《波利亚计数定理》三 “伯氏引理” 3.2 轨和稳定子群
现在，我们可以把问题表述成以下的形式：已知一个群$G$在一个集$S$上的作用，试计算轨的个数.如果每个轨的大小是一样，设有$k$个元，答案容易得出，就是$\vert S\vert /k$，$\vert S\vert $是$S$的元的个数.但上一节里第二个例子说明了一般情况并非如此，我们首先要计算的是每个轨有多少个元，这便引入稳定子群的概念了.让我们先理解为什么轨的大小不一样，那是因为可能存在$G$中元$g_1 $和$g_2 $，$g_1 \neq g_2 $，但$g_1 \ast s=g_2 \ast s$.如果没有那样的元，$g$走遍群$G$时，$g\ast s$个个不相同，于是每个轨都有$\vert G\vert $个元了.请注意，以上的说法等于说：存在$G$中元$g$，$g$不是单位元，但$g\ast s=s$.读者只要仿效上一节用过的做法，运用条件$(1)$和$(2)$便能证明这一回事，我不赘述了.我们把全部满足$g\ast s=s$的$g$收集在一起，它们不单组成$G$的一个子集，更组成$G$的一个子群，验证是直接计算，又是运用条件$(1)$和$(2)$，我也不赘述了.这个子群记作$G_s $，叫做$s$的稳定子群，用集合论的语言写作$G_s =\lbrace g\vert g\in G,g\ast s=s\rbrace $.请读者不要把$G_s $和$G(s)$混淆，前者是$G$的一个子群，后者是$S$的一个子集.
接着要说明的一个公式直觉上相当明显，但为了符合上一节的定义我们不得不作一点数学上的“装扮”，不如让我先道出公式的中心思想再去证明它吧.我们利用$G_s $把$G$划分成若干块，构成每一块的元正好是作用于$s$有相同效果的元，于是每一块便对应于轨$G(s)$一个元，有多少块$G(s)$便有多少元了.划分的办法是用$G_s$的元遍乘$G$的元，容易知道这样做每块有同样多的元，元的个数就是$G_s$的阶.因此，如果$G$的阶是$n$，$G_s $的阶是$m$，则$G$给划分成$n/m$块，所以轨$G(s)$也就有$n/m$个元了（图$3.4$）.
还记得第二章第$2.5$节的内容的读者，自然认得$n/m$这个数即是子群$G_s$的指数.现在让我们来证明这个公式：$G(s)$中元的个数等于稳定子群$G_s $的指数，先定义一个群$G_s $在$G$上的作用，对$G_s $中元$h$和$G$中元$g$，规定$h\ast g$是$gh^{-1}$（$g$和$h^{-1}$在$G$里的乘积）.不难验算那真的是个群在集上的作用，于是$G$给划分成轨$G_s (g)=\lbrace gh^{-1}\vert h\in G_s \rbrace $，$g$走遍群$G$.也不难验算每个轨$G_s (g)$有$m$个元，$G_s (g_1 )=G_s (g_2 )$当且仅当$g_1^{-1} g_2 $落在$G_s $里，亦即是说$g_1 \ast s=g_2 \ast s$.对每块$G_s (g)$规定$g\ast s$与它对应，这个对应与$g$在$G_s (g)$里的选取无关，而且不同的$G_s (g)$对应于不同的元$g\ast s$，任何$G(s)$的元又与某块$G_s (g)$对应，于是$G(s)$的元的个数等于块的个数，即是$n/m$，也即是子群$G$的指数.
有了上面的公式，我们终于能够说明一个非常有用的计数公式，也就是本书要讲述的中心理论的头一步.这个计数公式在很多书本中被称作“伯氏引理”（Burnside’s Lemma），因为它经由英国群论专家恩赛德（W.Burnside）的经典名著《有限群论》（第$2$版，$1911$年）而广泛流传.其实，早于$1845$年法国数学家柯西（A.L.Cauchy）已提出这个公式，后来德国数学家弗洛比尼斯（F.G.Frobenius）把它证明了.由于习称已久，本书姑且沿用“伯氏引理”这个名字，有兴趣想多知道一些有关史料的读者，可以参看以下的文章：
P.M.Neumann.A lemma that is not Burnside’s.The Mathematical Scientist,1979,4(2):133-141;
