n=2$时，以上描述的生成元$a$和$b$还说得过去，得到的群是$\lbrace a,b,ba,e\rbrace $，其实它就是第$2.3$节里提及的矩形（非正方形）对称群，你喜欢的话可以叫它作$D_2$，但它是个可换群.

除了循环群与二面体群外，有没有别的群呢？下面介绍的做法，让我们把已知的群黏合在一起，制造新的群.办法很简单，设$G_1 $和$G_2 $是两个群，考虑全部有序偶$(a_1 ,a_2 )$，其中$a_1$是$G_1$的元，$a_2$是$G_2$的元.它们组成的集叫做$G_1$和$G_2 $的积，写作$G_1 \times G_2 $，在这个集合里我们定义一种结合关系，就是$(a_1 ,a_2)(b_1 ,b_2)=(a_1 b_1 ,a_2 b_2)$，右边的$a_1 b_1 $和$a_2 b_2$分别是在$G_1 $和$G_2$里的乘积.在这种结合关系下，$G_1 \times G_2 $是个群，叫做群$G_1 $和群$G_2 $的直积，它的单位元是$(e_1 ,e_2)$，其中$e_1 $和$e_2$分别是$G_1 $和$G_2 $的单位元，而$(a_1 ,a_2 )$的逆元是$(a_1^{-1} ,a_2^{-2})$.如果$G_1 $和$G_2 $是可换群，则$G_1 \times G_2 $也是可换群，例如刚才提到的$D_2 $其实与$Z_2 \times Z_2 $有相同的结构.试考虑$Z_4 \times Z_4$，它是个$16$元群.它的每一个元自乘四次后必是单位元，所以它没有单一的生成元，它的结构与循环群$Z_{16}$的结构有别.它是可换群，所以它的结构与二面体群$D_8$的结构也有别.$Z_4 \times Z_4 $是一个既非循环群又非二面体群的例子.当然，还有更多别的类型的群，我也不在这儿多花笔墨了.就以$16$元群例，结构互不相同的群共有$14$个，$Z_{16}$和$D_8$和$Z_4 \times Z_4 $只是其中三个而已.

二面体群$D_3$是个$6$元群，它的结构与$6$元循环群$Z_6$的结构有别，但它可以表为另一类型的群，而这类群将成为本书的主角之一，就让我们在下一节仔细看看吧.