本章的中心课题是研究如何用有理数去逼近一个无理数.在数学的实际应用中这是一个重要的问题.解决的方法是巧妙的，它使用了奇特的工具：法瑞分数和福特圆.这是$19$世纪两位数学家的创造.

可以用三个奇妙来概括本章的内容：奇妙的创造，奇妙的结合，奇妙的应用.

法瑞序列

法瑞序列是一个叫法瑞（Farey）的矿物学家发现的，$1816$年他发表了自己的结果，但是没有证明，柯西（Aguustin-Louis Cauchy ，$1789-1857$）很快给出了有关结果的证明.在近代数论研究中法瑞序列是一个重要的工具，它可用来研究用有理数逼近实数的问题.

$n$级法瑞序列指的是位于$0$与$1$之间的既约分数$\dfrac{b}{a}$，其分母$a\leqslant n$.级为$1$、$2$、$3$、$4$、$5$的法瑞序列分别是

$$\dfrac01 ,\dfrac11 ;$$

$$\dfrac01 ,\dfrac12 ,\dfrac11 ;$$

$$\dfrac01 ,\dfrac13 ,\dfrac12 ,\dfrac23 ,\dfrac11 ;$$

$$\dfrac01 ,\dfrac14 ,\dfrac13 ,\dfrac12 ,\dfrac23 ,\dfrac34 ,\dfrac11 ;$$

$$\dfrac01 ,\dfrac15 ,\dfrac14 ,\dfrac13 ,\dfrac25 ,\dfrac12 ,\dfrac35 ,\dfrac23 ,\dfrac34 ,\dfrac45 ,\dfrac11 .$$

这五个序列中的每一个都是以大小为序排列它们各项的.

$n$级法瑞序列用$F_n $表示.

法瑞序列的性质

在$n$级法瑞序列$F_n $中，任何两个相邻的分数$\dfrac{h}{k}$、$\dfrac{l}{m}$总满足下面的关系式

$$\dfrac{h}{k} < \dfrac{l}{m} ,\label{1.1} \tag{1.1} $$

或者

$$hm < kl .\label{1.2} \tag{1.2} $$

事实上，法瑞发现了更精确的关系.

定理$1\quad $设$\dfrac{h}{k}$、$\dfrac{l}{m}$是$n$级法瑞序列$F_n $中的两个相邻的分数，若$\dfrac{h}{k} < \dfrac{l}{m} $，则

$$kl-hm=1.\label{1.3} \tag{1.3}$$

证明：我们用归纳法证明这个定理.

当$n=1,2,3,4,5$时，通过直接验证就知道定理成立.

今假设定理对$F_n$成立，要证定理对$F_{n+1}$也成立.设$\dfrac{a}{b}$是一个不在$F_n $中的既约分数，即$b > n$.这时$\dfrac{a}{b}$将位于$F_n $中某两个相邻分数$\dfrac{h}{k}$和$\dfrac{l}{m}$之间：

$$\dfrac{h}{k} < \dfrac{a}{b} < \dfrac{l}{m} .\label{1.4} \tag{1.4}$$

根据归纳法假设，式$\eqref{1.3}$成立.现令

$$\begin{array}{l}
\lambda =ak-bh > 0 , \\
\mu =-am+bl > 0,
\end{array} \label{1.5} \tag{1.5} $$

$\lambda $、$\mu $是正整数，这是式$\eqref{1.4}$的结果.式$\eqref{1.5}$是二元一次方程组，从中可以将$a$、$b$解出来：

$$\begin{array}{l}
a=\mu h+\lambda l,\\
b=\mu k+\lambda m.
\end{array} \label{1.6} \tag{1.6}$$

注意在求解的过程中用到了条件$\eqref{1.3}$.这样一来，满足条件$\eqref{1.4}$的任何既约分数$\dfrac{a}{b}$都可以借助式$\eqref{1.6}$式通过适当的正整数$\lambda $、$\mu $表达出来.

反过来，对一切$\lambda $、$\mu > 0$，我们有

$$\dfrac{h}{k} < \dfrac{\mu h+\lambda l}{\mu k+\lambda m} < \dfrac{l}{m} .$$

事实上，由式$\eqref{1.3}$，$hm < kl$，所以

$$h(\mu k+\lambda m) < k(\mu h+\lambda l)$$

及

$$(\mu h+\lambda l)m < l (\mu k+\lambda m).$$

$hm < kl\Rightarrow \mu hm < l \mu k$，$\mu h m +\lambda lm < l \mu k +l \lambda m $.

这样一来，我们证明了，满足式$\eqref{1.4}$的一切既约分数取下述形式：

$$\dfrac{a}{b} =\dfrac{\mu h+\lambda l}{\mu k+\lambda m} ,\lambda \geqslant 1,\mu \geqslant 1.$$

分母$b$可取到的最小值是$n+1$，这时分数$\dfrac{a}{b}$出现在$n+1$级法瑞序列$F_{n+1}$中，而不会出现在$F_n $中，于是，$\lambda $和$\mu $必须尽可能地小.也就是说，$\lambda =1$，$\mu =1$.这样一来，我们有

$$a=h+l,b=k+m=n+1.$$

这个新分数

$$\dfrac{a}{b} =\dfrac{h+l}{k+m}$$

是满足式$\eqref{1.4}$的唯一的属于$F_{n+1}$的分数.所以在$F_{n+1}$中，它与$\dfrac{h}{k}$和$\dfrac{l}{m}$是相邻分数.现在我们需要证明，这个新分数与它相邻分数满足式$\eqref{1.3}$.事实上，

$$\begin{align}
ka-hb & =k(h+l)-h(k+m) \\
& =kl-hm=1.
\end{align}$$

同样地，

$$\begin{align}
lb-ma & =l(k+m)-m(h+l) \\
& =lk-mh=1.
\end{align}$$

在$k+m > n+1$的情况，在分数$\dfrac{h}{k}$和$\dfrac{l}{m}$之间没有$F_{n+1}$中的分数.这时$\dfrac{h}{k}$与$\dfrac{l}{m}$就是$F_{n+1}$中的相邻分数.根据归纳法假设，它们满足式$\eqref{1.3}$.

这样，我们证明了，定理对于$n+1$也是成立的.这就完成了定理$1$的证明.

设$\dfrac{a}{b} $和$\dfrac{c}{d}$是$n$级法瑞序列$F_n $中的两个相邻项，我们把分数$\dfrac{a+c}{b+d}$叫做这两项的中项.我们知道，若$\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}$，则

$$\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d} < \dfrac{c}{d} .$$

定理$2\quad $设$\dfrac{h}{k} < \dfrac{a}{b} < \dfrac{l}{m}$是法瑞序列中的相邻项，则

$$\dfrac{a}{b} =\dfrac{h+l}{k+m} .$$

证明：由定理$1$，

$$\begin{array}{l}
ak-bh=1,\\
lb-am=1,
\end{array}$$

两式相减，得

$$a(k+m) -b(b+l)=0.$$

此式等价于定理的结论.

用有理数逼近无理数

设$r$是一个无理数.我们只考虑$0 < r < 1$的情况，因为任何无理数去掉整数部分都可以归结为这种情况.我们希望用以$k$为分母的有理数去逼近它，并且希望逼近的程度尽量好.这一问题可用法瑞序列来解决.考虑$n$级法瑞序列.$r$一定位于$F_n $中某两个相邻项$\dfrac{a}{b}$和$\dfrac{c}{d}$之间，即

$$\dfrac{a}{b} < r < \dfrac{c}{d} ,$$

考虑中项$\dfrac{a+c}{b+d}$，$r$一定位于中项的某一边：

$$\dfrac{a}{b} < r < \dfrac{a+c}{b+d} ,$$

或

$$\dfrac{a+c}{b+d} < r < \dfrac{c}{d} .$$

由于中项不在$F_n $中，我们有$b+d \geqslant n+1 $，所以，或者

$$0 < r-\dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d} -\dfrac{a}{b} =\dfrac{1}{b(b+d)} \leqslant \dfrac{1}{(n+1)b} ,$$

或者

$$0 < \dfrac{c}{d} -r < \dfrac{c}{d} -\dfrac{a+c}{b+d} =\dfrac{1}{d(b+d)} \leqslant \dfrac{1}{(n+1)d} ,$$

这样一来，我们证明了下述定理：

定理$3\quad $对无理数$r$和任一自然数$n$，总存在一个分数$h/k$，其分母$k\leqslant n$，使得

$$\left\vert r-\dfrac{h}{k} \right\vert < \dfrac{1}{(n+1)k} .$$

由于$k\leqslant n$，所以我们有

$$\left\vert r-\dfrac{h}{k} \right\vert < \dfrac{1}{k^2} .$$

我们知道有无穷多个法瑞序列，因而也有无穷多个有理数$h/k $满足上述关系式.仍使用法瑞序列我们还可将上面的结果改得更好.

定理$4\quad $若$r$是无理数，则存在无穷多个分数$h/k$，使得

$$\left\vert r-\dfrac{h}{k} \right\vert < \dfrac{1}{2k^2} .$$

证明$\quad $考虑$n$级法瑞序列，那么$r$位于$F_n $中某两个相邻分数$\dfrac{a}{b}$和$\dfrac{c}{d}$之间：

$$\dfrac{a}{b} < r < \dfrac{c}{d} ,$$

我们希望证明

$$r-\dfrac{a}{b} < \dfrac{1}{2b^2} \quad \mathrm{or} \quad \dfrac{c}{d} -r < \dfrac{1}{2d^2} .\label{1.7} \tag{1.7}$$

假定不是这样，则我们有

$$r-\dfrac{a}{b} \geqslant \dfrac{1}{2b^2} \quad \mathrm{and} \quad \dfrac{c}{d} -r \geqslant \dfrac{1}{2d^2} ,\label{1.8} \tag{1.8}$$

于是，

$$\dfrac{c}{d} -\dfrac{a}{b} \geqslant \dfrac{1}{2b^2} +\dfrac{1}{2a^2} =\dfrac{b^2+d^2}{2b^2d^2} .$$

但是，由$\eqref{1.3}$式

$$\dfrac{c}{d} -\dfrac{a}{b} =\dfrac{cb-ad}{bd} =\dfrac{1}{bd} ,$$

所以

$$0\geqslant \dfrac{b^2+d^2}{2b^2d^2} -\dfrac{1}{bd} =\dfrac{(b-d)^2}{2b^2d^2} .$$

这只有在$b=d$时才可能.由于$ad-bc=-1$，所以$b=d$蕴涵$b=d=1$.因此对于$n > 1$级法瑞序列$F_n $，式$\eqref{1.8}$不会成立，只有式$\eqref{1.7}$成立.注意到$n$的任意性，这就证明了定理$4$.

这样一来，又引出了下面的问题：是否存在无穷多个分数$h/k$具有更好的逼近：

$$\left\vert r-\dfrac{h}{k} \right\vert < \dfrac{1}{ck^2} ,\label{1.9} \tag{1.9}$$

这里$c > 2$.$c$的最大可能值是什么？

定理$5\quad $对任何正数$c\leqslant \sqrt{5}$，不等式$\eqref{1.9}$有无穷多个解.但是，当$c > \sqrt{5}$时，存在无理数$r$，使得不等式$\eqref{1.9}$仅有有限个解.

定理的后半部分是容易证明的.取$r=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$以及$0 < \alpha < 1$，然后找分数$h/k$，使它们满足

$$\left\vert \dfrac{h}{k} -\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \right\vert < \dfrac{\alpha }{\sqrt{5}k^2} ,\label{1.10} \tag{1.10} $$

如果我们写

$$\dfrac{h}{k} -\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} =\dfrac{\theta }{\sqrt{5} k^2} ,$$

那么前一不等式指出，$\vert \theta \vert < \alpha < 1$.两边乘以$k$，并移项，我们得到

$$h-\dfrac{k}{2} =\dfrac{\sqrt{5} k}{2} +\dfrac{\theta }{\sqrt{5} k} ,$$

两边平方，并重排各项，得

$$h^2 -hk-k^2=\theta +\dfrac{\theta^2}{5k^2} ,$$

上式的左边是整数，当整数$h$、$k$都不是零时，左边不可能是零，所以我们有

$$1\leqslant \left\vert \theta +\dfrac{\theta^2}{5k^2} \right\vert < \alpha +\dfrac{\theta^2}{5k^2} ,$$

或

$$k^2 < \dfrac{\theta^2}{5(1-\alpha )} .$$

这就限制住了分母$k$.这样对于有限多个$k$，$h$也只能有有限多个.这样一来，对于

$$c=\dfrac{\sqrt{5}}{\alpha } > \sqrt{5} ,$$

式$\eqref{1.9}$只能有有限多个解$h/k$.

定理前半段的证明需要用福特圆的概念.所以我们暂时不去证明定理，而来引进这一新工具.