让我们先定下伯氏引理：设$G$是一个$n$阶群，有元$g_1 ,g_2 ,\cdots ,g_n$，$S$是一个有限集，而$G$作用于$S$上.如果$r$是这个作用下的轨的个数，则

$$rn =\vert X(g_1 )\vert +\cdots +\vert X(g_n )\vert ,$$

$X(g)$是由$S$中所有满足$g\ast s=s$的元$s$组成的集，$\vert X(g)\vert $是这个集的元的个数.

未证明这条定理前，让我们用第$3.1$节的两个例子印证一下.在第一个例子里，数据如下：

$$n=8;\vert X(x_0 )\vert =24,\vert X(x_1 )\vert =\cdots =\vert X(x_7 )\vert =0.$$

为什么是这样呢？对$x_0 $来说，作用是不移动正方形，所以不论是$24$个摆法中的哪一个，经$x_0 $的作用后还是同一个，所以$X(x_0 )$是全部$24$个摆法组成的集.对任何别的元，作用总是移动了某些角，所以不论是哪一个摆法，经它的作用后肯定不是同一个，所以$X(x_1 )$、$X(x_2 )$、$\cdots $、$X(x_7 )$都是空集.把数据代入伯氏引理的公式，轨的数目$r$满足$8r=24+0+\cdots +0=24$，所以$r=3$.在第二个例子里，数据如下：

$$n=8;\vert X(x_0 )\vert =16,\vert X(x_1 )\vert =2,\vert X(x_2 )\vert =4,$$

$$\vert X(x_3 )\vert =2,\vert X(x_4 )\vert =4,\vert X(x_5 )\vert =8,$$

$$\vert X(x_6 )\vert =4,\vert X(x_7 )\vert =8.$$

为什么是这样呢？迟一点我们将在第$3.4$节里介绍一个概括的普遍算法，读者暂时不妨按照定义就着个别特殊情况计算，这对以后的解释，是有助于理解的.把数据代入伯氏引理的公式，轨的数目$r$满足$8r=16+2+4+2+4+8+4+8=48$，所以$r=6$.

证明伯氏引理的方法，是用两种不同的看法去数同一个数目，这个数目就是全部满足$g\ast s=s$的有序偶$(g,s)$的个数，暂记作$M$.先选定$g$，应有$\vert X(g)\vert $个那种有序偶，再走遍$G$中元$g$，得到$M=\vert X(g_1 )\vert +\cdots +\vert X(g_n )\vert $.再选定$s$，应有$\vert G_s \vert $个那种有序偶，再走遍$S$中元$s$，得到$M=\sum \vert G_s \vert $，求和式中的项数等于$S$中元的个数，利用第$3.2$节的公式，我们把$\vert G_s \vert $换作$n/n(s)$，$n(s)$是轨$G(s)$的元的个数.如果轨$G(s)$有元$s_1 $、$\cdots $、$s_j ,j=n(s)$，便有

$$\vert G_{s_1} \vert +\cdots +\vert G_{s_j} \vert =n(1/j+\cdots +1/j)=n,$$

因为式中正好有$j$个$1/j$.因此，如果有$r$个轨，$M=\sum \vert G_s \vert =rn $.把两个计算$M$的答案比较，便有

$$rn =\vert X(g_1 )\vert +\cdots +\vert X(g_n )\vert .$$

证明完毕.

设$G$是一个群，$H$是$G$的一个子群，定义一个群$H$在集$G$上的作用：对$H$中元$h$和$G$中元$g$，规定$h\ast g$是$gh^{-1}$（$g$和$h^{-1}$在$G$里的乘积）.在第$3.2$节里你已见过类似的作用，这时$g$的轨$H(g)=\lbrace gh^{-1}\vert h\in H\rbrace $也就是$\lbrace gh\vert h\in H\rbrace $，在第$2.5$节里这个叫做包含$g$的$H$的（左）陪集，陪集的个数叫做$H$的指数，记作$(G\colon H)$.把伯氏引理应用于这个特殊情况，数据如下：

$$n=\vert H\vert ;\vert X(e)\vert =\vert G\vert ;$$

$$\vert X(h)\vert =0,h\neq e;r=(G\colon H).$$

读者试写下$X(h)$的定义便明白了.因此，公式变成$(G\colon H)\vert H\vert =\vert G\vert $，那即是第$2.5$节提及的拉格朗日定理的内容.就这个意义说，伯氏引理是拉格朗日定理的推广.