文章目錄
  1. 1. 高阶导数的定义
  2. 2. 任意阶导数的普遍公式
  3. 3. 莱布尼茨公式
  4. 4. 例题
  5. 5. 高阶微分
  6. 6. 高阶微分的形式不变性的破坏
  7. 7. 参变量微分法
  8. 8. 有限差分

高阶导数的定义

若函数$y=f(x)$在某一区间$\mathcal{X}$内有有限导数$y’=f’(x)$,则后者本身就代表$x$的另一函数,于是可能遇到这函数在$\mathcal{X}$内的某一点$x_0 $处也有有限或无穷导数.它就称为函数$y=f(x)$在该点处的二阶导数,并以下列记号之一来表示:

$$\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} ,y’’,\mathrm{d}^2 y;\dfrac{\mathrm{d}^2 f(x_0 )}{\mathrm{d}x^2} ,f’’(x_0 ) ,\mathrm{d}^2 f(x_0 ).$$

例如,我们已在$92$内已看到过,动点的速度$v$是它所经过的路程$s$关于时间$t$的导数:$v=\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} $,加速度$a$是速度$v$关于时间$t$的导数:$a=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$.这就是说,加速度是路程关于时间的二阶导数:$a=\dfrac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t^2} $.

类似地,若函数$y=f(x)$在整个区间$\mathcal{X}$内(即在这区间内的每一点)有有限二阶导数,则它在$\mathcal{X}$内任意点$x_0 $处的有限或无穷导数就称为函数$y=f(x)$在这点处的三阶导数,并记成:

$$\dfrac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} ,y’’’,\mathrm{d}^3 y;\dfrac{\mathrm{d}^3 f(x_0 )}{\mathrm{d}x^3} ,f’’’(x_0 ) ,\mathrm{d}^3 f(x_0 ).$$

用相似的方法由三阶导数可得出四阶导数,等等.若假定$(n-1)$阶导数的概念已定义过,且$(n-1)$阶导数在区间$\mathcal{X}$内存在而且是有限的,则它在这区间内某一点$x_0 $处的导数称为原来函数$y=f(x)$的$n$阶导数;它的表示法,采用记号

$$\dfrac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} ,y^{(n)},\mathrm{d}^n y;\dfrac{\mathrm{d}^n f(x_0 )}{\mathrm{d}x^n} ,f^{(n)}(x_0 ) ,\mathrm{d}^n f(x_0 ).$$

有时在应用拉格朗日或柯西的表示法时,可能需要指出依那种变量而取导数;那时它就写成下标的形式:

$$y_{x^2}’’ ,D_{x^3}^3 y,f_{x^n}^{(n)} (x_0 ),$$

余类推.

其中$x^2 ,x^3 ,\cdots $是代替$xx ,xxx ,\cdots $的约定简写法.例如,可以写成$a=s_{t^2}’’$.

(读者明白,此处的整个记号

$$\dfrac{\mathrm{d}^n f}{\mathrm{d}x^n } ,f^{(n)} 或f_{x^n}^{(n)} ,\mathrm{d}^n f或\mathrm{d}_{x^n}^n f$$

可以看成是函数记号.)

用这种方法,从一阶导数依次推到后一导数,我们就“归纳地”定义了$n$阶导数的概念.确定$n$阶导数的关系式:

$$y^{(n)} =[y^{(n-1)}]’$$

也称为递推关系式,由于它可以使我们从$n$阶导数还原到$(n-1)$阶导数.

$n$阶导数的求法,在已给定$n$时,就依读者所已经知道的法则及公式去进行.例如,若

$$y=\dfrac12 x^4 -\dfrac16 x^3 +2x^2 +\dfrac43 x -\dfrac12 ,$$

$$y’=2x^3-\dfrac12 x^2 +4x +\dfrac43 ,y’’=6x^2 -x+4,y’’’=12x-1,y^{\rm IV} =12,$$

于是以后的各阶导数都恒等于$0$.

或设

$$y=\ln (x+\sqrt{x^2 -1});$$

$$y’=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} ,y’’=-\dfrac{x}{(x^2+1)^{\frac32 }} ,y’’’=\dfrac{2x^2-1}{(x^2+1)^{\frac52}} ,$$

等等.

须指出,关于高阶导数亦可以归纳地建立单侧导数的概念[参阅$100$].若函数$y=f(x)$仅在某一区间$\mathcal{X}$内定义着,则当说及它在区间的端点的任意阶导数时,总是指的单侧导数.

任意阶导数的普遍公式

一般说来,要计算任何函数的$n$阶导数,必须预先求出前面一切阶的导数.然而在有许多情形,却能顺利地建立$n$阶导数的普遍式,它直接依赖着$n$,而不再包含前面各阶导数的记号.

在推导这种普遍式时,下列公式有时是有用处的:

$$(cu)^{(n)} =c\cdot u^{(n)} ,(u\pm v)^{(n)} =u^{(n)} \pm v^{(n)} ,$$

它们是读者所已经知道的$97$中法则Ⅰ及Ⅱ推广到高阶导数时的结果.逐次地应用这些法则,就很容易得出它们.

$1)$首先考察幂函数$y=x^{\mu}$,其中$\mu $是任何实数.我们依次有

$$\begin{array}{l}
y’=\mu x^{\mu -1} ,y’’=\mu (\mu -1)x^{\mu -2} ,\\
y’’’=\mu (\mu -1)(\mu -2)x^{\mu -3} ,\cdots
\end{array}$$

由此也很易看出普遍的规律:

$$y^{(n)} =\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)x^{\mu -n } ,$$

但严格说来,它必须再加证明.为此,可利用数学归纳法.假设在$n$的某一数值时这公式是对的,再微分它一次,我们就得到:

$$\begin{align}
[y^{(n)}]’=y^{(n+1)} & =\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)[x^{\mu -n}]’ \\
& =\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)(\mu -n)x^{\mu -(n+1)} ,
\end{align}$$

因此,如果我们的公式对于$n$阶导数时是对的,则对于$(n+1)$阶导数也是对的.由此也就推得它对于一切自然数$n$的数值是正确的.

例如,若取$\mu =-1$,则得

$$\left( \dfrac{1}{x} \right)^{(n)} =(-1)(-2)\cdots (-n) x^{-1-n} =\dfrac{(-1)^n \cdot n!}{x^{n+1}} $$

而在$\mu =-\dfrac12 $时,

$$\left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} \right)^{(n)} =\left( -\dfrac12 \right) \left( -\dfrac32 \right) \cdots \left( -\dfrac{2n-1}{2} \right) x^{-\frac12 -n} =\dfrac{(-1)^n(2n-1)!!}{(2x)^n\sqrt{x}} $$

记号$n!!$表示自然数的连乘积,这些自然数不超过$n$并且每两数间的差都是二,例如

$$7!!=1\cdot 3 \cdot 5\cdot 7,10!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8 \cdot 10.$$

余依次类推.

当$\mu $本身自然数$m$时,则$x^m$的$m$阶导数已经就是常数$m!$,而一切以后的导数就是零.由此,明显可见,对于$m$次整多项式亦有相似的情况.

$2)$对于略为普遍的一些式子

$$y=(a+bx)^{\mu }\quad (a,b=常量)$$

仍旧很容易求出:

$$y^{(n)} =\mu (\mu -1)\cdots (\mu -n+1)\cdot b^n \cdot (a+bx)^{\mu -n} .$$

特别情形,同上面那样,得出

$$\left( \dfrac{1}{a+bx} \right)^{(n)} =\dfrac{(-1)^n n!b^n}{(a+bx)^{n+1}} ,\left( \dfrac{1}{\sqrt{a+bx}} \right)^{(n)} =\dfrac{(-1)^n(2n-1)!!b^n}{2^n (a+bx)^n \sqrt{a+bx}} .$$

$3)$今设$y=\ln x$.首先有

$$y’=(\ln x)’=\dfrac{1}{x} .$$

由此式依$1)$内的对应公式取$(n-1)$阶导数,在它里面把$n$换成$n-1$;那时我们们亦就得出

$$y^{(n)} =(y’)^{(n-1)} =\left( \dfrac{1}{x} \right)^{(n-1)} =\dfrac{(-1)^{n-1} (n-1)!}{x^n} .$$

$4)$若$y=a^x $,则

$$y’=a^x \cdot \ln a,y’’=a^x \cdot (\ln a)^2 ,\cdots $$

普遍公式

$$y^{(n)} =a^x \cdot (\ln a)^n $$

很容易用数学归纳法证明.

特别情形,显然有

$$(e^x)^{(n)} =e^x .$$

$5)$假定$y=\sin{x}$;则

$$y’=\cos{x} ,y’’=-\sin{x} ,y’’’=-\cos{x} ,$$

$$y^{\rm IV} =\sin{x} ,y^{\rm V} =\cos{x} ,\cdots .$$

由这一途径去求$n$阶导数的普遍式是比较困难的.但若把一阶导数的公式改写成$y’=\sin{\left( x+\dfrac{\pi}{2} \right) } $,事情就立刻简单化了;很清楚的,每微分一次以后,就只要在变元上加一个$\dfrac{\pi }{2}$,于是

$$(\sin{x})^{(n)} =\sin{\left( x+n\cdot \dfrac{\pi }{2} \right) } .$$

类似地又得出公式

$$(\cos{x})^{(n)} =\cos{\left( x+n\cdot \dfrac{\pi }{2} \right) } .$$

$6)$考察函数$y=\dfrac{1}{x^2-a^2} $.把它表示成为

$$y=\dfrac{1}{2a} \left( \dfrac{1}{x-a} -\dfrac{1}{x+a} \right) ,$$

$7)$在函数$y=e^{ax}\sin{bx}$的情形,我们将利用更巧妙的方法.就是,有

$$y’=ae^{ax} \sin{bx} +be^{ax} \cos{bx} ;$$

若引入由下列条件所定义的辅助角$\varphi $

$$\sin{\varphi } =\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ,\cos{\varphi } =\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} ,$$

则一阶导数的表达式就可以改写成

$$\begin{align}
y’ & =\sqrt{a^2+b^2} \cdot e^{ax} \cdot (\sin{bx} \cdot \cos{\varphi } +\cos{bx} \cdot \sin{\varphi }) \\
& =\sqrt{a^2 +b^2 } \cdot e^{ax} \cdot \sin{(bx +\varphi )} .
\end{align}$$

重复地微分,很易根据数学归纳法而建立普遍的规律

$$y^{(n)} =(a^2+b^2)^{\frac{n}{2}} \cdot e^{ax} \cdot \sin{(bx+n\varphi )} .$$

$8)$再讨论函数$y=\arctan{x}$.首先让我们设法用$y$表示$y^{(n)}$.因为$x=\tan{y}$,故

$$y’=\dfrac{1}{x^2+1} =\cos{}^2 y=\cos{y} \cdot \sin{\left( y+\dfrac{\pi }{2}\right) } .$$

再关于$x$而微分它(并记住$y$是$x$的函数),则得

$$\begin{align}
y’’ & =\left[ -\sin{y} \cdot \sin{\left( y+\dfrac{\pi }{2}\right) } +\cos{y} \cdot \cos{\left( y+\dfrac{\pi }{2}\right) } \right] \cdot y’ \\
& =\cos{}^2 y\cdot \cos{\left( 2y+\dfrac{\pi}{2} \right) } =\cos{}^2 y\cdot \sin{2\left( y+\dfrac{\pi }{2} \right) } .\end{align}$$

又一次的微分给出

$$\begin{align}
y’’’ & =\left[ -2\sin{y} \cdot \cos{y} \cdot \sin{2\left( y+\dfrac{\pi }{2}\right) } +2\cos{}^2 y \cdot \cos{2\left( y+\dfrac{\pi }{2}\right) } \right] \cdot y’ \\
& =2\cos{}^3 y\cdot \cos{\left( 3y+2\cdot \dfrac{\pi}{2} \right) } =2\cos{}^3 y\cdot \sin{3\left( y+\dfrac{\pi }{2} \right) } .\end{align}$$

普遍的公式

$$y^{(n)} =(n-1)!\cos{}^n y\cdot \sin{n\left( y+\dfrac{\pi}{2} \right) }$$

可由数学归纳法证明.

若(在$x > 0$时)引入角

$$z=\arctan{\dfrac{1}{x}} =\dfrac{\pi }{2} -y,$$

则这公式可以改写成

$$y^{(n)} =(n-1)!\dfrac{1}{(1+x^2)^{\frac{n}{2}}} \cdot \sin{n(\pi -z)} ,$$

或最后,

$$y^{(n)} =(-1)^{n-1} (n-1)! \dfrac{1}{(1+x^2)^{\frac{n}{2}}} \sin{n\arctan{\dfrac{1}{x}}} .$$

$9)$最后,可作为一个练习题来建立公式

$$D^n (x^{n-1} e^{\frac{1}{x}}) =(-1)^n \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{n+1}} \quad (n=1,2,\cdots ).$$

它在$n=1$及$n=2$时的正确性可以直接验证.现在假设,它对于$n$的一切数值,直到$n\geqslant 2$的某一数值为止都是对的,要证明它当$n$换成$n+1$时仍旧也对.为这目的,考察表达式

$$\begin{align}
D^{n+1} (x^n e^{\frac{1}{x}}) & =D^n [D(x^n e^{\frac{1}{x}})] \\
& =D^n [nx^{n-1} e^{\frac{1}{x}} -x^{n-2} e^{\frac{1}{x}}] \\
& =n\cdot D^n (x^{n-1} e^{\frac{1}{x}}) -D[D^{n-1} (x^{n-2} e^{\frac{1}{x}})] .
\end{align}$$

应用我们的假设,可以改写这表达式为

$$D^{n+1} (x^n e^{\frac{1}{x}}) =n\cdot (-1)^n \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{n+1}} -D[(-1)^{n-1} \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^n}] =(-1)^{n+1} \dfrac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{n+2}} ,$$

这就是我们所要证明的.

因此,这公式对于一切自然数值$n$时都是对的.

莱布尼茨公式

我们在前一目开始时曾指出$97$的法则Ⅰ及Ⅱ可以直接移用到任意阶导数的情形.但处理关于乘积的导数的法则Ⅲ却较为费事.

假定$u,v$是$x$的函数,且各自有直到$n$阶为止的各阶导数;我们将证明这时它们的乘积$y=uv$亦有$n$阶导数,并将求出它的表达式.

应用法则Ⅲ逐次微分这乘积;我们就求出:

$$y’=u’v+uv’,y’’=u’’v+2u’v’+uv’’,y’’’=u’’’v+3u’’v’+3u’v’’+uv’’’ ,\cdots $$

很易看出导出一切这些公式的规律:它们的右边使我们想起二项式的各次幂$u+v$,$(u+v)^2$,$(u+v)^3$,$\cdots $的展开式,只把$u,v$的各次幂换成对应阶的导数罢了.若在所得的公式内把$u,v$写成$u^{(0)} ,v^{(0)} $,其间的相似性就更为完全.推广这一规律到任意的$n$的情形,即得普遍的公式:

$$\begin{align}
& y^{(n)} \\
= & (uv)^{(n)} =\sum_{i=0}^n C_n^i u^{(n-i)} v^{(i)} \\
= & u^{(n)} v+nu^{(n-1)} v’ +\dfrac{n(n-1)}{1\cdot 2} u^{(n-2)} v’’ +\cdots +\dfrac{n(n-1)\cdots (n-i+1)}{1\cdot 2 \cdot \cdots \cdot i} u^{(n-i)} v^{(i)} +\cdots +uv^{(n)} .
\end{align}\label{1} \tag{1}$$

要证明它的正确性,可再运用数学归纳法.假设对于某一$n$值上式是对的.若函数$u,v$的$(n+1)$阶导数也存在,则可以依$x$将上式再微分一次;我们就得:

$$\begin{align}
y^{(n+1)} & =\sum_{i=0}^n C_n^i [u^{(n-i)} v^{(i)}]’ \\
& =\sum_{i=0}^n C_n^i u^{(n-i+1)} v^{(i)} +\sum_{i=0}^n C_n^i u^{(n-i)} v^{(i+1)} .
\end{align}$$

今将合并在最后两个总和内含函数$u,v$的同阶导数的各个乘积(很易看出,在每一乘积内,导数的阶的总和始终是等于$n+1$).乘积$u^{(n+1)} v^{(0)}$仅包含在第一个总和内(在$i=0$时);在这总和内,它的系数是$C_n^0 =1$.完全与此相同,$u^{(0)} v^{(n+1)} $仅包含在第二个总和内(有序号$i=n$的项),它的系数是$C_n^n =1$.包含在这两个总和内的其他的一切乘积,它们的形式是$u^{(n+1-k)}v^{(k)}$,并且$1\leqslant k\leqslant n$.每一个这种的乘积,在第一个总和内能遇到(有序号$i=k$的项),在第二个总和内亦能遇到(有序号$i=k-1$的项).对应的系数的和是$C_n^k +C_n^{k-1}$.大家都已经知道,

$$C_n^k +C_n^{k-1} =C_{n+1}^k .$$

这样,最后求出:

$$\begin{align}
y^{(n+1)} & =u^{(n+1)} v^{(0)} +\sum_{k=1}^n C_{n+1}^k u^{[(n+1)-k]} v^{(k)} +u^{(0)} v^{(n+1)} \\
& =\sum_{k=0}^{n+1} C_{n+1}^k u^{[(n+1)-k]} v^{(k)} ,
\end{align}$$

因为$C_{n+1}^0 =C_{n+1}^{n+1} =1$.

我们已得到$y^{(n+1)}$的表达式,它完全类似于表达式$\eqref{1}$(仅$n$换成$n+1$);这样就证明了公式$\eqref{1}$对于一切自然数值$n$的正确性.

已建立的公式$\eqref{1}$,称为莱布尼茨公式.在推出$n$阶导数的普遍式时,它经常是有用处的.

须指出对于许多因子的连乘积$y=uv\cdots t$的$n$阶导数,也可建立这样的公式;它与多项式的幂$(u+v+\cdots +t)^n $的展开式相类似.

例题

$1)$用莱布尼茨公式$\eqref{1}$求导数

$$(x^2\cdot \cos{ax} )^{(50)} .$$

令$v=x^2 ,u=\cos{ax} $.那时

$$u^{(k)} =a^k \cdot \cos{\left( ax+k\dfrac{\pi }{2}\right) } ,v’=2x ,v’’=2 ,v’’’=v^{\rm IV} =\cdots =0.$$

这样,在公式$\eqref{1}$内除去首三项外,其余各项都等于零,于是我们就得到

$$\begin{align}
(uv)^{(50)} & =x^2 \cdot a^{50} \cdot \cos{\left( ax+50\cdot \dfrac{\pi }{2} \right) } +\dfrac{50}{1} \cdot 2x \cdot a^{49} \cdot \cos{\left( ax+49\cdot \dfrac{\pi }{2} \right) } \\
& +\dfrac{50\cdot 49}{1\cdot 2} \cdot 2 \cdot a^{48} \cdot \cos{\left( ax+48\cdot \dfrac{\pi }{2} \right) } \\
& =a^{48} [(2450-a^2 x^2) \cos{ax} -100ax\cdot \sin{ax} ] .
\end{align}$$

$2)$回到$116,7)$,现在我们就能够由莱布尼茨公式直接得出函数

$$y=e^{ax} \sin{bx} $$

的$n$阶导数的普遍式:

$$y^{(n)} = e^{ax} \left[ \sin{bx} \left( a^n -\dfrac{n(n-1)}{1\cdot 2} a^{n-2} b^2 +\cdots \right)
+\cos{bx} \left( na^{n-1} b-\dfrac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3} a^{n-3} b^3 +\cdots \right) \right] .$$

$3)$求函数$y=\arcsin{x}$的$(n+1)$阶导数的表达式.

首先,我们有

$$y’=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} =\dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} ,$$

于是依莱布尼茨公式,

$$\begin{align}
y^{(n+1)} = & \left( \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \right)^{(n)} \\
= &\left( \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \right)^{(n)} \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} +n\left( \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \right)^{(n-1)} \left( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \right)’ \\
& +\dfrac{n(n-1)}{1\cdot 2} \left( \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \right)^{(n-2)} \left( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \right)’’ +\dfrac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot 2\cdot 3} \left( \dfrac{1}{\sqrt{1+x}} \right)^{(n-3)} \left( \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} \right)’’’+\cdots
\end{align}$$

今若应用在$116,2)$内所得的公式去求$\dfrac{1}{\sqrt{1+x}} $及$\dfrac{1}{\sqrt{1-x}} $的各阶导数,就得结果

$$y^{(n+1)} =\dfrac{(-1)^n}{2^n\sqrt{1-x^2}} \left\lbrace \dfrac{(2n-1)!!}{(1+x)^n} -n\dfrac{(2n-3)!!1!!}{(1+x)^{n-1} (1-x)} +\dfrac{n(n-1)}{1\cdot 2} \cdot \dfrac{(2n-5)!!3!!}{(1+x)^{n-2} (1-x)^2} +\cdots \right\rbrace .$$

$4)$求函数$y=\arctan{x}$在$x=0$时的各阶导数的数值.

因为$y’=\dfrac{1}{1+x^2}$,故$y’\cdot (1+x^2)=1$.在等式两端取$n$阶导数(应用莱布尼茨公式):

$$(1+x^2)y^{(n+1)} +2nx\cdot y^{(n)} +n(n-1) \cdot y^{(n-1)} =0.$$

在此处令$x=0$;若以添加下标$0$来表示在$x=0$时的导数值,则得

$$y_0^{(n+1)} =-n(n-1)\cdot y_0^{(n-1)} .$$

在$x=0$时,导数$y’’=-\dfrac{2x}{(1+x^2)^2} $等于$0$;$y_0’’ =0$.由已求出的关系式易见恒有$y_0^{(2m)} =0$.至于奇阶导数,就有递推公式:

$$y_0^{(2m+1)} =-(2m-1)\cdot 2m \cdot y_0^{(2m-1)} .$$

注意$y_0’=1$,由此就得:

$$y_0^{(2m+1)} =(-1)^m (2m)!.$$

这一结果也可以从$116$例$8)$的普遍公式内得出.

$5)$对函数$y=\arcsin{x}$也一样.

提示$\quad $应用莱布尼茨公式于关系式:

$$(1-x^2)\cdot y’’-x\cdot y’=0.$$

答案:

$$y_0^{(2m)} =0,y_0^{(2m-1)} =1^2 \cdot 3^2 \cdot \cdots \cdot (2m-1)^2 =[(2m-1)!!]^2 .$$

要从$3)$的普遍式内得出这一结果,却没有这样简单.

$6)$勒让德多项式

最后,我们来考察以勒让德(A.M.Legendre)命名的重要多项式,它由下列等式

$$X_n (x)=c_n \dfrac{\mathbb{d}^n (x^2-1)^n }{\mathbb{d} x^n } (n=1,2,\cdots )$$

来定义,其中常系数$c_n $的值可看情形根据怎样能够方便的原则而给定.

首先要证明:($n$次)多项式$X_n (x)$有$n$个不同的实根,这些根都在$-1$与$+1$之间.为简便起见,暂设$c_n =1$.

不难看出,多项式$(x^2-1)^n =(x-1)^n(x+1)^n$和它的$n-1$个相继各阶导数在$x=\pm 1$时变为零.于是根据罗尔定理$[111]$,它的一阶导数也将有根在$-1$与$+1$之间;依同一定理,二阶导数将有两个根在$-1$与$+1$之间,这样一直到$n-1$阶导数,它除了有根$-1$与$+1$外,还有$n-1$个根介于其间.再对这导数应用一次罗尔定理,便得到所要证的结论.

仍令$c_n =1$,我们来确定多项式$X_n (x)$在$x=\pm 1$时的数值.

把幂$(x^2-1)^n$看成$(x+1)^n $乘$(x-1)^n$的积,依莱布尼茨公式可以写成:

$$X_n (x)=(x+1)^n \cdot \dfrac{\mathbb{d}^n (x-1)^n }{\mathbb{d} x^n } +C_n^1 \cdot \dfrac{\mathbb{d} (x+1)^n }{\mathbb{d} x } \cdot \dfrac{\mathbb{d}^{n-1} (x-1)^n }{\mathbb{d} x^{n-1} } +\cdots + \dfrac{\mathbb{d}^n (x+1)^n }{\mathbb{d} x^n } \cdot (x-1)^n .$$

因为从第二项起的各项都含因式$x-1$,它们在$x=1$时都等于$0$,所以显然有:

$$X_n (1) =2^n \cdot n!.$$

类似地可得:

$$X_n(-1) =(-1)^n \cdot 2^n \cdot n!.$$

若在定义勒让德多项式$X_n (x)$的一般公式中设$c_n =\dfrac{1}{2^n \cdot n!} $,则得到特别常见的多项式,今后我们将把这多项式记为$P_n (x)$,其特征是在点$x=1$和$x=-1$处取值$P_n (1)=1$,$P_n (-1)=(-1)^n$.

用莱布尼茨公式很易进一步证明勒让德多项式$X_n (x)$满足下列关系式:

$$(x^2-1)X_n’’ +2x\cdot X_n’ -n(n+1)X_n =0,$$

它在这类多项式的理论中担任着重要的角色.

实际上,令$y=(x^2-1)^n $,就有

$$y’=2nx\cdot (x^2-1)^{n-1} ,$$

于是

$$(x^2-1)\cdot y’=2nx\cdot y.$$

今在最后的等式的两端各取$(n+1)$阶导数;依莱布尼茨公式,

$$(x^2-1)y^{(n+2)} +(n+1)\cdot 2x \cdot y^{(n+1)} +\dfrac{n(n+1)}{2} \cdot 2\cdot y^{(n)} =2nx\cdot y^{(n+1)} +(n+1)\cdot 2n\cdot y^{(n)} ,$$

由此

$$(x^2-1)y^{(n+2)} +2xy^{(n+1)} -n(n+1)y^{(n)} =0,$$

再以$c_n $乘之,就得到所要证明的关系式.

高阶微分

今转而讨论高阶微分;它们也是归纳地来定义的.函数$y=f(x)$的(一阶)微分在某一点处的微分称为函数在这一点处的二阶微分;记为:

$$\mathbb{d}^2 y=\mathbb{d} (\mathbb{d} y).$$

二阶微分的微分称为三阶微分:

$$\mathbb{d}^3 y=\mathbb{d} (\mathbb{d}^2 y).$$

一般地说,函数$y=f(x)$的$(n-1)$阶微分的微分称为函数$y=f(x)$的$n$阶微分:

$$\mathbb{d}^n y=\mathbb{d} (\mathbb{d}^{n-1} y).$$

若应用函数记号,则各阶微分可以表示为:

$$\mathbb{d}^2 f(x_0 ),\mathbb{d}^3 f(x_0 ),\cdots ,\mathbb{d}^n f(x_0 ),\cdots ,$$

在这里我们还可以指出这些微分是在$x$的特别值$x=x_0 $处取值的.

在求高阶微分时很重要的一件事,是要记住$\mathbb{d} x$是不依赖于$x$的任意的数,关于$x$而微分时必须把它看成常数因子.在这种情形,将有(始终假定对应的导数是存在的):

$$\mathbb{d}^2 y=\mathbb{d} (\mathbb{d} y)=\mathbb{d} (y’\cdot \mathbb{d} x)=\mathbb{d} y’ \cdot \mathbb{d} x =(y’’\cdot \mathbb{d} x)\cdot \mathbb{d} x =y’’\cdot \mathbb{d} x^2 ,$$

$$\mathbb{d}^3 y=\mathbb{d} (\mathbb{d}^2 y) =\mathbb{d} (y’’\cdot \mathbb{d} x^2 )=\mathbb{d} y’’ \cdot \mathbb{d} x^2 =(y’’’ \cdot \mathbb{d} x )\cdot \mathbb{d} x^2 =y’’’\cdot \mathbb{d} x^3$$

等等.很易猜出普遍规律是

$$\mathbb{d}^n y=y^{(n)} \cdot \mathbb{d} x^n ,\label{2} \tag{2}$$

这可以用数学归纳法来证明.由它就推得

$$y^{(n)} =\dfrac{\mathbb{d}^n y}{\mathbb{d} x^n } ,$$

于是从今以后,这记号就可以看成分数了.

利用等式$\eqref{2}$,现在很容易改造莱布尼茨公式使适用于微分.只要在它的两边各乘以$\mathbb{d} (x^n) $,就可以得出

$$\mathbb{d}^n (uv)=\sum_{i=0}^n C_n^i \mathbb{d}^{n-i} u \mathbb{d}^i v\quad (\mathbb{d}^0 u=u,\mathbb{d}^0 v=v).$$

莱布尼茨当初所建立的公式,原来就是关于微分的.

高阶微分的形式不变性的破坏

回想起函数的(一阶)微分具有形式不变的性质,自然就要问高阶微分是否也具有相似的性质.今将指出,即使二阶微分就已不具有这种性质了.

因此,设$y=f(x)$而$x=\varphi (t)$,于是$y$可以看成$t$的复合函数:$y=f(\varphi (t))$.它关于$t$的(一阶)微分可以写成:$\mathbb{d} y=y_x’ \cdot \mathbb{d} x$,此处$\mathbb{d} x=x_t’ \cdot \mathbb{d} t$是$t$的函数.再求关于$t$的二阶微分$\mathbb{d}^2 y=\mathbb{d} (y_x’ \cdot \mathbb{d} x) =\mathbb{d} y_x’ \cdot \mathbb{d} x+y_x’ \cdot \mathbb{d} (\mathbb{d} x)$.微分$\mathbb{d} y_x’$可以再应用(一阶)微分形式的不变性,化为$\mathbb{d} y_x’ =y_{x^2}’’ \cdot \mathbb{d} x$,于是最后得

$$\mathbb{d}^2 y=y_{x^2}’’ \cdot \mathbb{d} x^2 +y_x’ \cdot \mathbb{d}^2 x,\label{3} \tag{3}$$

然而当$x$是自变量时,二阶微分的形式却是$\mathbb{d}^2 y=y_{x^2}’’ \cdot \mathbb{d} x^2 $.当然,表达式$\eqref{3}$是$\mathbb{d}^2 y$的更普遍的表达式:若在特别情形,$x$是自变量,则$\mathbb{d}^2 x=0$,于是仅留下第一项了.

且举一例.设$y=x^2$,于是当$x$是自变量时:

$$\mathbb{d} y=2x\mathbb{d} x,\mathbb{d}^2y=2\mathbb{d} x^2.$$

今令$x=t^2$,则$y=t^4 $,而

$$\mathbb{d} y=4t^3 \mathbb{d} t,\mathbb{d}^2y =12t^2 \mathbb{d} t^2.$$

$\mathbb{d} y$的新表达式可以从原式得出,只要把$x=t^2$,$\mathbb{d} x=2t\mathbb{d} t$代入即得.但对于$\mathbb{d}^2 y$却并不如此:作同样的代换后,我们得到的是$8t^2 \mathbb{d} t^2$而不是$12t^2 \mathbb{d} t^2$.但若依$t$微分等式$\mathbb{d} y=2x\mathbb{d} x$,设想$x$是$t$的函数,则与$\eqref{3}$相似,得公式

$$\mathbb{d}^2 y=2\mathbb{d} x^2 +2x\mathbb{d}^2 x.$$

在此代入$x=t^2 $,$\mathbb{d} x=2t \mathbb{d} t$,$\mathbb{d}^2 x=2\mathbb{d} t^2 $,这才得出正确的结果:$12t^2 \mathbb{d} t^2 $.

因此,若$x$不再是自变量时,二阶微分$\mathbb{d}^2 y$就要用$x$的微分的二项式$\eqref{3}$来表示.对于三阶以后各阶微分(在转变成新变量时)附加的项数还要增加.因此,在用微分表示高阶导数$y_{x^2}’’ ,y_{x^3}’’,\cdots $的表达式

$$y_{x^2}’’ =\dfrac{\mathbb{d}^2 y}{\mathbb{d} x^2} ,y_{x^3}’’’ =\dfrac{\mathbb{d}^3 y}{\mathbb{d} x^3} ,\cdots \label{4} \tag{4}$$

内,已不能依任意变量取微分,而仅能依变量$x$了.

参变量微分法

虽然如此,我们仍可以把关于$x$的导数用依任意变量$t$而取的微分写出来,只是它们将繁复得多.就是,设想一切下面所写的微分是依$t$而取的,则依次地有

$$y_x’ =\dfrac{\mathbb{d} y}{\mathbb{d} x} ,y_{x^2}’’ =\left( \dfrac{\mathbb{d} y}{\mathbb{d} x} \right)_x’ =\dfrac{\mathbb{d} \left( \dfrac{\mathbb{d} y}{\mathbb{d} x} \right) }{\mathbb{d} x} =\dfrac{\dfrac{\mathbb{d} x\cdot \mathbb{d}^2 y-\mathbb{d}^2 x\cdot \mathbb{d} y}{\mathbb{d} x^2}}{\mathbb{d} x} ,$$

$$y_{x^2}’’ =\dfrac{\mathbb{d} x\cdot \mathbb{d}^2 y-\mathbb{d}^2 x\cdot \mathbb{d} y}{\mathbb{d} x^3 } ;\label{5} \tag{5}$$

以后,

$$\begin{align}
y_{x^3}’’’ & =\left( \dfrac{\mathbb{d} x\cdot \mathbb{d}^2 y-\mathbb{d}^2 x\cdot \mathbb{d} y}{\mathbb{d} x^3 } \right)_x’ \\
& =\dfrac{\mathbb{d} \left( \dfrac{\mathbb{d} x\cdot \mathbb{d}^2 y-\mathbb{d}^2 x\cdot \mathbb{d} y}{\mathbb{d} x^3 } \right) }{\mathbb{d} x} \\
& =\dfrac{\dfrac{\mathbb{d} x^3(\mathbb{d} x\mathbb{d}^3 y-\mathbb{d}^3 x\mathbb{d} y)-3\mathbb{d} x^2 \mathbb{d}^2 x(\mathbb{d} x\mathbb{d}^2 y-\mathbb{d}^2 x\mathbb{d} y)}{\mathbb{d} x^6}}{\mathbb{d} x} ,
\end{align}$$

而最后有:

$$y_{x^3}’’’ =\dfrac{\mathbb{d} x(\mathbb{d} x\mathbb{d}^3 y-\mathbb{d}^3 x\mathbb{d} y)-3\mathbb{d}^2 x(\mathbb{d} x\mathbb{d}^2 y-\mathbb{d}^2 x\mathbb{d} y)}{\mathbb{d} x^5} ,\label{6} \tag{6}$$

等等.公式$\eqref{5} ,\eqref{6} ,\cdots $是最普遍的公式;若在它里面设想$x$是自变量,则$\mathbb{d}^2 x,\mathbb{d}^3 x,\cdots $等于零,而我们就回到公式$\eqref{4}$.

我们所得的$y$关于$x$的导数公式就实现了所谓参变量微分法.若$x$及$y$给定为参变量$t$的函数:

$$x=\varphi (t),y=\psi (t),$$

则如同我们在$106$内已看见过的,在已知条件下,由此定义$y$为$x$的函数:$y=f(x)$.当$x$及$y$关于$t$的各阶导数存在时,$y$关于$x$的对应的导数亦都存在,而且可用前述诸公式来表示.

有时$y$关于$x$的导数用$x$及$y$关于$t$的导数(不是微分)来表示更为方便.它们可以很容易地从微分表达式内得出,只需分子及分母各除以$\mathbb{d} t,\mathbb{d} t^3 ,\mathbb{d} t^5,\cdots $.用这方法就得到公式:

$$y_x’ =\dfrac{\dfrac{\mathbb{d} y}{\mathbb{d} t}}{\dfrac{\mathbb{d} x}{\mathbb{d} t}} =\dfrac{y_t’ }{x_t’ } ,$$

$$y_{x^2}’’ =\dfrac{\dfrac{\mathbb{d} x}{\mathbb{d} t} \cdot \dfrac{\mathbb{d}^2 y}{\mathbb{d} t^2} -\dfrac{\mathbb{d}^2 x}{\mathbb{d} t^2} \cdot \dfrac{\mathbb{d} y}{\mathbb{d} t} }{\left( \dfrac{\mathbb{d} x}{\mathbb{d} t} \right)^3 } =\dfrac{x_t’ y_{t^2}’’ -x_{t^2}’’ y_t’ }{(x_t’ )^3 } ;$$

类似地有$y_{x^3}’’’ =\dfrac{x_t’ (x_t’ y_{t^3}’’’ -x_{t^3}’’’ y_t’ )-3x_{t^2}’’ (x_t’ y_{t^2}’’ -x_{t^2}’’ y_t’ )}{(x_t’)^5}$等等.

有限差分

设函数$f(x)$定义在某区间$\mathcal{X}$上,并设以后所讲的$x$值都是属于这区间的.将自变量$x$的某增量$\Delta x$固定下来(为确定起见可设$\Delta x > 0$,但是设$\Delta x < 0$也毫无关系)之后,设

$$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x),$$

并把此式称为函数$f(x)$的一阶差分.一阶差分的一阶差分称为二阶差分.

$$\Delta^2 f(x)=\Delta [\Delta f(x)] =\Delta f(x+\Delta x)-\Delta f(x)=f(x+2\Delta x)-2f(x+\Delta x)+f(x).$$

高阶差分可归纳地定义如下:

$$\Delta^n f(x)=\Delta [\Delta^{n-1} f(x)].$$

且可对$n$阶差分建立以下公式

$$\begin{align}
\Delta^n f(x) & =\sum_{i=0}^n (-1)^i C_n^i f(x+(n-i)\Delta x) \\
& =f(x+n\Delta x)-\dfrac{n}{1} f(x+(n-1)\Delta x) +\dfrac{n(n-1)}{1\cdot 2} f(x+(n-2)\Delta x) -\cdots +(-1)^n f(x),
\end{align}$$

它直接用函数本身在等距分点

$$x,x+\Delta x,x+2\Delta x,\cdots ,x+n\Delta x$$

表示出$n$阶差分.这公式很容易用数学归纳法来证明,读者可以自己去证.

现在把这些有限差分跟导数和微分比较一下.

设函数$f(x)$在闭区间$[x_0 ,x_0 +n\Delta x]$上有$n-1$阶连续函数

$$f’(x) ,f’’(x) ,\cdots ,f^{(n-1)} (x),$$

且至少在开区间$(x_0 ,x_0 +n\Delta x)$上有有限的$n$阶导数$f^{(n)} (x)$.于是我们有公式

$$\Delta^n f(x_0 ) =f^{(n)} (\xi_n ) \cdot \Delta x^n ,x_0 < \xi_n < x_0 +n\Delta x.\label{7} \tag{7}$$

当$n=1$时,这就是有限差分的公式,故有限差分公式是公式$\eqref{7}$的最简单情形.为了要用数学归纳法来证明我们的论断,先假定公式$\eqref{7}$的变形,即将$n$换为$n-1$且对假设作相应改变后所得的公式成立,然后证明在所作假定下,公式$\eqref{7}$成立.依这假定,可知函数$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$在区间$[x_0 ,x_0 +(n-1)\Delta x]$上满足使$\eqref{7}$的变形公式得以成立的更多的条件,因此可写出

$$\Delta^{n-1} [\Delta f(x_0 )] =\Delta^n f(x_0 )=[f^{(n-1)} (\xi_{n-1} +\Delta x) -f^{(n-1)} (\xi_{n-1} )] \Delta x^{n-1} ,\label{8} \tag{8}$$

其中$x_0 < \xi_{n-1} < x_0 +(n-1)\Delta x$.对这公式的右边应用有限增量公式,便立即得到公式$\eqref{7}$,且

$$x_0 < \xi_{n-1} < \xi_n < \xi_{n-1} +\Delta x < x_0 +n \Delta x.$$

要注意的是,若导数$f^{(n)} x$在点$x_0 $也存在而且在该点连续,则自$\eqref{7}$式让$\Delta x\to 0$(其中$\xi_n \to x_0 $),得

$$f^{(n)}(x_0 ) =\lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta^n f(x_0 )}{\Delta x^n } .\label{9} \tag{9}$$

这个有趣的公式给出了用一次极限步骤求得$n$阶导数的可能性,同时这公式是$n$阶导数在点$x_0 $本身存在这个唯一的假定下成立的.就是说,在点$x_0 $的某邻域内存在导数

$$f’(x) ,f’’(x),\cdots ,f^{(n-1)} (x),$$

于是在$\Delta x$足够小时,可应用公式$\eqref{8}$.由于导数$f^{(n)} (x_0 )$存在,应用[$96$目的公式$(2)$],可写出

$$f^{(n-1)} (\xi_{n-1} ) -f^{(n-1)} (x_0 ) =f^{(n)} (x_0 ) \cdot (\xi_{n-1} -x_0 ) +\alpha (\xi_{n-1} -x_0 )$$

$$f^{(n-1)} (\xi_{n-1} +\Delta x ) -f^{(n-1)} (x_0 ) =f^{(n)} (x_0 ) \cdot (\xi_{n-1} +\Delta x-x_0 ) +\beta (\xi_{n-1} +\Delta x-x_0 ),$$

其中$\alpha $与$\beta $依赖于$\Delta x$且趋于零.由上式以及$\eqref{8}$可推出:

$$\Delta^n f(x_0 ) =[f^{(n)} (x_0 )+\gamma ]\cdot \Delta x^n ,$$

其中$\gamma $是新的无穷小.最后,用$\Delta x^n $除这等式的两边,并取$\Delta x\to 0$的极限,便得公式$\eqref{9}$.

但必须指出$\eqref{9}$只有在导数$f^{(n)} (x_0 )$存在时才成立.但在这导数不存在时,右边的极限也可能存在.例如,我们考察如下定义的函数:

$$f(x)=x^3 \cdot \sin{\dfrac{1}{x}} (x\neq 0),f(0)=0,$$

而取$x_0 =0$.这函数有一阶导数

$$f’(x)=3x^2 \cdot \sin{\dfrac{1}{x}} -x\cos{\dfrac{1}{x}} (x\neq 0),f’(0)=0,$$

但在点$0$没有二阶导数,因此式

$$\dfrac{f’(0+\Delta x) -f’(0)}{\Delta x} =\dfrac{3\Delta x^2 \cdot \sin{\dfrac{1}{\Delta x}} -\Delta x\cos{\dfrac{1}{\Delta x}} }{\Delta x} =3\Delta x \cdot \sin{\dfrac{1}{\Delta x}} -\cos{\dfrac{1}{\Delta x}} ,$$

在$\Delta x\to 0$时无极限.但

$$\begin{align}
\dfrac{\Delta ^2 f(0)}{\Delta x^2} & =\dfrac{f(0+2\Delta x)-2f(0+\Delta x)+f(0)}{\Delta x^2} \\
& =\dfrac{8\Delta x^3 \sin{\dfrac{1}{2\Delta x}} -2\Delta x^3 \cdot \sin{\dfrac{1}{\Delta x}}}{\Delta x^2} \\
& =8\Delta x \sin{\dfrac{1}{2\Delta x}} -2\Delta x \sin{\dfrac{1}{\Delta x}} \to 0.
\end{align}$$

文章目錄
  1. 1. 高阶导数的定义
  2. 2. 任意阶导数的普遍公式
  3. 3. 莱布尼茨公式
  4. 4. 例题
  5. 5. 高阶微分
  6. 6. 高阶微分的形式不变性的破坏
  7. 7. 参变量微分法
  8. 8. 有限差分